大學(xué)物理電子教案之波動

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第10章波動本章要點(diǎn)：1. 波動的基本概念及機(jī)械波傳播的物理本質(zhì)2. 描寫波動的物理量極其關(guān)系3. 平面簡諧波的波動方程4. 波的能量5. 惠更斯原理6. 波的干涉振動的傳播過程稱為波動。波動是一種常見的物質(zhì)運(yùn)動形式，如空氣中的聲波，水面的漣漪等，這些是機(jī)械振動在媒質(zhì)中的傳播，稱為機(jī)械波。波動并不限于機(jī)械波，太陽的熱輻射，各種波段的無線電波，光波、x射線、射線等也是一種波動，這類波是周期性變化的電場和磁場在空間的傳播，稱為電磁波。近代物理的理論揭示，微觀粒子乃至任何物質(zhì)都具有波動性，這種波稱為物質(zhì)波。以上種種波動過程，它們產(chǎn)生的機(jī)制、物理本質(zhì)不盡相同，但是它們卻有著共

2、同的波動規(guī)律，即都具有一定的傳播速度，且都伴隨著能量的傳播，都能產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象，并且有著共同的數(shù)學(xué)表達(dá)式。10.1 機(jī)械波的幾個(gè)概念10.1.1機(jī)械波的形成形成機(jī)械波必需有振源和傳播振動的媒質(zhì)。引起波動的初始振動物稱為振源。振動賴以傳播的媒介物則稱為媒質(zhì)。在彈性媒質(zhì)中，各質(zhì)點(diǎn)間是以彈性力互相聯(lián)系著的。整個(gè)媒質(zhì)在宏觀上呈連續(xù)狀態(tài)。當(dāng)某質(zhì)元A受外界擾動而偏離原來的平衡位置，其周圍的質(zhì)元就將對它作用一個(gè)彈性力以對抗這一擾動，使該質(zhì)元回復(fù)到原來的平衡位置，并在平衡位置附近作振動。彈性力與位移之間的關(guān)系滿足胡克定律。與此同時(shí)，當(dāng)A偏離其平衡位置時(shí)，A點(diǎn)周圍的質(zhì)元也受到A所作用的彈性力，

3、于是周圍的質(zhì)元也離開各自的平衡位置，并使周圍質(zhì)元對與其鄰接的外圍質(zhì)元作用彈性力，從而由近及遠(yuǎn)地使周圍質(zhì)元、外圍質(zhì)元以及更外圍質(zhì)元，都在彈性力的作用下陸續(xù)振動起來。就是說，介質(zhì)中一個(gè)質(zhì)元的振動引起鄰近質(zhì)元的振動，鄰近質(zhì)元的振動又引起較遠(yuǎn)質(zhì)元的振動，于是振動就以一定的速度由近及遠(yuǎn)地向外傳播出去而形成波。應(yīng)當(dāng)注意，波動只是振動狀態(tài)的傳播，介質(zhì)中各質(zhì)元并不隨波前進(jìn)，各質(zhì)元只以周期性變化的振動速度在各自的平衡位置附近振動。振動狀態(tài)的傳播速度稱為波速。它與質(zhì)元的振動速度是不同的，不要把兩者混淆起來。10.1.2 橫波與縱波機(jī)械波可分為橫波與縱波兩大類。質(zhì)元的振動方向和波的傳播方向相互垂直的波稱為橫波，如繩

4、中傳播的波。其外形特征是具有凸起的波峰和凹下的波谷。質(zhì)元的振動方向和波的傳播方向一致的波稱為縱波，如空氣中傳播的聲波?？v波的外形特征是具有“稀疏”和“稠密”的區(qū)域。盡管這兩種波具有不同的特點(diǎn)，但其波動過程的本質(zhì)卻是一致的。故我們以橫波為例，分析機(jī)械波的形成與傳播。如圖10-1所示，繩的一端固定，另一端握在手中并不停地上下抖動，使手拉的一端作垂直于繩索的振動，我們可以看到一個(gè)接一個(gè)的波形沿著繩索向固定端傳播形成繩索上的橫波?，F(xiàn)以1、2、3、4對質(zhì)元進(jìn)行編號。以質(zhì)元1的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，向上為Y軸的正向，質(zhì)元依次排列的方向?yàn)閄軸的正向。設(shè)在某一時(shí)刻t = 0，質(zhì)元1受擾動得到一向上的速度vm而

