考研數(shù)一真題解析

1、1990年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題一、填空題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1) 過點且與直線垂直的平面方程是_x-3y-z+4=0_.(2) 設為非零常數(shù),則=_.(3) 設函數(shù) 則=_1_.(4) 積分的值等于_.(5) 已知向量組,則該向量的秩是_2_.二、選擇題(本題共5個小題,每小題3分,滿分15分.)(1) 設是連續(xù)函數(shù),且,則等于 ( A )(A) (B) (C) (D) (2) 已知函數(shù)具有任意階導數(shù),且,則當為大于2的正整數(shù)時, 的階導數(shù)是 ( A )(A) (B) (C) (D) (3) 設為常數(shù),則級數(shù) ( C ) (A) 絕對收斂 (B) 條件

2、收斂 (C) 發(fā)散 (D) 收斂性與的取值有關 (4) 已知在的某個領域內(nèi)連續(xù),且,則在點處 ( D )(A) 不可導 (B) 可導,且 (C) 取得極大值 (D) 取得極小值 (5) 已知、是非齊次線性方程組的兩個不同的解,、是對應齊次線性方程組的基礎解系,為任意常數(shù),則方程組的通解(一般解)必是( B )(A) (B) (C) (D) 三、(本題滿分15分,每小題5分.)(1) 求 .解：(2) 設,其中具有連續(xù)的二階偏導數(shù),求.解：(3) 求微分方程的通解(一般解).解：特征方程為的跟為.對應齊次方程的通解為，其中為任意常數(shù).設原方程的特解為代入原方程得.因此，原方程的通解為四、(本題滿

3、分6分.)求冪級數(shù)的收斂域,并求其和函數(shù).解：因為所以顯然冪級數(shù)在時發(fā)散，故此冪級數(shù)的收斂域為又 五、(本題滿分8分)求曲面積分其中是球面外側在的部分.解：令其法向量與z軸的負向相同.設S和S1所圍成的區(qū)域為，則由奧-高公式有而所以六、(本題滿分7分)設不恒為常數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,且.證明在內(nèi)至少存在一點,使得.證：因且不恒為常數(shù)，故至少存在一點，使得于是或現(xiàn)設，則在上因滿足拉格朗日定理的條件，故至少存在一點，使得對于情形，類似地可證得此結果.七、(本題滿分6分)設四階矩陣,且矩陣滿足關系式,其中為四階單位矩陣,表示的逆矩陣,表示的轉置矩陣.將上述關系式化簡并求矩陣.解：因

4、故因此八、(本題滿分8分)求一個正交變換,化二次型為標準形.解：二次型的矩陣A =，由 A的特征值為對于從而可取特征向量及與P1正交的另一特征向量對于取特征向量將上述相互正交的特征向量單位化，得故在正交變換下，二次型.九、(本題滿分8分)質(zhì)點沿著以為直徑的半圓周,從點運動到點的過程中受變力作用(見圖).的大小等于點與原點之間的距離,其方向垂直于線段且與軸正向的夾角小于,求變力對質(zhì)點所作的功.解：由題意，變力F=-yi+xj.圓弧AB的參數(shù)方程是變力F所作的功十、填空題(本題滿分6分,每小題2分.)(1) 已知隨機變量的概率密度函數(shù),則的概率分布函數(shù)_.(2) 設隨機事件、及其和事件的概率分別是0.4、0.3和0.6,若表示的對立事件,那么積事件的概率_0.3_.(3) 已知離散型隨機變量服從參數(shù)為2的泊松(Poisson)分布,即,則隨機變量的數(shù)學期望_4_.十一、(本題滿分