等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和全面總結(jié)（課堂PPT）

1、1要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.等差數(shù)列的定義等差數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列 ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列， 這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ，通常用字母，通常用字母表示表示. .2.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果等差數(shù)列如果等差數(shù)列 a an n 的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a a1 1，公差為，公差為d d，那么它的，那么它的通項(xiàng)公式是通項(xiàng)公式是 . .6.2 6.2 等差數(shù)列及其前等差數(shù)列及其前n n項(xiàng)和項(xiàng)和從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它相鄰前面一項(xiàng)從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它相鄰前面一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)的差是同一個(gè)常數(shù)公差公差d da an n= =a

2、a1 1+ +（n n-1-1）d d基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)23.3.等差中項(xiàng)等差中項(xiàng) 如果如果 ，那么，那么A A叫做叫做a a與與b b的等差中項(xiàng)的等差中項(xiàng). .4.4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)等差數(shù)列的常用性質(zhì)（1 1）通項(xiàng)公式的推廣：）通項(xiàng)公式的推廣：a an n= =a am m+ + ，（，（n n， m mN N* *）. .（2 2）若）若 a an n 為等差數(shù)列，且為等差數(shù)列，且k k+ +l l= =m m+ +n n，（，（k k，l l，m m， n nN N* *），則），則 . .（3 3）若）若 a an n 是等差數(shù)列，公差為是等差數(shù)列，公差為d d，則

3、，則 a a2 2n n 也是等也是等 差數(shù)列，公差為差數(shù)列，公差為 . .（4 4）若）若 a an n ， b bn n 是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則 papan n+ +qbqbn n 是是 . .2 2d da ak k+ +a al l= =a am m+ +a an n( (n n- -m m) )d d等差等差數(shù)列數(shù)列2baA3 （5 5）若）若 a an n 是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則a ak k，a ak k+ +m m， a ak k+2+2m m，（k k，m mN N* *）是公差為）是公差為 的等差數(shù)列的等差數(shù)列. .5.5.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)

4、和公式 設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列 a an n 的公差為的公差為d d，其前，其前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n= = 或或S Sn n= = . .6.6.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 S Sn n= = . . 數(shù)列數(shù)列 a an n 是等差數(shù)列的充要條件是其前是等差數(shù)列的充要條件是其前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式S Sn n= =f f（n n）是）是n n的的 ，即，即S Sn n= = . .mdmd2)(1naandnnna2) 1(1ndand)2(212AnAn2 2+ +BnBn，（，（A A2 2+ +B B2 200）二次函數(shù)或一次函數(shù)且不含常

5、數(shù)二次函數(shù)或一次函數(shù)且不含常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)47.7.在等差數(shù)列在等差數(shù)列 a an n 中，中，a a1 10 0，d d0 0，則，則S Sn n存在最存在最 值；若值；若a a1 10,0,d d0,0,則則S Sn n存在最存在最 值值. .8.8.等差數(shù)列與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì)等差數(shù)列與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì) （1 1）若）若 a an n 是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則 也成也成 數(shù)數(shù)列，列，其首項(xiàng)與其首項(xiàng)與 a an n 首項(xiàng)相同，公差是首項(xiàng)相同，公差是 a an n 公差的公差的 . . （2 2）S Sm m，S S2 2m m，S S3 3m m分別為分別為 a an n 的

6、前的前m m項(xiàng)，前項(xiàng)，前2 2m m項(xiàng)，項(xiàng)，前前3 3m m項(xiàng)的和，項(xiàng)的和，S Sm m，S S2 2m m- -S Sm m，S S3 3m m-S-S2 2m m成成 數(shù)列數(shù)列. .小小等差等差nSn21等差等差大大5（3 3）關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)）關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)若項(xiàng)數(shù)為若項(xiàng)數(shù)為2 2n n，則，則S S偶偶- -S S奇奇= = ， = = . .若項(xiàng)數(shù)為若項(xiàng)數(shù)為2 2n n-1-1，則，則S S偶偶= =（n n-1-1）a an n，S S奇奇= = a an n，S S奇奇- -S S偶偶= = ，(4)(4)兩個(gè)等差數(shù)列兩個(gè)等差數(shù)列 a an n 、