5、開始作振幅為A的簡諧振動。由于質(zhì)元間彈性力的作用，在t = 0以后相繼的幾個(gè)特定時(shí)刻，繩中各質(zhì)元的位置將有如圖10-1所示的排列。t1 = 0時(shí)刻，質(zhì)元1的振動狀態(tài)為：位置y1 = 0，速度v1 = vm，相應(yīng)的相位為（t1 +）=。t2 =時(shí)刻，質(zhì)元1的振動狀態(tài)為：位置y2 = A，速度v2 =0，相應(yīng)的相位為（t2 +）=。質(zhì)元1 在t1 = 0時(shí)刻的振動狀態(tài)已傳至質(zhì)元4，質(zhì)元4的振動相位為。t3 =時(shí)刻，質(zhì)元1的振動狀態(tài)為：y3 = 0，v3=vm，相應(yīng)的相位為（t3 +）=。質(zhì)元1在t1 = 0時(shí)刻的振動狀態(tài)已傳至質(zhì)元7，質(zhì)元7的振動相位為，質(zhì)元1在t2 =時(shí)刻的振動狀態(tài)已傳至質(zhì)元4，

6、質(zhì)元4的振動相位為。t4 =時(shí)刻，質(zhì)元1的振動狀態(tài)為：y4 =A，v4 =0，相應(yīng)的相位為（t4 +）=。質(zhì)元1在t1 = 0時(shí)刻的振動狀態(tài)已傳至質(zhì)元10，質(zhì)元10的振動相位為，質(zhì)元1在t2 =時(shí)刻的振動狀態(tài)已傳至質(zhì)元7，質(zhì)元7的振動相位為，質(zhì)元1在t3 =時(shí)刻的振動狀態(tài)已傳至質(zhì)元4，質(zhì)元4的振動相位為。當(dāng)t5 =T時(shí)，質(zhì)元1完成一次全振動回到起始的振動狀態(tài)，而它所經(jīng)歷過的各個(gè)振動狀態(tài)均傳至相應(yīng)的質(zhì)元。如果振源持續(xù)振動，振動過程便不斷地在繩索上向前傳播。10.1.3 波長 波的周期和頻率波速波長、波的周期（或頻率）和波速是描述波動的三個(gè)重要物理量。在同一波線上兩個(gè)相鄰的、相位差為2的振動質(zhì)元之

7、間的距離（即一個(gè)“波”的長度），叫做波長，用表示。顯然，橫波上相鄰兩個(gè)波峰之間的距離，或相鄰兩個(gè)波谷之間的距離，都是一個(gè)波長；縱波上相鄰兩個(gè)密部或相鄰兩個(gè)疏部對應(yīng)點(diǎn)之間的距離，也是一個(gè)波長。波的周期，是波前進(jìn)一個(gè)波長的距離所需要的時(shí)間，用T表示。周期的倒數(shù)叫做波的頻率，用表示，即 = 1/T，頻率等于單位時(shí)間內(nèi)波動傳播距離中完整波的數(shù)目。由于波源作一次完全振動，波就前進(jìn)一個(gè)波長的距離，所以波的周期（或頻率）等于波源的振動周期（或頻率）。在波動過程中，某一振動狀態(tài)（即振動相位）在單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離叫做波速，用v表示。故波速也稱為相速。波速的大小取決于介質(zhì)的性質(zhì)，在不同的介質(zhì)中，波速是不同的，

8、例如，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，聲波在空氣中傳播的速度為331m·s-1，而在氫氣中傳播的速度是1263m·s-1 。在一個(gè)周期內(nèi)，波前進(jìn)一個(gè)波長的距離，故有 或 （10-1）以上兩式具有普遍的意義，對各類波都適用。必須指出，波速與介質(zhì)有關(guān)，而波的頻率是波源振動的頻率，與介質(zhì)無關(guān)。因此，由式（10-1）可知，同一頻率的波，其波長將隨介質(zhì)的不同而不同。例10-1 在室溫下，已知空氣中的聲速v1為340m·s-1，水中的聲速v2為1450m·s-1，求頻率為200Hz和2000Hz的聲波在空氣中和在水中的波長各為多少？解 由式（10-1）可得頻率為200Hz和2000H

