較好較難的幾個(gè)立體幾何

1、49、BFAFDAECM矩形ABCD與矩形ABEF的公共邊為AB，且平面ABCD平面ABEF，如圖所示，F(xiàn)D， AD=1， EF= （）證明：AE 平面FCB； （）求異面直線BD與AE所成角的余弦值 （）若M是棱AB的中點(diǎn)，在線段FD上是否存在一點(diǎn)N，使得MN平面FCB？證明你的結(jié)論解：(1) 平面ABCD平面ABEF,且四邊形ABCD與ABEF是矩形,AD平面ABEF,ADAE, BCAD BCAE又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,所以四邊形ABEF為正方形.AEFB,又BFBF平面BCF，BC平面BCF所以AE平面BCF4分(2)設(shè)BFAE=O,取FD的中點(diǎn)為H,連接OH,在 OH

2、/BD,HOF即為異面直線BD與AE所成的角(或補(bǔ)角),在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=異面直線BD與AE所成的角的余弦值為.8分(3)當(dāng)N為FD的中點(diǎn)時(shí), MN平面FCB證明：取CD的中點(diǎn)G,連結(jié)NG，MG，MN，則NG/FC,MG/BC, 又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G所以平面NGM/平面FBC,MN平面NGMMN/平面FBC12分50、(河北省正定中學(xué)2008年高三第五次月考)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中點(diǎn)。(1)求異面直線AE與A1C所成的角；(2)若G為C1C上一點(diǎn)，且EGA1C，試確定點(diǎn)G的位置；(3)在（2）的條件下，求二面

3、角A1-AG-E的大?。ㄎ目魄笃湔兄担?。解：（1）取B1C1的中點(diǎn)E1，連A1E1，E1C，則AEA1E1，E1A1C是異面直線AE與A1C所成的角。設(shè)，則中， 。所以異面直線AE與A1C所成的角為。 -4分（2）.由（1）知，A1E1B1C1,又因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱BCC1B1,又EGA1C CE1EG. =GEC 即得所以G是CC1的中點(diǎn) - -8分（3）連結(jié)AG,設(shè)P是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQAG于Q,連EP,EQ,則EPAC.又平面ABC平面ACC1A1 EP平面ACC1A1 而PQAG EQAG.PQE是二面角C-AG-E的平面角. 由EP=a,AP=a,PQ=

4、,得所以二面角C-AG-E的平面角是arctan，而所求二面角是二面角C-AG-E的補(bǔ)角，故二面角的平面角是arctan -12分（文）二面角的平面角的正切值為。-12分45、(廣東省五校2008年高三上期末聯(lián)考)已知梯形ABCD中，ADBC，ABC =BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EFBC，AE = x，G是BC的中點(diǎn)。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF (如圖) .(1) 當(dāng)x=2時(shí)，求證：BDEG ；(2) 若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；(3) 當(dāng) f(x)取得最大值時(shí)，求二面角D-BF-C的

5、余弦值.解:（1）（法一）平面平面,AEEF,AE面平面,AEEF,AEBE,又BEEF,故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz。 1分則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）2分xyz（2，2，2），（2，2，0）3分H（2，2，2）（2，2，0）0， 4分（法二）作DHEF于H，連BH，GH，1分由平面平面知：DH平面EBCF，而EG平面EBCF，故EGDH。又四邊形BGHE為正方形，EGBH，BHDHH，故EG平面DBH， 3分而B(niǎo)D平面DBH， EGBD。 4分（或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果）（2）AD面BFC，所以 VA-BFC4(4-x

6、)x7分即時(shí)有最大值為。8分（3）（法一）設(shè)平面DBF的法向量為，AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），H_EMFDBACGF（0，3，0）,（2，2，2）, 9分則 ，即，取x3，則y2，z1， 面BCF的一個(gè)法向量為 12分則cos<>= 13分由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為 14分（法二）作DHEF于H，作HMBF，連DM。由三垂線定理知 BFDM，DMH是二面角D-BF-C的平面角的補(bǔ)角。9分由HMFEBF，知，而HF=1，BE=2，HM。又DH2，在RtHMD中，tanDMH=-，因DMH為銳角，cosDMH， 13分而DMH是