7、 b bn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n、T Tn n之間之間的關(guān)系為：的關(guān)系為： = = . .ndndn na an n偶奇SS.1nnSS偶奇1nnaannba1212nnTS6基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.(2009(2009遼寧遼寧) ) a an n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列, ,且且a a7 7-2-2a a4 4=-1,=-1,a a3 3=0,=0, 則公差則公差d d= = （） A.-2A.-2 B. B. C. C. D.2D.2 解析解析 根據(jù)題意得根據(jù)題意得a a7 7-2-2a a4 4= =a a1 1+6+6d d-2(-2(a a1 1+3+3d d)=-1

8、,)=-1, a a1 1=1.=1.又又a a3 3= =a a1 1+2+2d d=0,=0,d d= =B2121.2172.2.已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 中中, ,a a1 1=1, =1, 則則a a1010等于（等于（ ） A. B.A. B. C. D. C. D.以上都不對(duì)以上都不對(duì) 解析解析 由由a a1 1=1, =1, 得得 為等差數(shù)列為等差數(shù)列. . B,31111nnaa31111nnaana1,323131) 1(111nnaan.41, 43231011010aa51416183.3.（20092009福建）福建）等差數(shù)列等差數(shù)列 a an n 的前的前n

9、n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,且且 S S3 3=6,=6,a a3 3=4,=4,則公差則公差d d等于等于 （） A.1A.1B. B. C.2 C.2D.3D.3 解析解析 設(shè)設(shè) a an n 首項(xiàng)為首項(xiàng)為a a1 1, ,公差為公差為d d, , 則則S S3 3=3=3a a1 1+ + d d=3=3a a1 1+3+3d d=6,=6, a a3 3= =a a1 1+2+2d d=4,=4,a a1 1=0,=0,d d=2.=2.C3522394.4.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列 a an n 的前的前1313項(xiàng)之和為項(xiàng)之和為3939，則，則a a6 6+ +a a7 7+ +

10、a a8 8 等于等于（） A.6A.6B.9B.9C.12C.12D.18D.18 解析解析 由由S S1313= =13= =13a a7 7=39=39得得a a7 7=3=3， a a6 6+ +a a7 7+ +a a8 8=3=3a a7 7=9.=9.B2)(13131aa 105.5.設(shè)設(shè)S Sn n是等差數(shù)列是等差數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和，若項(xiàng)和，若 則則 等于等于（） A.1A.1B.-1B.-1C.2C.2D.D. 解析解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)，由等差數(shù)列的性質(zhì)，A,9535aa59SS21,952251913535aaaaaaaa. 19559592)(52

11、)(95191519159aaaaaaaaSS11題型一題型一 等差數(shù)列的判定等差數(shù)列的判定【例例1 1】已知數(shù)列】已知數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式a an n= =pnpn2 2+ +qnqn ( (p p、q qR R，且，且p p、q q為常數(shù)為常數(shù)).).（1 1）當(dāng)）當(dāng)p p和和q q滿足什么條件時(shí)，數(shù)列滿足什么條件時(shí)，數(shù)列 a an n 是等差數(shù)列；是等差數(shù)列；（2 2）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)p p和和q q, ,數(shù)列數(shù)列 a an n+1+1- -a an n 是等差數(shù)是等差數(shù)列列. . (1)(1)由定義知由定義知,a an n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列,

12、,a an n+1+1- -a an n必為一個(gè)常數(shù)必為一個(gè)常數(shù). .(2)(2)只需推證只需推證( (a an n+2+2- -a an n+1+1)-()-(a an n+1+1- -a an n) )為一個(gè)常數(shù)為一個(gè)常數(shù). .思維啟迪思維啟迪題型分類題型分類 深度剖析深度剖析12(1)(1)解解 a an n+1+1- -a an n= =p p( (n n+1)+1)2 2+ +q q( (n n+1)+1)-(-(pnpn2 2+ +qnqn) )=2=2pnpn+ +p p+ +q q, ,要使要使 a an n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,則則2 2pnpn+ +p p+ +q q

13、應(yīng)是一個(gè)與應(yīng)是一個(gè)與n n無(wú)關(guān)的無(wú)關(guān)的常數(shù)常數(shù), ,所以只有所以只有2 2p p=0,=0,即即p p=0, .=0, .故當(dāng)故當(dāng)p p=0 , =0 , 時(shí)，數(shù)列時(shí)，數(shù)列 a an n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列. .(2)(2)證明證明 a an n+1+1- -a an n=2=2pnpn+ +p p+ +q q, ,a an n+2+2- -a an n+1+1=2=2p p( (n n+1)+1)+p p+ +q q, ,(a an n+2+2- -a an n+1+1)-()-(a an n+1+1- -a an n)=2)=2p p為一個(gè)常數(shù)為一個(gè)常數(shù). .a an n+1+1- -a