9、z的聲波在空氣中的波長各為頻率為200Hz和2000Hz的聲波在水中的波長各為可見，同一頻率的聲波，在水中的波長比在空氣中的波長要長得多?？梢宰C明，固體內(nèi)橫波和縱波的傳播速度v分別為 （橫波） （縱波）式中G、Y和分別為固體的切變彈性模量、楊氏彈性模量和密度。在液體和氣體內(nèi)，縱波的傳播速度為 （縱波）式中B為容變彈性模量。以上各式說明，機(jī)械波的波速決定于介質(zhì)的性質(zhì)，而與振源無關(guān)。關(guān)于介質(zhì)的切變彈性模量G、楊氏彈性模量Y和容變彈性模量B這里就不作介紹了。10.2 平面簡諧波10.2.1平面簡諧波的表達(dá)式一般地說，介質(zhì)中各個(gè)質(zhì)元的振動情況是很復(fù)雜的，由此所產(chǎn)生的波動也很復(fù)雜，本節(jié)只討論一種最簡單最

10、基本的波，即在均勻、無吸收的介質(zhì)中，當(dāng)波源作諧振動時(shí)，波所經(jīng)歷的所有質(zhì)元都按余弦（或正弦）規(guī)律振動，則在此介質(zhì)中所形成的波，稱為簡諧波?？梢宰C明，任何復(fù)雜的波都可以看成是由若干頻率不同的簡諧波疊加而成的。因此，討論簡諧波具有特別重要的意義。1. 波振面和波射線下面先介紹描述波動傳播時(shí)常用的幾個(gè)概念我們把在波動過程中，振動相位相同的點(diǎn)連成的面稱為波陣面或波面，有時(shí)又把波面中最前面的那個(gè)波面稱為波前。由于波陣面上各點(diǎn)的相位相同，所以波陣面是同相面。我們把波陣面是平面的波動稱為平面波，波陣面是球面的波動稱為球面波。如圖10-2。波的傳播方向稱為波線或波射線。在各向同性的介質(zhì)中，波線總是與波陣面垂直，

11、平面波的波線是垂直于波陣面的平行直線，球面波的波線是以波源為中心從中心向外的徑向直線。關(guān)于波陣面推進(jìn)的規(guī)律，我們在討論惠更斯原理時(shí)再作介紹。2. 平面簡諧波動方程現(xiàn)在我們來定量描述前進(jìn)中的波動，亦即要用數(shù)學(xué)函數(shù)式描述介質(zhì)中各質(zhì)元的位移是怎樣隨著時(shí)間而變化的。這樣的函數(shù)式稱為波動方程。對于平面波而言，在所有的波線上，振動傳播的情況都是相同的，因此可將平面簡諧波簡化為一維簡諧波來進(jìn)行研究。設(shè)有一平面簡諧波沿某一方向向前傳播，任取一條波線，在這條波線上，任取一質(zhì)元的平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)O，波線的方向?yàn)閄軸正方向，質(zhì)元向上振動的方向?yàn)閅軸的正方向，如圖10-3所示。選擇某一時(shí)刻作為起始時(shí)刻，O點(diǎn)處（即

12、x = 0處）質(zhì)元的振動方程可表示為y0 = Acos（t +）假定介質(zhì)是均勻無限大、無吸收的，那么各點(diǎn)的振幅將保持不變。為了找出在OX軸上任一質(zhì)元在任一時(shí)刻的位移，我們在OX軸正向上任取一平衡位置在x處的質(zhì)元，顯然，當(dāng)振動從點(diǎn)O傳至該處，該質(zhì)元將以相同的振幅和頻率重復(fù)點(diǎn)O的振動。因?yàn)檎駝訌狞c(diǎn)O傳播到該點(diǎn)的時(shí)間為，這表明當(dāng)點(diǎn)O振動了t時(shí)間，x處的該點(diǎn)只振動了的時(shí)間，即該點(diǎn)的相位落后（tx/u），于是x處的點(diǎn)在時(shí)刻t的位移為（10-2）這就是沿X軸正方向傳播的平面簡諧波的波動方程。若平面簡諧波是沿X軸負(fù)向傳播，與原點(diǎn)O處質(zhì)元的振動方程y0 = Acos（t +）相比，X軸上任一點(diǎn)x處質(zhì)元的振動方