7、二面角D-BF-C的平面角的補(bǔ)角，故二面角D-BF-C的余弦值為。 14分46、(貴州省貴陽(yáng)六中、遵義四中2008年高三聯(lián)考)如圖，在中，斜邊可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角動(dòng)點(diǎn)在斜邊上。（I）求證：平面平面；（II）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所 成角的大小；（III）（理）求與平面所成角的最大值。（文）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角。解：（I）由題意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面，平面平面4分（II）解法一：作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為8分解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，異面直線與所成

8、角的大小為8分（III）（理）由（I）知，平面，是與平面所成的角，且當(dāng)最小時(shí)，最大，這時(shí)，垂足為，與平面所成角的最大值為12分（文）由（I）知，平面，是與平面所成的角，且45o。12分47、(安徽省合肥市2008年高三年級(jí)第一次質(zhì)檢)如圖，在幾何體中，面為矩形，面，（1）求證；當(dāng)時(shí)，平面PBD平面PAC；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的取值范圍。以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AP、AB、AD分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的坐標(biāo)系。設(shè)，由已知得（1）當(dāng)時(shí)，4分，又，平面PBD平面PAC；6分解法二：當(dāng)時(shí)，矩形為正方形，面，2分又，BD平面PAC，BD平面PBD，平面PBD平面PAC（2）由得設(shè)平面PDC

9、， 不妨設(shè)，則設(shè)平面PDB， 不妨設(shè)，則10分當(dāng)變化時(shí)，即，又，40、(廣東省汕頭市潮陽(yáng)一中2008年高三模擬)如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2，ABC=60°，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC=60°。 （）證明：BDAA1； （）求二面角DA1AC的平面角的余弦值； （）在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP/平面DA1C1？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由。解：連接BD交AC于O，則BDAC，連接A1O在AA1O中，AA1=2，AO=1，A1AO=60°A1O2=AA12+AO22AA1·Aocos60°=

10、3AO2+A1O2=A12A1OAO，由于平面AA1C1C平面ABCD，所以A1O底面ABCD以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A（0，1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，0，0），A1（0，0，）2分（）由于則BDAA14分 （）由于OB平面AA1C1C平面AA1C1C的法向量設(shè)平面AA1D則得到6分所以二面角DA1AC的平面角的余弦值是8分（）假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP/平面DA1C1設(shè)則得9分設(shè)則設(shè)得到10分又因?yàn)槠矫鍰A1C1則·即點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上且使C1C=CP12分法二：在A1作A1OAC于點(diǎn)O，由于平

11、面AA1C1C平面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理知，A1O平面ABCD，又底面為菱形，所以ACBD4分（）在AA1O中，A1A=2，A1AO=60°AO=AA1·cos60°=1所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，由于底面ABCD為菱形，所以O(shè)也是BD中點(diǎn)由（）可知DO平面AA1C過(guò)O作OEAA1于E點(diǎn)，連接OE，則AA1DE則DEO為二面角DAA1C的平面角6分在菱形ABCD中，AB=2，ABC=60°AC=AB=BC=2AO=1，DO=在RtAEO中，OE=OA·sinEAO=DE=cosDEO=二面角DA1AC的平面角的余弦值是8分（）存在這樣的點(diǎn)P連接

12、B1C，因?yàn)锳1B1ABDC四邊形A1B1CD為平行四邊形。A1D/B1C在C1C的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使C1C=CP，連接BP10分因B1BCC1，12分BB1CP四邊形BB1CP為平行四邊形則BP/B1CBP/A1DBP/平面DA1C112、(安徽省巢湖市2008屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))如圖，、分別是正四棱柱上、下底面的中心，是的中點(diǎn)，. （）求證：平面；DA1D1C1B1E1BACPO（）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的大??； () 當(dāng)取何值時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心? 解法一：（）過(guò)P作MNB1C1，分別交A1B1、D1C1于M、N，則M、N分別為 A1B1、D1C1的中點(diǎn)，連MB、NC，