14、 an n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列. .R RqR Rq13 探究提高探究提高 證明或判斷一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列證明或判斷一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列, ,通常通常有兩種方法有兩種方法:(1):(1)定義法定義法: :a an n+1+1- -a an n= =d d;(2);(2)等差中項(xiàng)等差中項(xiàng)法法:2:2a an n+1+1= =a an n+ +a an n+2+2. .就本例而言就本例而言, ,第第(2)(2)問(wèn)中問(wèn)中, ,需證明需證明( (a an n+2+2- -a an+n+1 1)-()-(a an+n+1 1- -a an n) )是常數(shù)是常數(shù), ,而不是證而不是證a an n+1+1-

15、-a an n為常數(shù)為常數(shù). .知 能 遷 移知 能 遷 移 1 1 設(shè) 兩 個(gè) 數(shù) 列設(shè) 兩 個(gè) 數(shù) 列 a an n , , b bn n 滿 足滿 足 b bn n= = 若若 b bn n 為等差數(shù)列，求證：為等差數(shù)列，求證： a an n 也為等差數(shù)列也為等差數(shù)列. .,32132321nnaaaan證明證明 由題意有由題意有a a1 1+2+2a a2 2+3+3a a3 3+nanan n= = 從而有從而有a a1 1+2+2a a2 2+3+3a a3 3+（n n-1-1）a an n-1-1= = b bn n-1-1，（，（n n22）2) 1( nnnbnn2) 1(

16、 14由由- -，得，得nanan n= =整理得整理得a an n= =其中其中d d為為 b bn n 的公差（的公差（n n22）. .從而從而a an n+1+1- -a an n= = （n n22）. .又又a a1 1= =b b1 1, ,a a2 2= = d d+ +b b1 1,a a2 2- -a a1 1= = d d, ,所以所以 a an n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列. .,2) 1(2) 1(1nnbnnbnn,21nnbbnd22) 1(11nnnnbbndbbdnddd2322232315題型二題型二 等差數(shù)列的基本運(yùn)算等差數(shù)列的基本運(yùn)算【例例2 2】在等差數(shù)列

17、】在等差數(shù)列 a an n 中，中， （1 1）已知）已知a a1515=33,=33,a a4545=153,=153,求求a a6161; ; （2 2）已知）已知a a6 6=10,=10,S S5 5=5=5，求，求a a8 8和和S S8 8； （3 3）已知前）已知前3 3項(xiàng)和為項(xiàng)和為1212，前，前3 3項(xiàng)積為項(xiàng)積為4848，且，且d d0,0,求求a a1 1. . 在等差數(shù)列中，五個(gè)重要的量，只要在等差數(shù)列中，五個(gè)重要的量，只要已知三個(gè)量，就可求出其他兩個(gè)量，其中已知三個(gè)量，就可求出其他兩個(gè)量，其中a a1 1和和d d是是兩個(gè)最基本量，利用通項(xiàng)公式與前兩個(gè)最基本量，利用通項(xiàng)

18、公式與前n n項(xiàng)和公式，先項(xiàng)和公式，先求出求出a a1 1和和d d. .思維啟迪思維啟迪16解解 （1 1）方法一方法一 設(shè)首項(xiàng)為設(shè)首項(xiàng)為a a1 1, ,公差為公差為d d, ,依條件得依條件得 33=33=a a1 1+14+14d d a a1 1=-23,=-23, 153= 153=a a1 1+44+44d d d d=4.=4.a a6161=-23+(61-1)=-23+(61-1)4=217.4=217.方法二方法二 由由 由由a an n= =a am m+(+(n n- -m m) )d d, ,得得a a6161= =a a4545+16+16d d=153+16=1

