量子力學(xué)習(xí)題解答-第1章

1、第1章波函數(shù)本章主要內(nèi)容概要：1. 薛定諤方程：微觀粒子的狀態(tài)由一個(gè)波函數(shù)描寫(xiě)，這個(gè)波函數(shù)通過(guò)解薛定諤(Schrödinger)方程得到： （一維情況） （三維情況）是普朗克(Planck)常數(shù)或者最初的常數(shù)（）除以： 薛定諤方程的作用和地位從邏輯上講就像牛頓第二定律:給定適當(dāng)?shù)某跏紬l件(一般來(lái)說(shuō),),薛定諤方程確定以后所有時(shí)刻的波函數(shù),就像經(jīng)典力學(xué)中牛頓定律確定以后所有時(shí)刻的一樣。2 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解詮釋：玻恩（Born）關(guān)于波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋給出，當(dāng)一個(gè)微觀粒子處于狀態(tài)時(shí)，在時(shí)刻處的體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)這個(gè)粒子的幾率為所以，是幾率密度，它給出在時(shí)刻處的單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。由于是幾率密度，

2、物理上的波函數(shù)必須滿足歸一化條件 物理上的波函數(shù)還需滿足連續(xù)，單值條件。 3. 力學(xué)量的期待值、標(biāo)準(zhǔn)差： 對(duì)一個(gè)系綜（對(duì)大量相同的態(tài)每一個(gè)進(jìn)行測(cè)量）測(cè)量的統(tǒng)計(jì)平均值（期待值）是標(biāo)準(zhǔn)差是4. 測(cè)量對(duì)波函數(shù)的影響： 給定初始波函數(shù)，體系的波函數(shù)將按薛定諤方程演化，但是如果對(duì)體系進(jìn)行測(cè)量將導(dǎo)致波函數(shù)的坍塌。對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行測(cè)量，如果測(cè)量結(jié)果是，波函數(shù)將坍塌為處的一個(gè)尖峰。 (a) 習(xí)題1.4 解：（a） 所以 （不考慮可能的相因子，以后都是如此）（b）的示意圖如下圖所示：（c）在處，有最大值，所以在此處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率最大。（d） 當(dāng)時(shí)，在b左邊發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是1；當(dāng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是1/2.(e) 習(xí)題

3、1.7 解： 利用薛定諤方程 并代入對(duì)第一項(xiàng)分部積分兩次，并利用邊界項(xiàng)條件（時(shí)，波函數(shù)及導(dǎo)數(shù)為零）所以前面兩項(xiàng)相互抵消，最后有這是量子力學(xué)中牛頓運(yùn)動(dòng)方程。（在學(xué)習(xí)第三章后，我們有更簡(jiǎn)潔的方法處理本題。利用哈密頓算符與動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系 所以 ） (a) *習(xí)題1.9 解：（a）由歸一化 （b）在第二章，我們將討論一維諧振子，你將發(fā)現(xiàn)勢(shì)能會(huì)得到這樣的波函數(shù)解。不過(guò)現(xiàn)在我們打算直接從薛定諤方程得到對(duì)應(yīng)的勢(shì)能。把所給的波函數(shù)代入薛定諤方程，經(jīng)過(guò)對(duì)t和x的求導(dǎo)運(yùn)算后，得到 兩邊消去相同的項(xiàng)后，我們得到 （順便提及一下，如果讓。則，所給的波函數(shù)其實(shí)就是一維諧振子的基態(tài)，對(duì)應(yīng)的基態(tài)能量是，你將在第二章看到

4、這些結(jié)果。）（c） （被積函數(shù)是的奇函數(shù)） （d） 這剛好是不確定原理的下限。 習(xí)題1.14 解：（a）由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，在時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子處在區(qū)間內(nèi)的幾率是 求這個(gè)幾率對(duì)時(shí)間的變化率 代入薛定諤方程 及其共軛式 把對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換為對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù) 注意到方括號(hào)內(nèi)的式子可以表示為 所以的量綱為的量綱， 在一維情況下（的量綱為（長(zhǎng)度-1），的量綱是（秒-1），它表示在單位時(shí)間流過(guò)點(diǎn)x的幾率密度。在三維情況下的量綱是（長(zhǎng)度-3），是一個(gè)矢量，它的量綱是（米-2秒-1），表示單位時(shí)間流過(guò)垂直于單位面積的幾率。（b）習(xí)題1.9中的波函數(shù)為代入一維幾率流的表示式 我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這是因?yàn)?，?duì)空間的依賴是實(shí)函數(shù)，

5、兩項(xiàng)相互抵消。 *習(xí)題1.15 解：（a）由 代入薛定諤方程 及其共軛式 把對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換為對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù) 第一項(xiàng)的積分仍然同以前一樣，由于在時(shí)波函數(shù)為零，積分為零。所以（a） 積分上式，得到 當(dāng)時(shí)，所以積分常數(shù) 粒子的（平均）壽命可以表示為 習(xí)題1.16 證： 因?yàn)閮蓚€(gè)波函數(shù)滿足具有相同勢(shì)函數(shù)的薛定諤方程，所以 代入前面的式子 其中最后一步利用了時(shí)，波函數(shù)為零的條件。(a) 習(xí)題1.17 解：（a）歸一化 （b） （注意被積函數(shù)是奇函數(shù)，所以很容易得出積分結(jié)果，下面動(dòng)量的期待值也是如此。）（c） （注： 因?yàn)楸绢}僅給出的波函數(shù)，我們求出的僅是坐標(biāo)在時(shí)刻的期待值，無(wú)法知道隨時(shí)間的變化規(guī)律，所以不能從得到動(dòng)量的期待值。）（d）（e） （f） （g）（h） (a) 習(xí)題1.18解：我們要求 （a） 固體中電子（） 可以看出，這個(gè)溫度遠(yuǎn)大于一般固體溶化溫度，所以固體中的電子總是量子力學(xué)的。 固體中的核子（納原子為例）；納原子核質(zhì)量所以在一般溫度時(shí)，固體中的原子核不是量子力學(xué)的。（b） 由理