高中數學第一輪復習空間向量及其應用

1、普通高中課程標準實驗教科書數學 人教版 高三新數學第一輪復習教案（講座36）空間向量及其應用一課標要求：（1）空間向量及其運算 經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程； 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示； 掌握空間向量的線性運算及其坐標表示； 掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直。（2）空間向量的應用 理解直線的方向向量與平面的法向量； 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系； 能用向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）； 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體

2、會向量方法在研究幾何問題中的作用。二命題走向本講內容主要涉及空間向量的坐標及運算、空間向量的應用。本講是立體幾何的核心內容，高考對本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運算，結合主觀題借助空間向量求夾角和距離。預測07年高考對本講內容的考查將側重于向量的應用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復習時應加大這方面的訓練力度。三要點精講1空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方

3、法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。說明：由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；平面向量僅限于研究同一平面內的平移，而空間向量研究的是空間的平移。2向量運算和運算率 加法交換率：加法結合率：數乘分配率：說明：引導學生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。3平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作。 注意：當我們說、共線時，對應的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能

4、是平行直線；當我們說、平行時，也具有同樣的意義。共線向量定理：對空間任意兩個向量（）、，的充要條件是存在實數使注：上述定理包含兩個方面：性質定理：若（0），則有，其中是唯一確定的實數。判斷定理：若存在唯一實數，使（0），則有（若用此結論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點不在（或）上）。對于確定的和，表示空間與平行或共線，長度為 |，當>0時與同向，當<0時與反向的所有向量。若直線l，P為l上任一點，O為空間任一點，下面根據上述定理來推導的表達式。推論：如果 l為經過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，滿足等式 其中

5、向量叫做直線l的方向向量。在l上取，則式可化為 當時，點P是線段AB的中點，則 或叫做空間直線的向量參數表示式，是線段AB的中點公式。注意：表示式()、()既是表示式,的基礎，也是常用的直線參數方程的表示形式；推論的用途：解決三點共線問題。結合三角形法則記憶方程。4向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內，我們就說向量平行于平面，記作。注意：向量與直線a的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理 如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實數對x、y，使注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質和判定兩個方面。推論：空間一點

6、P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對x、y，使或對空間任一定點O，有在平面MAB內，點P對應的實數對（x, y）是唯一的。式叫做平面MAB的向量表示式。又代入，整理得 由于對于空間任意一點P，只要滿足等式、之一（它們只是形式不同的同一等式），點P就在平面MAB內；對于平面MAB內的任意一點P，都滿足等式、，所以等式、都是由不共線的兩個向量、（或不共線三點M、A、B）確定的空間平面的向量參數方程，也是M、A、B、P四點共面的充要條件。5空間向量基本定理：如果三個向量、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組x, y, z, 使說明：由上述定理知，如果三個向量、不共面，那么所有

7、空間向量所組成的集合就是，這個集合可看作由向量、生成的，所以我們把，叫做空間的一個基底，都叫做基向量；空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底；一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯(lián)的不同的概念；由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是。推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序實數組，使6數量積（1）夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點O，作，則角AOB叫做向量與的夾角，記作ABO（1）OAB（2）ABO（3）說明：規(guī)定0,因而=；如果=，則稱與互相垂直，記作；AB

8、O（4）在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖（3）、（4）中的兩個向量的夾角不同，圖（3）中AOB=，圖（4）中AOB=,從而有=.（2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。（3）向量的數量積：叫做向量、的數量積，記作。ABl即=，向量:（4）性質與運算率。 =0 = 四典例解析題型1：空間向量的概念及性質例1有以下命題：如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么的關系是不共線；為空間四點，且向量不構成空間的一個基底，那么點一定共面；已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底。其中正確的命題是（ ） 解析：對于“如果向量與任何向量不能構成空

9、間向量的一組基底，那么的關系一定共線”；所以錯誤。正確。點評：該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系。例2下列命題正確的是（ ）若與共線，與共線，則與共線；向量共面就是它們所在的直線共面；零向量沒有確定的方向；若，則存在唯一的實數使得；解析：A中向量為零向量時要注意，B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，D中需保證不為零向量。答案C。點評：零向量是一個特殊的向量，時刻想著零向量這一特殊情況對解決問題有很大用處。像零向量與任何向量共線等性質，要兼顧。題型2：空間向量的基本運算例3如圖：在平行六面體中，為與的交點。若，則下列向