19、53+164=217.4=217., ,解方程組得解方程組得, 430331531545,1545aadmnaadmn得（2 2）a a6 6=10,=10,S S5 5=5,=5,解方程組得解方程組得a a1 1=-5,=-5,d d=3,=3,a a8 8= =a a6 6+2+2d d=10+2=10+23=16,3=16,a a1 1+5+5d d=10=105 5a a1 1+10+10d d=5.=5.17S S8 8=8=8 =44. =44.(3)(3)設(shè)數(shù)列的前三項(xiàng)分別為設(shè)數(shù)列的前三項(xiàng)分別為a a- -d d, ,a a, ,a a+ +d d, ,依題意有依題意有 ( (a

20、 a- -d d)+)+a a+(+(a a+ +d d)=12)=12 ( (a a- -d d)a a(a a+ +d d)=48,)=48, a a=4 =4 a a=4=4 a a( (a a2 2- -d d2 2)=48 )=48 d d= =2.2.d d0,0,d d=2,=2,a a- -d d=2.=2.首項(xiàng)為首項(xiàng)為2.2.a a1 1=2.=2.2)(81aa , , 方程思想是解決數(shù)列問(wèn)題的基本思想，方程思想是解決數(shù)列問(wèn)題的基本思想，通過(guò)公差列方程（組）來(lái)求解基本量是數(shù)列中最通過(guò)公差列方程（組）來(lái)求解基本量是數(shù)列中最基本的方法，同時(shí)在解題中也要注意數(shù)列性質(zhì)的基本的方法，

21、同時(shí)在解題中也要注意數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用應(yīng)用. . 探究提高探究提高18知能遷移知能遷移2 2 設(shè)設(shè) a an n 是一個(gè)公差為是一個(gè)公差為d d ( (d d0)0)的等差數(shù)的等差數(shù)列，它的前列，它的前1010項(xiàng)和項(xiàng)和S S1010=110=110且且a a1 1, ,a a2 2, ,a a4 4成等比數(shù)列成等比數(shù)列. . （1 1）證明）證明a a1 1= =d d; ; （2 2）求公差）求公差d d的值和數(shù)列的值和數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. . （1 1）證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閍 a1 1, ,a a2 2, ,a a4 4成等比數(shù)列，故成等比數(shù)列，故 = =a a1 1a a

22、4 4. . 而而 a an n 是等差數(shù)列，有是等差數(shù)列，有a a2 2= =a a1 1+ +d d, ,a a4 4= =a a1 1+3+3d d. . 于是于是( (a a1 1+ +d d) )2 2= =a a1 1( (a a1 1+3+3d d),), 即即 +2+2a a1 1d d+ +d d2 2= +3= +3a a1 1d d. .化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得a a1 1= =d d. . （2 2）解解 因?yàn)橐驗(yàn)镾 S1010=110=110，S S1010=10=10a a1 1+ + d d， 所以所以1010a a1 1+45+45d d=110.=110. 由（由（1 1

23、）a a1 1= =d d, ,代入上式得代入上式得5555d d=110,=110, 故故d d=2,=2,a an n= =a a1 1+(+(n n-1)-1)d d=2=2n n. . 因此，數(shù)列因此，數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為a an n=2=2n n, ,n n=1,2,3,.=1,2,3,.22a21a291021a19題型三題型三 等差數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用【例例3 3】 （1212分）在等差數(shù)列分）在等差數(shù)列 a an n 中，已知中，已知a a1 1=20,=20,前前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，且，且S S1010= =S S1

24、515，求當(dāng)，求當(dāng)n n取何值時(shí)，取何值時(shí)，S Sn n取得最取得最大值，并求出它的最大值大值，并求出它的最大值. . （1 1）由）由a a1 1=20=20及及S S1010= =S S1515可求得可求得d d, ,進(jìn)而求進(jìn)而求得通項(xiàng)，由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為正，或利得通項(xiàng)，由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為正，或利用用S Sn n是關(guān)于是關(guān)于n n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解方法求解. .（2 2）利用等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷出數(shù)）利用等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷出數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始變號(hào)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始變號(hào). .思維啟迪思維啟迪20解解 方法一方法一 a a1 1

25、=20=20，S S1010= =S S1515，101020+ 20+ d d=15=1520+ 20+ d d，d d= 4= 4分分a an n=20+=20+（n n-1-1） 8 8分分a a1313=0.=0.即當(dāng)即當(dāng)n n1212時(shí)，時(shí)，a an n0,0,n n1414時(shí)，時(shí)，a an n0. 100. 10分分當(dāng)當(dāng)n n=12=12或或1313時(shí)，時(shí)，S Sn n取得最大值，且最大值為取得最大值，且最大值為S S1212= =S S1313=12=1220+ =130. 1220+ =130. 12分分291021415.35.36535)35(n)35(2111221方法二