13、程為 （10-2）利用關(guān)系式和uT=，可以將平面簡諧波的波動方程改寫成多種形式：（10-2a）（10-2b）（10-2c）如果改變計(jì)時(shí)起點(diǎn)，使原點(diǎn)O處質(zhì)元振動的初相位為零（= 0），則x處的振動規(guī)律是式（10-2）到（10-2c）為平面簡諧波動方程的幾種不同表示形式，都是標(biāo)準(zhǔn)式?？v波的平面簡諧波動方程具有同樣的形式。這時(shí)質(zhì)元的振動方向和波動的傳播方向一致。應(yīng)注意的是，y仍然表示質(zhì)元的位移，x依舊表示波動傳播方向上某質(zhì)元在平衡位置時(shí)的坐標(biāo)。例10-2 已知波動方程y = 5cos（2.50t0.01x）cm。求波長、周期和波速。解 方法一（比較系數(shù)法）由波動方程y = 5cos（2.50t0.0

14、1x）可寫成與標(biāo)準(zhǔn)波動方程 相比較，有方法二（由各物理量的定義解）（1）波長是指同一時(shí)刻t，波線上相位差為2的兩點(diǎn)間的距離，即（2.50t0.01x1）（2.50t0.01x2）=2得 =x2 x1 =200 cm（2）周期為相位傳播一個(gè)波長所需的時(shí)間（T = t2t1），即時(shí)刻t1點(diǎn)x1的相位在時(shí)刻t2 = t1 +T傳至點(diǎn)x2處，則有（2.50t10.01x1）= （2.50t20.01x2）得 T = t2t1 = 0.8 s （3）波速為振動狀態(tài)（相位）傳播的速度，即時(shí)刻t1點(diǎn)x1的相位在時(shí)刻t2傳至點(diǎn)x2處，得 例10-3一橫波沿繩子傳播時(shí)的波動方程為y = 0.05cos（10t4

15、x），式中x、y以米計(jì)，t以秒計(jì)。（1）求此波的振幅、波速、頻率和波長；（2）求繩子上各質(zhì)點(diǎn)振動時(shí)的最大速度和最大加速度；（3）求x1 = 0.2 m處的質(zhì)點(diǎn)，在t1 = 1 s時(shí)的相位，這一相位所代表的運(yùn)動狀態(tài)如何？（4）此相位所代表的運(yùn)動狀態(tài)在t2 = 1.5 s時(shí)刻到達(dá)哪一點(diǎn)？ 解 （1）一般所用的方法是將給定的方程和標(biāo)準(zhǔn)的波動方程相比較，從而求出各參量?，F(xiàn)在y = 0.05cos（10t4x）= 所以，此波向X軸正方向傳播，而A = 0.05 m ， u = 2.5 m·s-1， = 5 Hz ， = 0.5 m （2）平衡位置在x處的質(zhì)元在任意時(shí)刻的速度和加速度分別為由給定

16、的方程和標(biāo)準(zhǔn)的波動方程相比較，還有 = 10rad·s-1故，各質(zhì)點(diǎn)振動時(shí)的最大速度和最大加速度vm = A= 0.05×10= 1.57m·s-1 am = A2 = 0.05×（10）2 = 49.3 m·s-2（3）x1 = 0.2 m， t1 = 1 s時(shí)的相位為= 10t4x = 9.2此相位所代表的運(yùn)動狀態(tài)為位移 y = Acos = 0.05 cos9.2 =0.04 m振動速度 v = Asin = 0.05×10×sin 9.2 = 9.23 m·s-1說明此質(zhì)點(diǎn)處在平衡位置下方0.04m處，以9

17、.23m·s-1的速度向上運(yùn)動。（4）波速u也即相位傳播速度，在時(shí)間間隔內(nèi)相位傳播的距離為= u= 2.5×（1.51）= 1.25 mx = x1 += 1.45 m即t2 = 1.5 s時(shí)刻，此相位所描述的運(yùn)動狀態(tài)傳至離原點(diǎn)1.45 m處。*10.2.2 波動微分方程把式（10-2）分別對t和x求二階偏導(dǎo)數(shù)，得到比較上列兩式，即得 （10-3）如果從式（10-2）出發(fā)，所得的結(jié)果完全相同，仍是式（10-3）。任一平面波，如果不是簡諧波，也可以認(rèn)為是許多不同頻率的平面余弦波的合成，在對t和x偏微分兩次后，所得的結(jié)果將仍是式（10-3）。所以式（10-3）反映一切平面波的共

