考研數(shù)學(xué)一真題與解析

1、2019年考研數(shù)學(xué)一真題解析一、選擇題 18小題每小題4分，共32分1當(dāng)時(shí)，若與是同階無(wú)窮小，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【詳解】當(dāng)時(shí)，所以，所以2設(shè)函數(shù)，則是的（ ）（A）可導(dǎo)點(diǎn)，極值點(diǎn) （B）不可導(dǎo)的點(diǎn)，極值點(diǎn)（C）可導(dǎo)點(diǎn)，非極值點(diǎn) （D）不可導(dǎo)點(diǎn)，非極值點(diǎn)【答案】（B）【詳解】（1），所以函數(shù)在處連續(xù)；（2），所以函數(shù)在處不可導(dǎo)；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少，所以函數(shù)在取得極大值3設(shè)是單調(diào)增加的有界數(shù)列，則下列級(jí)數(shù)中收斂的是（ ）（A） （B） (C） （D）【答案】（D）【詳解】設(shè)是單調(diào)增加的有界數(shù)列，由單調(diào)有界定理知存在，記為；又設(shè)，滿足，則，

2、且，則對(duì)于正項(xiàng)對(duì)于級(jí)數(shù)，前項(xiàng)和：也就是收斂4設(shè)函數(shù)，如果對(duì)于上半平面內(nèi)任意有向光滑封閉曲線都有那么函數(shù)可取為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【詳解】顯然，由積分與路徑無(wú)關(guān)條件知，也就是，其中是在上處處可導(dǎo)的函數(shù)只有（D）滿足5設(shè)是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，是三階單位矩陣，若，且，則二次型的規(guī)范形是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（C）【詳解】假設(shè)是矩陣的特征值，由條件可得，也就是矩陣特征值只可能是和而，所以三個(gè)特征值只能是，根據(jù)慣性定理，二次型的規(guī)范型為6如圖所示，有三張平面兩兩相交，交線相互平行，它們的方程組成的線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別記為，則（ ）（A） （

3、B）（C） （D）【答案】（A）【詳解】(1)顯然三個(gè)平面沒(méi)有共同交點(diǎn)，也就是非齊次方程組無(wú)解，從而；（2）從圖上可看任何兩個(gè)平面都不平行，所以；7 設(shè)為隨機(jī)事件，則的充分必要條件是 （ ） （A） （B） （C） （D）【答案】（C）【詳解】選項(xiàng)（A）是互不相容；選項(xiàng)（B）是獨(dú)立，都不能得到；對(duì)于選項(xiàng)（C），顯然，由，8設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布則（ ）（A）與無(wú)關(guān)，而與有關(guān) （B）與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)（C）與，都有關(guān) （D）與，都無(wú)關(guān)【答案】（A）【詳解】由于隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布，則，從而只與有關(guān)二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線

4、上）9設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則 【答案】解：10微分方程滿足條件的特解為 【答案】【詳解】把方程變形得，即由初始條件確定，所以11.冪級(jí)數(shù)在內(nèi)的和函數(shù) .看不清楚題目是還是，我以給出解答【答案】【詳解】注意，從而有：12設(shè)為曲面的上側(cè)，則 【答案】【詳解】顯然曲面在平面的投影區(qū)域?yàn)?3設(shè)為三階矩陣，若線性無(wú)關(guān)，且，則線性方程組的通解為 【答案】，其中為任意常數(shù)【詳解】顯然矩陣的秩，從而齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量由可知也就是為方程組基礎(chǔ)解系，通解為，其中為任意常數(shù)14設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，為其分布函數(shù)，其數(shù)學(xué)期望，則 【答案】【詳解】，三、解答題15（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)是微分方程滿足

5、條件的特解（1）求；（2）求曲線的凸凹區(qū)間及拐點(diǎn)【詳解】（1）這是一個(gè)一階線性非齊次微分方程先求解對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解：，其中為任意常數(shù)；再用常數(shù)變易法求通解，設(shè)為其解，代入方程，得，也就是通解為：把初始條件代入，得，從而得到（2）令得當(dāng)或時(shí)，是曲線的凸區(qū)間；當(dāng)或時(shí)，是曲線的凹區(qū)間曲線的拐點(diǎn)有三個(gè)，分別為16（本題滿分10分）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的方向?qū)?shù)中，沿方向的方向?qū)?shù)最大 ，最大值為（1）求常數(shù)之值；（2）求曲面的面積【詳解】（1），則；所以函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為；由條件可知梯度與方向相同，且也就得到解出或（舍）即（2）17（本題滿分10分）求曲線與軸之間形成圖形的面積【詳解】先求曲線

6、與軸的交點(diǎn)：令得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由不定積分可得，所求面積為18（本題滿分10分）設(shè)（1）證明：數(shù)列單調(diào)減少，且；（2）求極限【詳解】（1）證明：，當(dāng)時(shí)，顯然有，所以數(shù)列單調(diào)減少；先設(shè)則當(dāng)時(shí)，也就是得到令，則同理，綜合上述，可知對(duì)任意的正整數(shù)，均有，即；（2）由（1）的結(jié)論數(shù)列單調(diào)減少，且令，由夾逼準(zhǔn)則，可知19（本題滿分10分）設(shè)是由錐面與平面圍成的錐體，求的形心坐標(biāo)【詳解】先計(jì)算四個(gè)三重積分：，從而設(shè)形心坐標(biāo)為注：其實(shí)本題如果明白本題中的立體是一個(gè)圓錐體，則由體積公式顯然，且由對(duì)稱性，明顯，20（本題滿分11分）設(shè)向量組為空間的一組基，在這組基下的坐標(biāo)為（1）求之值；（2）證明：也為空間的一組

7、基，并求到的過(guò)渡矩陣【詳解】（1）由可得，解方程組，得且當(dāng)時(shí)，即線性無(wú)關(guān)，確實(shí)是空間的一組基（2），顯然線性無(wú)關(guān)，當(dāng)然也為空間的一組基設(shè)，則從到的過(guò)渡矩陣為21（本題滿分11分）已知矩陣與相似（1）求之值；（2）求可逆矩陣，使得【詳解】（1）由矩陣相似的必要條件可知：，即，解得（2）解方程組得矩陣的三個(gè)特征值；分別求解線性方程組得到分屬三個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為：令，則可逆，且；同樣的方法，可求得屬于矩陣的三個(gè)特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為：令，則可逆，且；由前面，可知令，就滿足22（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，的概率分布為：，令（1）求的概率密度；（2）為何值時(shí)，不相關(guān)；（3）此時(shí)，是否相互獨(dú)立【詳解】（1）顯然的概率密度函數(shù)為先求的分布函數(shù)：再求的概率密度：（2）顯然；由于隨機(jī)變量相互獨(dú)立，所以；要使不相關(guān)，必須，也就是時(shí)不相關(guān)；（3）顯然不相互獨(dú)立，理由如下：設(shè)事件，事件，則；，當(dāng)時(shí)，顯然，也就是顯然不