26、方法二 同方法一求得同方法一求得d d= = 4 4分分S Sn n=20=20n n+ += = = 8 8分分n nN N+ +,當(dāng)當(dāng)n n=12=12或或1313時(shí)，時(shí)，S Sn n有最大值，有最大值，且最大值為且最大值為S S1212= =S S1313=130.=130. 12 12分分方法三方法三 同方法一得同方法一得d d= 4= 4分分又由又由S S1010= =S S1515, ,得得a a1111+ +a a1212+ +a a1313+ +a a1414+ +a a1515=0. 8=0. 8分分55a a1313=0,=0,即即a a1313=0.=0. 10 10分分

27、當(dāng)當(dāng)n n=12=12或或1313時(shí)，時(shí)，S Sn n有最大值，有最大值，且最大值為且最大值為S S1212= =S S1313=130. 12=130. 12分分.35)35(2) 1(nnnn6125652.241253)225(652n.3522探究提高探究提高 求等差數(shù)列前求等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的最值，常用的方法：項(xiàng)和的最值，常用的方法：（1 1）利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；）利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；（2 2）利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；）利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；（3 3）利用等差數(shù)列的前）利用等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S

28、 Sn n= =AnAn2 2+ +BnBn（A A、B B為常數(shù)）為常數(shù)）為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值. .23知能遷移知能遷移3 3 在等差數(shù)列在等差數(shù)列 a an n 中，中，a a1616+ +a a1717+ +a a1818= =a a9 9=-36,=-36,其前其前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n. . （1 1）求）求S Sn n的最小值，并求出的最小值，并求出S Sn n取最小值時(shí)取最小值時(shí)n n的值；的值； （2 2）求）求T Tn n=|=|a a1 1|+|+|a a2 2|+|+|a an n|.|. 解解 （1 1）設(shè)等差

29、數(shù)列）設(shè)等差數(shù)列 a an n 的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a a1 1, ,公差為公差為d d, , a a1616+ +a a1717+ +a a1818=3=3a a1717=-36,=-36,a a1717=-12,=-12, d d= =3,= =3, a an n= =a a9 9+(+(n n-9)-9)d d=3=3n n-63,-63,a an n+1+1=3=3n n-60,-60, a an n=3=3n n-630-630 a an n+1+1=3=3n n-600-600 S S2020= =S S2121= = 當(dāng)當(dāng)n n=20=20或或2121時(shí)，時(shí)，S Sn n最小且最小值

30、為最小且最小值為-630.-630.824917917aa令令, ,得得2020n n21,21,6302)3(602024（2 2）由（）由（1 1）知前）知前2020項(xiàng)小于零，第項(xiàng)小于零，第2121項(xiàng)等于項(xiàng)等于0 0，以后，以后各項(xiàng)均為正數(shù)各項(xiàng)均為正數(shù). .當(dāng)當(dāng)n n2121時(shí)，時(shí)，T Tn n=-=-S Sn n= =當(dāng)當(dāng)n n2121時(shí)，時(shí)，T Tn n= =S Sn n-2-2S S2121= =2)63360(nn.2123232nn 2122)63360(Snn.26012123232nn綜上，綜上，T Tn n= =（n n2121，n nN N* *）（n n21,21,n

31、nN N* *）. .260121232321232322nnnn25方法與技巧方法與技巧1.1.等差數(shù)列的判斷方法有等差數(shù)列的判斷方法有 (1)(1)定義法：定義法：a an n+1+1- -a an n= =d d ( (d d是常數(shù)是常數(shù)) ) a an n 是等差數(shù)是等差數(shù)列列. . (2) (2)中項(xiàng)公式：中項(xiàng)公式：2 2a an n+1+1= =a an n+ +a an n+2+2 ( (n nN N* *) ) a an n 是等差是等差數(shù)列數(shù)列. . (3) (3)通項(xiàng)公式：通項(xiàng)公式：a an n= =pnpn+ +q q( (p p, ,q q為常數(shù)）為常數(shù)） a an n