18、同特征，稱為平面波的波動微分方程?？梢宰C明，在三維空間中傳播的一切波動過程，只要介質(zhì)是無吸收的各向同性均勻介質(zhì)，都適合下式：式中為了避免混淆，改用代表振動位移。任何物質(zhì)運(yùn)動，只要它的運(yùn)動規(guī)律符合上式，就可肯定它是以u為傳播速度的波動過程。研究球面波時(shí)，可將上式化為球坐標(biāo)的形式，并注意到各個(gè)徑向方向上的波的傳播完全相同，即可得到球面波的波動方程為式中仍以代表振動位移，而r代表沿一半徑方向上離點(diǎn)波源的距離。與式（10-3）相比，即可得到與式（10-2）相對應(yīng)的球面余弦波波動表式如下：上式告訴我們，球面波的振幅與距離r成反比，隨著r的增加，振幅逐漸減小。式中常量a的數(shù)值等于r為單位長度處的振幅，a不

19、代表振幅，才代表振幅。10.3 波的能量在波動中，波源的振動通過彈性介質(zhì)由近及遠(yuǎn)地一層接著一層地傳播出去，使介質(zhì)中各質(zhì)元依次在各自的平衡位置附近振動，因而介質(zhì)中質(zhì)元具有動能，同時(shí)介質(zhì)因發(fā)生形變而具有勢能。所以，波動過程也是能量傳播的過程。假設(shè)平面簡諧橫波在密度為的均勻媒質(zhì)中傳播，其波動方程為由于振動，平衡位置在x處的質(zhì)元在任意時(shí)刻的速度為設(shè)每個(gè)質(zhì)元的體積為dV，則質(zhì)量為dm = dV，顯然，所有質(zhì)元都在與傳播方向垂直的方向上作持續(xù)的簡諧振動，每個(gè)質(zhì)元具有的動能為 （10-4） （10-5）（注：勢能的推導(dǎo)比較復(fù)雜，這里只給結(jié)果，不作推導(dǎo)。）質(zhì)元的總能量為它的動能和勢能之和 （10-6）由式（1

20、0-4）和（10-5）可知，一質(zhì)元的動能和勢能的時(shí)間關(guān)系式是相同的，兩者不僅同相，而且大小總是相等。它們同時(shí)達(dá)到最大值，同時(shí)為零。因?yàn)樵诓▌又信c勢能相聯(lián)的是質(zhì)元間的相對位移（體積元的形變y/x）。借助于波形圖不難看出，在最大位移處的質(zhì)元，速度為零，動能為零 ，同時(shí)y/x也為零，所以彈性勢能也為零。而在平衡位置處的質(zhì)元，速度最大，動能最大，同時(shí)波形曲線較陡，y/x有最大值，所以彈性勢能也最大。體積元的總機(jī)械能是隨時(shí)間而變化的，它在零和最大值之間周期地變化著。這一點(diǎn)與單個(gè)諧振子的情形完全不同。后者，動能最大時(shí)勢能為零，勢能最大時(shí)動能為零。為什么會有這個(gè)不同呢？因?yàn)楹喼C振動的能量是指一個(gè)作諧振動的孤

21、立系統(tǒng)的能量，在振動過程中，它的總能量是守恒的，即動能的增加必以勢能的減少作為代價(jià)，反之亦然。而現(xiàn)在我們所研究的質(zhì)元是處于媒質(zhì)的整體之中，每個(gè)質(zhì)元與其他的質(zhì)元以彈性力相聯(lián)系，它不是孤立的。在波動中，沿著波前進(jìn)的方向，每個(gè)質(zhì)元不斷地從后面的質(zhì)元中吸取能量而改變本身的運(yùn)動狀態(tài)，又不停地向前面的質(zhì)元放出能量而迫使它們改變運(yùn)動狀態(tài)，這樣，能量就伴隨著振動狀態(tài)從媒質(zhì)的一部分傳至另一部分。由式（10-6）可知，對于某一體積元來說，總能量隨t作周期性變化。這說明任一體積元都在不斷地接受和放出能量?？傊?，從能量的角度來看，波動和振動也是有區(qū)別的。波動任一體積元的總能量是時(shí)間的函數(shù)。這表明波動傳播能量，振動系統(tǒng)

22、并不傳播能量。介質(zhì)中單位體積的波動能量，稱為波的能量密度W，即W= （10-7）能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，稱為平均能量密度，用表示 （10-8）這一公式雖然是從平面簡諧橫波的特殊情況導(dǎo)出的，但是機(jī)械波的能量與振幅的平方、頻率的平方都成正比的結(jié)論卻是對于所有彈性波都是適用的。以上對機(jī)械波動過程的定量討論，基本上適用于電磁波。但電磁波是通過電場強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度H的周期性的變化來描述的。因?yàn)殡姶艌鼍哂心芰?，所以伴隨著電磁波的傳播，電磁場的能量也就隨之向前傳播。電磁波的能量密度為電場與磁場的能量密度之和，即10.4 惠更斯原理前面講過，波動的起源是波源的振動，波的傳播是由于介質(zhì)中質(zhì)元之間的相互作用