13、則四邊形BCNM是平行四邊形 2分DA1D1C1B1E1BACPOMNFE、M分別為AB、A1B1中點(diǎn)，A1EMB 又MB平面PBC，A1E平面PBC。 4分（） 過(guò)A作AFMB，垂足為F，連PF，BC平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，AFBC， BCMB=B，AF平面PBC，APF就是直線AP與平面PBC所成的角， 7分設(shè)AA1=a，則AB=a，AF=，AP=，sinAPF=。所以，直線AP與平面PBC所成的角是。 9分（）連OP、OB、OC，則OPBC，由三垂線定理易得OBPC，OCPB，所以O(shè)在平面PBC中的射影是PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是PBC的重心，則PBC為正三

14、角形。即PB=PC=BC，所以。反之，當(dāng)k=時(shí)，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心 13分zxyDA1D1C1B1E1BACPO解法二：以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則得、 2分()由上得、，設(shè)得解得， ， 平面 4分_（）當(dāng)時(shí)，由、得、設(shè)平面的法向量為，則由，得，7分，直線與平面所成角的大小為. 9分() 由()知的重心為，則，若在平面內(nèi)的射影恰好為的重心，則有，解得當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心. 13、(北京市朝陽(yáng)區(qū)2008年高三數(shù)學(xué)一模)直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=120°

15、，AC=CB=A1A=1，D1是A1B1上一動(dòng)點(diǎn)(可ABCDA1B1C1D1以與A1或B1重合），過(guò)D1和C1C的平面與AB交于D.（）證明BC平面AB1C1；（）若D1為A1B1的中點(diǎn)，求三棱錐B1-C1AD1的體積；（）求二面角D1-AC1-C的取值范圍.方法1：ABCDA1B1C1D1（）證明：依條件有CBC1B1， 又C1B1平面A B1C1，CB平面A B1C1， 所以CB平面A B1C1.3分（）解： 因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)， 依條件可知C1DA1B1.所以=×C1D1×(×A1A×D1B1)= ××(×1×

16、;)=.7分（）解：因?yàn)镈1是A1B1上一動(dòng)點(diǎn)， 所以當(dāng)D1與A1重合時(shí)，二面角D1-AB(D)CA1B1(D1)C1EFAC1-C的大小為； 9分當(dāng)D1與B1重合時(shí)，如圖，分別延長(zhǎng)A1C1和AC1，過(guò)B1作B1EA1C1延長(zhǎng)于E，依條件可知平面A1B1C1平面ACC1A1，所以B1E平面ACC1A1. 過(guò)點(diǎn)E作EFA1C1，垂直為F. 連結(jié)FB1， 所以FB1A1C1. 所以B1FE是所求二面角的平面角. 11分 容易求出B1E=，F(xiàn)E=. 所以tanB1FE=.所以B1FE= arctan. （或arccos）所以二面角D1-AC1-C的取值范圍是arctan，（或arccos，）.13分

17、AB(D)CA1B1(D1)C1xyz方法2：（），（）略（）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有A(1，0，0)，B1(-，1)，C1(0，0，1). 因?yàn)镈1是A1B1上一動(dòng)點(diǎn)， 所以當(dāng)D1與A1重合時(shí)，二面角D1-AC1-C的大小為；9分當(dāng)D1與B1重合時(shí)， 顯然向量n1=(0，1，0)是平面ACC1A1的一個(gè)法向量. 因?yàn)?(1，0，-1)， =(-，1)，設(shè)平面C1AB1的法向量是n2=(x，y，z)，由·n2=0，·n2=0，解得平面C1AB1的一個(gè)法向量n2=(1，1).因?yàn)閚1·n2=，| n1|=1，| n2|=，設(shè)二面角B1-AC1-C的大小為，所以cos=.即=arccos.所以二面角D1-AC1-C的取值范圍是arccos，（或arctan，）.29、(福建省莆田一中20