高等數(shù)學(xué)答案 平面與直線

1、習(xí) 題 631、求下列各平面的方程：（1）過(guò)點(diǎn)且以為法向量的平面；（2）過(guò)三點(diǎn)的平面；（3）過(guò)點(diǎn)且與平面平行的平面；（4）通過(guò)x軸和點(diǎn)(4, -3, -1)的平面； （5）過(guò)點(diǎn)，且垂直于平面和的平面.（6）6 過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)，且與平面垂直的平面；解（1）：平面的點(diǎn)法式方程為.（2）設(shè)所求平面方程為,將的坐標(biāo)代入方程，可得，故所求平面方程為.（3）依題意可取所求平面的法向量為,從而其方程為 即 .（4）平面通過(guò)x軸, 一方面表明它的法線向量垂直于x軸, 即A=0; 另一方面表明 它必通過(guò)原點(diǎn), 即D=0. 因此可設(shè)這平面的方程為By+Cz=0.又因?yàn)檫@平面通過(guò)點(diǎn)(4, -3, -1), 所以有-3B

2、-C=0, 或C=-3B . 將其代入所設(shè)方程并除以B (B0), 便得所求的平面方程為y-3z=0.（5） 取法向量所求平面方程為化簡(jiǎn)得: （6）6設(shè)所求解 設(shè)平面為由平面過(guò)點(diǎn)知平由平面過(guò)原點(diǎn)知， ，所求平面方程為2、 求平行于而與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為1的平面方程.解: 設(shè)平面為 由所求平面與已知平面平行得化簡(jiǎn)得令代入體積式 或所求平面方程為或.3、求下列各直線的方程：（1）通過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線；（2） 過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線.（3）通過(guò)點(diǎn)且與三軸分別成的直線；（4）一直線過(guò)點(diǎn)，且和軸垂直相交，求其方程.（5）通過(guò)點(diǎn)且與兩直線和垂直的直線；（6）通過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線.解：（1）所求

3、的直線方程為：即：，亦即.（2）依題意，可取的方向向量為，則直線的方程為.（3）所求直線的方向向量為：，故直線方程為：.（4）因?yàn)橹本€和軸垂直相交, 所以交點(diǎn)為取所求直線方程（5）所求直線的方向向量為：，所以，直線方程為：.（6）所求直線的方向向量為：，所以直線方程為： .4、求直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程.解 在直線上任取一點(diǎn),取 解.所求點(diǎn)的坐標(biāo)為,取直線的方向向量,所以直線的點(diǎn)向式方程為： 令則所求參數(shù)方程: 5、求下列各平面的方程：（）通過(guò)點(diǎn)，且又通過(guò)直線的平面；（）通過(guò)直線且與直線平行的平面；（）通過(guò)直線且與平面垂直的平面；（4）. 求過(guò)點(diǎn)與直線垂直的平面方程.解：（）因?yàn)樗蟮钠矫孢^(guò)

4、點(diǎn)和，且它平行于向量，所以要求的平面方程為：, 即.（）已知直線的方向向量為，平面方程為：,即（）所求平面的法向量為，平面的方程為：，即.（4）.所求平面的法向量為，則平面的方程為：, 即 .6、分別在下列條件下確定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使與表示二平行平面；（3）使與表示二互相垂直的平面；（4）使直線與平面平行；（5）使直線與平面垂直.解：（1）欲使所給的二方程表示同一平面，則：即：，解之得 ，.（2）欲使所給的二方程表示二平行平面，則：，所以，.（3）欲使所給的二方程表示二垂直平面，則：所以： .（4）欲使所給直線與平面平行，則須：即.（5）欲使所給直線與平面垂直，則須：，所以

5、：.7、求平面與的夾角；解：設(shè)與的夾角為，則 .8、驗(yàn)證直線：與平面：相交，并求出它的交點(diǎn)和交角.解： 直線與平面相交.又直線的參數(shù)方程為：設(shè)交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，從而交點(diǎn)為（1，0，-1）.又設(shè)直線與平面的交角為，則：，.9、判別下列各對(duì)直線的相互位置，如果是相交的或平行的直線求出它們所在的平面，如果相交時(shí)請(qǐng)求出夾角的余弦.（1）與；（2）與.解：（1）將所給的直線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為： 二直線平行.又點(diǎn)與點(diǎn)（7，2，0）在二直線上，向量平行于二直線所確定的平面，該平面的法向量為：，從而平面方程為：，即 .（2）因?yàn)?，所以兩直線不平行，又因?yàn)椋詢芍本€相交，二直線所決定的平面的法向量為，二直線所

6、決定的平面的方程為：.設(shè)兩直線的夾角為，則.10、判別下列直線與平面的相關(guān)位置：（1）與；（2）與；（3）與；（4）與.解（1），而，所以，直線與平面平行.（2）,所以，直線與平面相交，且因?yàn)?，直線與平面垂直.（3）直線的方向向量為：，所以直線與平面平行或者直線在平面上；取直線上的點(diǎn)，顯然點(diǎn)在也在平面上（因?yàn)椋?，所以，直線在平面上.（4）直線的方向向量為，直線與平面相交但不垂直.11、 求點(diǎn)到平面的距離.解：利用點(diǎn)到平面的距離公式可得.12、求點(diǎn)到直線的距離.解：直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：所以p到直線的距離 .13、求點(diǎn)在平面上的投影.解： 過(guò)點(diǎn)作已知平面的垂線，垂線的方向向量就是已知平面的法向量，所以垂線方程為，此垂線與已知平面的交點(diǎn)即為所求投影.為了求投影，將垂線方程化為參數(shù)方程，代入平面方程求得，故投影為.14、求直線 在平面上的投影直線的方程 解：應(yīng)用平面束的方法設(shè)過(guò)直線的平面束方程為即這平面與已知平面垂直的條件是,解之得代入平面束方程中得投影平面方程為，所以投影直線為.15、求通過(guò)平面和的交線且滿足下列條件之一的平面： （1）通過(guò)原點(diǎn)； （2）與軸平行；（3）與平面垂直.解：