23、。介質(zhì)中任一點(diǎn)的振動將引起鄰近質(zhì)元的振動，因而在波的傳播過程中，介質(zhì)中任何一點(diǎn)都可以看作新的波源。例如，水面上有一波傳播（圖10-4），在前進(jìn)中遇到障礙物AB，AB上有一小孔，小孔的孔徑a比波長小。這樣，我們就可看到，穿過小孔的波是圓形的，與原來波的形狀無關(guān)，這說明小孔可看作新波源?；莞梗–.Hygens）總結(jié)了上述現(xiàn)象，提出了關(guān)于波的傳播規(guī)律：在波的傳播過程中，波陣面（波前）上的每一點(diǎn)都可以看作是發(fā)射子波的波源，在其后的任一時(shí)刻，這些子波的包跡就成為新的波陣面，這就是惠更斯原理。設(shè)S1為某一時(shí)刻t的波陣面，根據(jù)惠更斯原理，S1上的每一點(diǎn)發(fā)出的球面子波，經(jīng)時(shí)間后形成半徑為u的球面，在波的前進(jìn)

24、方向上，這些子波的包跡S2就成為t +時(shí)刻的新波陣面?；莞乖韺θ魏尾▌舆^程都是適用的，不論是機(jī)械波還是電磁波，只要知道某一時(shí)刻的波陣面，就可根據(jù)這一原理用幾何方法來決定任一時(shí)刻的波陣面，因而在很廣泛的范圍內(nèi)解決了波的傳播問題。圖10-5中用惠更斯原理描繪出球面波和平面波的傳播。根據(jù)惠更斯原理，還可以簡捷地用作圖的方法說明波在傳播中發(fā)生的衍射、散射、反射和折射等現(xiàn)象。應(yīng)該指出，惠更斯原理并沒有說明各個(gè)子波在傳播中對某一點(diǎn)的振動究竟有多少貢獻(xiàn)。我們將在下一章波動光學(xué)中介紹菲涅耳對惠更斯原理所作的補(bǔ)充。10.5 波的干涉10.5.1波的疊加實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)有幾列波同時(shí)在空間同一介質(zhì)中傳播、相遇，每一

25、列波都將獨(dú)立地保持自己原有的特性（頻率、波長、振動方向等），互不相干地獨(dú)立向前傳播，就像在各自的路程中，并沒有遇到其他波一樣，這稱為波傳播的獨(dú)立性。在管弦樂隊(duì)合奏或幾個(gè)人同時(shí)講話時(shí)，我們能夠辨別出各種樂器或各個(gè)人的聲音，這就是波的獨(dú)立性的例子。通常天空中同時(shí)有許多無線電波在傳播，我們能隨意接收到某一電臺的廣播，這是電磁波傳播的獨(dú)立性的例子。由于這種獨(dú)立傳播，在相遇的區(qū)域內(nèi)，任一點(diǎn)處質(zhì)元的振動為各列波單獨(dú)在該點(diǎn)引起的振動的合振動，即在任一時(shí)刻，該點(diǎn)處質(zhì)元的振動位移是各個(gè)波在該點(diǎn)所引起的位移的矢量和。這一規(guī)律稱為波的疊加原理。波的疊加原理是大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)的總結(jié)，它是波動所遵循的基本規(guī)律。彈性機(jī)械波，

26、電磁波，乃至物質(zhì)波皆服從這一規(guī)律。當(dāng)兩列波滿足一定條件時(shí)，在兩波交疊地區(qū)，由于波的疊加而出現(xiàn)一種特殊現(xiàn)象，此現(xiàn)象稱為波的干涉。10.5.2波的干涉一般地說，振幅、頻率、相位等都不相同的幾列波在某一點(diǎn)疊加時(shí)，情形是很復(fù)雜的。下面只討論一種最簡單而又最重要的情形，即兩列頻率相同、振動方向相同、相位相同或相位差恒定的簡諧波的疊加。滿足這些條件的兩列波在空間任何一點(diǎn)相遇時(shí)，該點(diǎn)的兩個(gè)分振動也有恒定相位差。但是對于空間不同的點(diǎn)，有著不同的恒定相位差。因而在空間某些點(diǎn)處，振動始終加強(qiáng)，而在另一些點(diǎn)處，振動始終減弱或完全抵消。這種現(xiàn)象稱為干涉現(xiàn)象。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的波稱為相干波，相應(yīng)的波源稱為相干波源。設(shè)有兩

