課時(shí)作業(yè)利用空間向量求空間角

1、課時(shí)作業(yè)51利用空間向量求空間角1(2014·福建卷)在平面四邊形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.將ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如圖(1)求證：ABCD；(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值解：(1)平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BEBD，如圖由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系依題意，得B(0,0,0

2、)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0，)，則(1,1,0)，(0，)，(0,1，1)設(shè)平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，則即取z01，得平面MBC的一個(gè)法向量n(1，1,1)設(shè)直線AD與平面MBC所成角為，則sin|cosn，|，即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為.2(2014·天津卷)如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)(1)證明：BEDC；(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；(3)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BFAC，求二面角FABP的余弦值解：依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)

3、建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1,1,1)(1)證明：向量(0,1,1)，(2,0,0)，故·0.所以，BEDC.(2)向量(1,2,0)，(1,0，2)設(shè)n(x，y，z)為平面PBD的法向量，則即不妨令y1，可得n(2,1,1)為平面PBD的一個(gè)法向量于是有cosn，.所以，直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.(3)向量(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由點(diǎn)F在棱PC上，設(shè)，01.故(12，22，2)由BFAC，得·0，因此，2(12)2(22)

4、0，解得.即.設(shè)n1(x，y，z)為平面FAB的法向量，則即不妨令z1，可得n1(0，3,1)為平面FAB的一個(gè)法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，則cosn1，n2.易知，二面角FABP是銳角，所以其余弦值為.3在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB，AD1，M是線段AD的中點(diǎn)(1)試在平面ABCD內(nèi)過M點(diǎn)作出與平面A1B1CD平行的直線l，說明理由，并證明：l平面AA1D1D；(2)若(1)中的直線l交直線AC于點(diǎn)N，且二面角AA1NM的余弦值為，求AA1的長解：(1)在平面ABCD內(nèi)過M點(diǎn)作直線lDC，l平面A1B1CD，DC平面A1B1CD，l平面A1B1CD.在長方體AB

5、CDA1B1C1D1中，DCAD，DCDD1，則lAD，lDD1.又ADDD1D，l平面AA1D1D.(2)由(1)知，lDC且M是線段AD的中點(diǎn)，N是線段AC的中點(diǎn)設(shè)AA1h，以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A1B1，A1D1，A1A所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1xyz.則A1(0,0,0)，A(0,0，h)，N(，h)，M(0，h)(0,0，h)，(，h)，(0，h)，(，0,0)設(shè)平面A1AN的法向量n1(x1，y1，z1)，則，取x11，n1(1，0)設(shè)平面A1MN的法向量n2(x2，y2，z2)，則，取z21，n2(0，2h,1)二面角AA1NM的余弦值為，cosn1，n

6、2，即，解得h1，即AA11.1等邊三角形ABC的邊長為3，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且滿足(如圖1)將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB為直二面角，連接A1B、A1C(如圖2)(1)求證：A1D平面BCED；(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°？若存在，求出PB的長，若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)證明：因?yàn)榈冗匒BC的邊長為3，且，所以AD1，AE2.在ADE中，DAE60°，由余弦定理得DE.因?yàn)锳D2DE2AE2，所以ADDE.折疊后有A1DDE，因?yàn)槎娼茿1DEB是直二面角，所以平面A1DE平面BCE

7、D，又平面A1DE平面BCEDDE，A1D平面A1DE，A1DDE，所以A1D平面BCED.(2)由(1)的證明，可知EDDB，A1D平面BCED，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線DB、DE、DA1分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz如右圖，設(shè)PB2a(02a3)，過P作PHDE，則BHa，PHa，DH2a，所以A1(0,0,1)，P(2a，a,0)，E(0，0)，所以(a2，a,1)，因?yàn)镋D平面A1BD，所以平面A1BD的一個(gè)法向量為(0，0)，因?yàn)橹本€PA1與平面A1BD所成的角為60°，所以sin60°，解得a，即PB2a，滿足02a3，符合題意，所以在

8、線段BC上存在點(diǎn)P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°，此時(shí)PB.2如下圖，ABC中，AB2，BC1，ABC90°，D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，DEBC，將ADE沿DE折到ADE的位置，使平面ADE平面BCED.(1)當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)平面ABC與平面ADE所成的二面角的平面角為(0<<)，直線AC與平面ADE所成角為，求tan()的值；(2)當(dāng)D點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求四棱錐ABCED體積的最大值解：(1)DB，DE，DA兩兩垂直，故以點(diǎn)D為原點(diǎn)DB，DE，DA所在直線分別為x，y，z軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖)，則D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，E(0，0)，A(0,0,1)(1,0，1)，(0,1,0)，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n(x，y，z)由得，故可取n(1,0,1)，又平面ADE的一個(gè)法向量為(1,0,0)cos|cosn，|，tan1由于平面ADE的一個(gè)法向量為(1,0,0)，CA(1，1,1)所以s