32、 是等差是等差數(shù)列數(shù)列. . (4) (4)前前n n項(xiàng)和公式：項(xiàng)和公式：S Sn n= =AnAn2 2+ +BnBn （A A、B B為常數(shù)）為常數(shù)） a an n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高262.2.方程思想和基本量思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)方程思想和基本量思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為題時(shí)可以考慮化歸為a a1 1和和d d等基本量，通過(guò)建立方等基本量，通過(guò)建立方程（組）獲得解程（組）獲得解. .3.3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式本身可以由累加法得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式本身可以由累加法得到. .4.4.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公

33、式S Sn n= = 很像梯形面積很像梯形面積公式，其推導(dǎo)方法也與梯形面積公式的推導(dǎo)方法公式，其推導(dǎo)方法也與梯形面積公式的推導(dǎo)方法完全一樣完全一樣. .5.5.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式S Sn n= =nana1 1+ + d d可以變形可以變形為為 類似于勻加速直線運(yùn)動(dòng)的路類似于勻加速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，只要把程公式，只要把d d理解為加速度理解為加速度. .2)(1naan2) 1( nn,)2(2112ndadnSn27失誤與防范失誤與防范1.1.如果如果p p+ +q q= =r r+ +s s, ,則則a ap p+ +a aq q= =a ar r+ +a a

34、s s, ,一般地，一般地，a ap p+ +a aq qa ap p+ +q q，必須是兩項(xiàng)相加，當(dāng)然可以是必須是兩項(xiàng)相加，當(dāng)然可以是a ap p- -t t+ +a ap p+ +t t=2=2a ap p. .2.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式通常是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式通常是n n的一次函數(shù)，除非公的一次函數(shù)，除非公差差d d=0.=0.3.3.公差不為公差不為0 0的等差數(shù)列的前的等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式是項(xiàng)和公式是n n的二次函的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.0.若某數(shù)列的前若某數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式是項(xiàng)和公式是n n的的常數(shù)項(xiàng)不為常數(shù)項(xiàng)不為0 0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，的

35、二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列. .4.4.公差公差d d= = 類似于由兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率的計(jì)類似于由兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率的計(jì)算算. .5.5.當(dāng)當(dāng)d d不為零時(shí)，等差數(shù)列必為單調(diào)數(shù)列不為零時(shí)，等差數(shù)列必為單調(diào)數(shù)列. .6.6.從一個(gè)等差數(shù)列中，每隔一定項(xiàng)抽出一項(xiàng)，組成從一個(gè)等差數(shù)列中，每隔一定項(xiàng)抽出一項(xiàng)，組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列的數(shù)列仍是等差數(shù)列. .,mnaamn28一、選擇題一、選擇題1.1.(2008(2008廣東廣東) )記等差數(shù)列記等差數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,若若 a a1 1= = ，S S4 4

36、=20=20，則，則S S6 6等于等于 （） A.16A.16B.24B.24C.36C.36D.48D.48 解析解析 S S4 4=2+6=2+6d d=20=20，d d=3=3，故，故S S6 6=3+15=3+15d d=48.=48.D21定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè)292.2.（20092009安徽）安徽）已知已知 a an n 為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，a a1 1+ +a a3 3+ + a a5 5=105,=105,a a2 2+ +a a4 4+ +a a6 6=99,=99,則則a a2020等于等于 （） A.-1A.-1B.1B.1C.3C.3D.7D.7 解析解析 由已知得

37、由已知得a a1 1+ +a a3 3+ +a a5 5=3=3a a3 3=105,=105, a a2 2+ +a a4 4+ +a a6 6=3=3a a4 4=99,=99,a a3 3=35,=35,a a4 4=33,=33,d d=-2.=-2. a a2020= =a a3 3+17+17d d=35+(-2)=35+(-2)17=1.17=1.B303.3.（20092009湖南）湖南）設(shè)設(shè)S Sn n是等差數(shù)列是等差數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和，項(xiàng)和， 已知已知a a2 2=3,=3,a a6 6=11,=11,則則S S7 7等于等于 （ ） A.13A.13B

38、.35B.35C.49C.49D.63D.63 解析解析 a a1 1+ +a a7 7= =a a2 2+ +a a6 6=3+11=14.=3+11=14. S S7 7= =C.492)(771aa314.4.（20092009寧夏、海南）寧夏、海南）等比數(shù)列等比數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 S Sn n, ,且且4 4a a1 1,2,2a a2 2, ,a a3 3成等差數(shù)列，若成等差數(shù)列，若a a1 1=1,=1,則則S S4 4= =（） A.7A.7B.8B.8C.15C.15D.16D.16 解析解析 設(shè)等比數(shù)列的公比為設(shè)等比數(shù)列的公比為q q，則由，則由4