27、個(gè)相干波源S1和S2，它們在同一均勻媒質(zhì)中所發(fā)出的相干波在空間某點(diǎn)p相遇，兩波在該點(diǎn)引起振動的表式即振動方程分別為式中A1和A2為兩列波在p點(diǎn)引起振動的振幅，1和2為兩個(gè)波源的初相位，并且（21）是恒定的，r1和r2為p點(diǎn)到兩個(gè)波源的距離。P點(diǎn)的振動為兩個(gè)同方向，同頻率振動的合成，由式（9-11），其合振幅為式中為兩個(gè)分振動在p點(diǎn)的相位差，其值為即 （10-9）式中（21）為兩振源之間的相位差， r2r1為兩波源至p點(diǎn)的波程差，波程差記作，= r2r1，為波程差引起的相位差。引用9.1.4中的結(jié)論，可得：當(dāng)= ±2k，k = 0,1,2,則p點(diǎn)的合振幅A = A1 + A2，振動得到

28、加強(qiáng)。當(dāng)=±（2k + 1），k = 0,1,2, 則p點(diǎn)的合振幅A =振動減弱。若兩波源具有相同的初相位，即2 = 1；則式（10-9）演變?yōu)椋?0-10）這是一個(gè)重要公式，它把波程差與相位差直接聯(lián)系起來，由此得出當(dāng)兩個(gè)相干波源具有相同的初相位時(shí)， 若 = r2r1=±k （k = 0,1,2） 則 A = A1 + A2 （10-11） 若 = r2r1=±(2k+1)/2 （k = 0,1,2） 則 A = （10-12）由上面分析可知，兩列相干波源為同相位時(shí)，在兩列波的疊加的區(qū)域內(nèi)，在波程差等于零或等于波長的整數(shù)倍的各點(diǎn)，振幅最大；在波程差等于半波長的奇數(shù)

29、倍的各點(diǎn)，振幅最小。由此可見，在兩波交迭地區(qū)，兩相干波所分別激發(fā)的分振動的相位差僅與各點(diǎn)的位置有關(guān)，因此各點(diǎn)的合振幅隨位置而異，但確定點(diǎn)的合振幅不隨時(shí)間變化。有些點(diǎn)的振幅始終最大，即A = A1 + A2，有些點(diǎn)的振幅始終最小，即A =，形成一種特殊的不隨時(shí)間變化的穩(wěn)定分布，這一現(xiàn)象就是波的干涉。干涉現(xiàn)象是波動遵從疊加原理的表現(xiàn)，是波動形式所獨(dú)具的重要特征之一。因?yàn)橹挥胁▌拥暮铣?，才能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。干涉現(xiàn)象對于光學(xué)、聲學(xué)等都非常重要，對于近代物理學(xué)的發(fā)展也有重大的作用。某種物質(zhì)運(yùn)動若能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象便可證明其具有波動的本質(zhì)。本章小結(jié)： 1.機(jī)械波的形成 形成機(jī)械波必需有振源和傳播振動的媒質(zhì)2.橫

30、波與縱波 質(zhì)元的振動方向和波的傳播方向相互垂直的波稱為橫波。其外形特征是具有凸起的波峰和凹下的波谷。質(zhì)元的振動方向和波的傳播方向一致的波稱為縱波?？v波的外形特征是具有“稀疏”和“稠密”的區(qū)域3. 描述波動的幾個(gè)物理量波長 在同一波線上兩個(gè)相鄰的、相位差為2的振動質(zhì)元之間的距離，叫做波長，用表示周期 波前進(jìn)一個(gè)波長的距離所需要的時(shí)間，用T表示頻率 周期的倒數(shù)叫做波的頻率，用表示，即 = 1/T，頻率等于單位時(shí)間內(nèi)波動傳播距離中完整波的數(shù)目。波的周期（或頻率）等于波源的振動周期（或頻率）波速 在波動過程中，某一振動狀態(tài)（即振動相位）在單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離叫做波速，用v表示。它們的關(guān)系是 或兩式具