10、量中與相等的向量是（ ） 解析：顯然；答案為A。點評：類比平面向量表達平面位置關系過程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題，使復雜的線面空間關系代數化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學生的空間想象能力。例4已知：且不共面.若,求的值.解：,且即又不共面,點評：空間向量在運算時，注意到如何實施空間向量共線定理。題型3：空間向量的坐標例5（1）已知兩個非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（）A. ：|=：|B.a1·b1=a2·b2=a3·b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零實數k

11、，使=k（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若|=6，則x+y的值是（）A. 3或1 B.3或1 C. 3 D.1（3）下列各組向量共面的是（）A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)解析：（1）D；點撥：由共線向量定線易知；（2）A點撥：由題知或；（3）A點撥：由共面向量基本定理可得。點評：空間向量的坐標運算除了數量積外就是考察共線、垂直時參數的取值情況。例6已知空間三點A（2，0，2），

12、B（1，1，2），C（3，0，4）。設=，=，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k2互相垂直，求k的值.思維入門指導：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應用，套用公式即可得到所要求的結果.解：A(2，0，2)，B（1，1，2），C(3，0，4)，=，=，=(1，1，0)，=（1，0，2）.(1)cos=，和的夾角為。(2)k+=k（1，1，0）+（1，0，2）（k1，k，2），k2=（k+2，k，4），且(k+)（k2），（k1，k，2）·（k+2，k，4）=(k1)(k+2)+k28=2k2+k10=0。則k=或k=2。點撥：第（2）問在解答時也可以按運算律做。（+）(k2)=k

13、22k·22=2k2+k10=0，解得k=，或k=2。題型4：數量積例7(2000江西、山西、天津理，4)設、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（·）（·）= |<| （·）（·）不與垂直（3+2）（32）=9|24|2中，是真命題的有（ ）A. B. C. D.答案：D解析：平面向量的數量積不滿足結合律.故假；由向量的減法運算可知|、|、|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故真；因為（·）（·）·=（·）·（·）·=0，所以垂直.故假；（3+2

14、）（32）=9··4·=9|24|2成立.故真.點評：本題考查平面向量的數量積及運算律。例8（1）（2002上海文，理2）已知向量和的夾角為120°，且|=2，|=5，則（2）·=_.（2）設空間兩個不同的單位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0<，>。解析：（1）答案：13；解析：（2）·=22·=2|2|·|·cos120°=2·42·5（）

15、=13。（2）解：(1)|=|=1，x+y=1，x=y=1.又與的夾角為，·=|cos=.又·=x1+y1，x1+y1=。另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=()21=.x1y1=。(2)cos<，>=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.x1，y1是方程x2x+=0的解.或同理可得或，或cos<，>=·+·=+=.0<，>，<，>=。評述：本題考查向量數量積的運算法則。題型5：空間向量的應用例9（1）已知a、b、c為正數，且a+b+c=1，求證：+4。（2）已知F

16、1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物體上，使物體從點M1（1，-2，1）移到點M2(3，1，2)，求物體合力做的功。解析：（1）設=(，)，=(1，1，1)，則|=4，|=.·|·|，·=+|·|=4.當=時，即a=b=c=時，取“=”號。（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。點評：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，則由·|·|，得(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式(n=3)。本題考

17、查|·|·的應用，解題時要先根據題設條件構造向量，然后結合數量積性質進行運算?？臻g向量的數量積對應做功問題。例10如圖,直三棱柱中,求證: 證明：同理又設為中點,則又點評：從上述例子可以看出,利用空間向量來解決位置關系問題，要用到空間多邊形法則，向量的運算，數量積以及平行,相等和垂直的條件。五思維總結本講內容主要有空間直角坐標系，空間向量的坐標表示，空間向量的坐標運算，平行向量，垂直向量坐標之間的關系以及中點公式.空間直角坐標系是選取空間任意一點O和一個單位正交基底i，j，k建立坐標系，對于O點的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點的坐標，直線的坐標表示簡化，要充分利用空間圖形中已有的直線的關系和性質；空間向量的坐標運算同平面向量類似，具有類似的運算法則.一個向量在不同空間的表達方式不一樣，實質沒有改變.因而運算的方法和運算規(guī)律結論沒變。如向量的數量積a·b=|a|·|b|cos<a，b>在二