39、 4a a1 1,2,2a a2 2, ,a a3 3成成等差數(shù)列，得等差數(shù)列，得4 4a a2 2=4=4a a1 1+ +a a3 3.4.4a a1 1q q=4=4a a1 1+ +a a1 1q q2 2.q q2 2- -4 4q q+4=0.+4=0. q q=2,=2,S S4 4= =C.151)1 (41qqa325.5.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列 a an n 的公差為的公差為d d ( (d d0)0)，且，且a a3 3+ +a a6 6 + +a a1010+ +a a1313=32,=32,若若a am m=8=8，則，則m m為為（） A.12A.12B.8B.8

40、 C.6 C.6 D.4 D.4 解析解析 由等差數(shù)列性質(zhì)由等差數(shù)列性質(zhì)a a3 3+ +a a6 6+ +a a1010+ +a a1313 =( =(a a3 3+ +a a1313)+()+(a a6 6+ +a a1010)=2)=2a a8 8+2+2a a8 8=4=4a a8 8=32,=32, a a8 8=8.=8.m m=8.=8.B336.6.各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列 a an n 中，若中，若 - -a an n-1-1- -a an n+1+1=0=0 ( (n nN N* *，n n2)2)，則，則S S2 0092 009等于等于（） A.0

41、B.2 C.2 009 D.4 018A.0 B.2 C.2 009 D.4 018 解析解析 = =a an n-1-1+ +a an n+1+1=2=2a an n, ,a an n0,0,a an n=2.=2. S Sn n=2=2n n, ,S S2 0092 009=2=22 009=4 018.2 009=4 018.D2na2na34二、填空題二、填空題7.7.（20092009遼寧）遼寧）等差數(shù)列等差數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,且且 6 6S S5 5-5-5S S3 3=5,=5,則則a a4 4= = . . 解析解析 由題意知由題意知

42、6 6 +45 +45d d=15(=15(a a1 1+3+3d d)=15)=15a a4 4=5,=5,故故a a4 4= .= .11115)2233(5)2455(adada3131358.8.（20092009全國(guó)全國(guó)）設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, , 若若a a5 5=5=5a a3 3, ,則則 = = . . 解析解析 設(shè)等差數(shù)列的公差為設(shè)等差數(shù)列的公差為d d, ,首項(xiàng)為首項(xiàng)為a a1 1, , 則由則由a a5 5=5=5a a3 3知知a a1 19 959SS. 9)2(5)4(9,231159dadaSSd369.9.

43、已知已知S Sn n為等差數(shù)列為等差數(shù)列 a an n 的前的前n n項(xiàng)和，若項(xiàng)和，若a a2 2a a4 4= = 76 76，則，則S S7 7S S3 3等于等于 . . 解析解析 2121,76,672442aaaa. 2,763171,76331771373724SSSSaa37三、解答題三、解答題10.10.在數(shù)列在數(shù)列 a an n 中，中，a a1 1=1,3=1,3a an na an n-1-1+ +a an n- -a an n-1-1=0 (=0 (n n2).2).（1 1）求證：數(shù)列）求證：數(shù)列 是等差數(shù)列；是等差數(shù)列；（2 2）求數(shù)列）求數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)

44、的通項(xiàng). .（1 1）證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)? 3a an na an n-1-1+ +a an n- -a an n-1-1=0 (=0 (n n2),2), 整理得整理得 =3 (=3 (n n2).2). 所以數(shù)列所以數(shù)列 是以是以1 1為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，3 3為公差的等差數(shù)列為公差的等差數(shù)列. .（2 2）解解 由（由（1 1）可得）可得 =1+3(=1+3(n n-1)=3-1)=3n n-2,-2, 所以所以a an n= =na1na1111nnaana1.231n3811.11.已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 中，中，a a1 1= = ，a an n=2- (=2- (n n2, 2, n nN N* *),),數(shù)列數(shù)列 b bn n 滿足滿足b bn n= (= (n nN N* *).). （1 1）求證：數(shù)列）求證：數(shù)列 b bn n