31、有普遍的意義，對各類波都適用4. 平面簡諧波動方程描述介質(zhì)中各質(zhì)元的位移隨時(shí)間而變化的數(shù)學(xué)函數(shù)式稱為波動方程，其標(biāo)準(zhǔn)式有式中x前的符號應(yīng)用：當(dāng)平面簡諧波向+x方向傳播時(shí)，x前的符號取負(fù)；反之取正*5.波動微分方程6. 波的能量介質(zhì)中單位體積的波動能量，稱為波的能量密度W，W=能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，稱為平均能量密度，用表示 7. 惠更斯（C.Hygens）原理在波的傳播過程中，波陣面（波前）上的每一點(diǎn)都可以看作是發(fā)射子波的波源，在其后的任一時(shí)刻，這些子波的包跡就成為新的波陣面，這就是惠更斯原理8. 波的干涉 兩列頻率相同、振動方向相同、相位相同或相位差恒定的簡諧波在空間相遇時(shí)，在空間某些

32、點(diǎn)處，振動始終加強(qiáng)，而在另一些點(diǎn)處，振動始終減弱或完全抵消，這種現(xiàn)象稱為干涉現(xiàn)象。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的波稱為相干波，相應(yīng)的波源稱為相干波源當(dāng)兩個(gè)相干波源具有相同的初相位時(shí)，若= r2r1=±k（k = 0,1,2）則A = A1 + A2若= r2r1=±(2k+1)/2 （k = 0,1,2）則A =即，兩列相干波源為同相位時(shí)，在兩列波的疊加的區(qū)域內(nèi)，在波程差等于零或等于波長的整數(shù)倍的各點(diǎn)，振幅最大；在波程差等于半波長的奇數(shù)倍的各點(diǎn)，振幅最小習(xí) 題10-1 （1）波動與振動有什么區(qū)別和聯(lián)系？平面簡諧波動方程和簡諧振動方程有什么不同？有什么聯(lián)系？（2）簡諧振動的表示式里有幾個(gè)獨(dú)

33、立變量？簡諧波的表示式里有幾個(gè)獨(dú)立變量？怎樣理解一個(gè)簡諧波表示式的意義？怎么看出它表示了一個(gè)“跑動著”的波呢？（3）波動方程中的表示了什么？如果把此式改寫為，式中的又表示了什么？如果t增加，x也增加，但相應(yīng)的值并沒有變化，由此能從這波動方程明確什么現(xiàn)象？（4）波動方程中的位移y相對于哪一點(diǎn)、哪一平衡位置而言？位移的方向又是怎樣的？一個(gè)簡諧縱波的數(shù)學(xué)表示式是怎樣的？一個(gè)簡諧橫波的數(shù)學(xué)表示式又是怎樣的？寫給你一個(gè)波動方程，你可這方程知道這波動的哪些量、哪些情況？你能知道它代表縱波或橫波嗎？10-2 （1）設(shè)在某一時(shí)刻，一個(gè)向右傳播的平面余弦橫波的波形曲線的一部分如本題圖（a）中所示，試分別說明圖中

34、A、B、C、D、E、F、G、H、I各質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻的運(yùn)動方向。在1/4周期前和1/4周期后，這波的波形又是怎樣的？（2）設(shè)在某一時(shí)刻，一個(gè)向右傳播的平面余弦縱波的y-x曲線的一部分如本題圖（b）中所示，試畫出圖線上A、B、CM各點(diǎn)所代表的媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際位置和運(yùn)動方向的圖形；并將這圖形和它們平衡位置的圖形作比較，說明這縱波在該時(shí)刻的疏部和密部各在哪些部位。此外，再畫出1/4周期前和1/4周期后，各質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際位置圖形，說明疏部和密部的傳播情況。10-3 波源作諧振動，其振動方程為y = 4×10-3cos240t（m），它所形成的波以30 m·s-1的速度沿一直線行進(jìn)，（1）求波的周期及波長；（2）寫出波動方程。10-4 有一個(gè)一維簡諧波的波源，其頻率為250 Hz，波長為0.1m，振幅為0.02m，求：（1）距波源1.0 m處一點(diǎn)的振動方程及振動速度；（2）t = 0.1 s時(shí)的波形方程，并作圖；（3）波的傳播速度。10-5 波源的振動方程為y = 6×10-2cos（m），它所形成的波以2.0 m·s-1的速度在一直線上傳播，求：（1）距波源6.0 m處一點(diǎn)的振動方程；（2）該點(diǎn)