高二數(shù)學(xué)解含絕對值的不等式及不等式證明方法的小結(jié) 人教版

1、解含絕對值的不等式及不等式證明方法的小結(jié)解含絕對值的不等式及不等式證明方法的小結(jié)一. 本周教學(xué)內(nèi)容：含絕對值的不等式及不等式證明方法的小結(jié)教學(xué)目標(biāo)1. 掌握絕對值的幾個(gè)重要性質(zhì)，理解絕對值的定理及推論。2. 學(xué)會含有絕對值符號的不等式的證明，能利用絕對值的有關(guān)性質(zhì)，求較簡單的含絕對值符號的綜合問題。3. 熟練掌握常用的不等式的證明方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生的邏輯推理能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：1. 教學(xué)重點(diǎn)：（1）理解掌握含絕對值符號的不等式的證明。（2）不等式證明的方法的靈活選用。2. 教學(xué)難點(diǎn)：（1）含絕對值符號不等式在證明過程中的轉(zhuǎn)化、放縮的調(diào)控。（2）不等式證明

2、時(shí)方法的靈活選用及技巧的把握。【典型例題】【典型例題】一. 含有絕對值的不等式（一）相關(guān)知識的復(fù)習(xí)1. 絕對值定義：aaaaa，002. 絕對值性質(zhì)：ababbabaa，03. 等價(jià)性質(zhì)：xaxaaxa a 220 xaxaxaxa a 220或4. 定理：ababab5. 推論：ababab（二）應(yīng)用舉例例 1.求證： xx12解析：解析：xxx000，或證法一：證法一：（ ）當(dāng)時(shí)，1010 xxxx12xx12（ ）當(dāng)時(shí)，2010 xx xxxx112xx12綜合、：( )( )1212xx證法二：證法二：xx與同號1xxxx112注：。在證明時(shí)用到了這個(gè)充要條件。ababab 0abab

3、ab 0例 2.求證：的充要條件是，且。ababcacbc22| | |解析：解析：對已知和證明的目標(biāo)上作對比分析，關(guān)鍵在于，與，的相互ababab22| | |轉(zhuǎn)化，注意，。ababababab2222證明：證明：（先證必要性） aababababcac2222， bababababcbc2222，再證充分性：（ ）當(dāng)時(shí)，即1022ababab ababab220與同號或其中之一為ababababa2222 acababc，22（ ）當(dāng)時(shí)，即2022| | | |ababab ababab22與異號ababababbc2222| |當(dāng)且時(shí)，| | |acbcababc22注： 證明此題時(shí)又一

4、次用到了兩個(gè)充要條件， 因此要求同學(xué)們要記住這個(gè)結(jié)論，以便使用。例 3.設(shè)，f xxxaaR( ) 2（ ）若的兩個(gè)實(shí)根、滿足，求 的值；102f xa( ) （ ），若，求證：。2121bRxbf xf bb( )( )解析：解析：（1）、為根，a 為系數(shù)，可以用韋達(dá)定理這座“橋”實(shí)現(xiàn)兩者之間的互化，注意將根寫成和與積的形式。 14014aa，又，12、異號，2242142a a3414 a34為所求（ ）左右對比，從左向右要設(shè)法消去 ，注意這個(gè)條件。2xxb1f xf bxxbbxb xbxb( )( )2211xbbbbb211212221f xf bb( )( )21二. 不等式證明方

5、法的小結(jié)（一）證明不等式的主要依據(jù)1. 書上的 8 條基本性質(zhì)（略）2. 一組等價(jià)命題：，abababababab0003. 幾個(gè)重要不等式：（ ），100022aaababR（ ），2222abababR（ ），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號32abababRab（ ）， ，4222abcabbcacabcR（二）應(yīng)用舉例例 1.已知： 、 、 是的三邊，求證：abcABCabcbaccba 2分析分析：從不等式的結(jié)構(gòu)看，使用比較法、綜合法、分析法均有一定困難。因此，根據(jù)本題的具體條件我們來探索一下放縮法。證明：證明：不妨設(shè)，則abcbca00abcbaccababcbbccbcabcbcabc12說明

6、：放縮法的技巧是：（1）舍掉或加進(jìn)一些項(xiàng)；（2）在分式中放大或縮小分子或分母。但用放縮法是有危險(xiǎn)的，要控制放縮的度。這種方法只能在較特殊的情況下用。例 2.求證：12113222xxx分析分析：此不等式可拆成兩個(gè)不等式分別證明再綜合即可完成。兩個(gè)不等式均可采用作差比較法，同學(xué)自己完成?，F(xiàn)在我向大家介紹構(gòu)造函數(shù)的方法，通過求函數(shù)的值域使不等式得證。證明：證明：設(shè)yxxx2211yxxy1102xRy，當(dāng)時(shí)，100 14102y1232y當(dāng)時(shí)，使原不等式成立。yx101232y即：12113222xxx例 3.已知： 、 、 、 都是實(shí)數(shù)，且，。abcdabcd222211求證： acbd1分析分

7、析：（1） 所證明的不等式與已知比較， 不難發(fā)現(xiàn)， 可將 ac+bd 變形為 a2+b2+c2+d2的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)問題的解決。（2）可以用分析法去掉絕對值符號，或采用平方。（），的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以實(shí)施三角代換。3112222abcd證法一：證法一：（綜合法）acbdacbdacbdabcd222222222221acbd1證法二：證法二：（比較法）acbdacbd 111先證：acbd 1acbdacbdacbdabcd11212222222acbd2220 acbd1再證：acbd1acbdacbdacbdabcd11212222222acbd2220acbd1綜上，得： acbd1證法三：證法三

8、：（分析法）要證： acbd1acbd21a cacbdb dabcd222222222adbc20 adbc20恒成立acbd1證法四：證法四：（代換法）abcd222211，設(shè)，abcdcossincossinacbdcoscossinsincos1acbd1說明：方法四只因具備 a2+b2=1，c2+d2=1 才能進(jìn)行三角代換。否則就不一定了。通過此題還應(yīng)認(rèn)識到不等式的證明方法最重要的還是：比較法、綜合法、分析法。例 4.已知： 、 、 是實(shí)數(shù)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，abcf xaxbxcg xaxbx( )( ) 211f x( ) 1。（ ）證明：11c （ ）證明：當(dāng)時(shí)，2112 xg x(

9、 )解析：解析：（ ）， ，101101 f( )又，fcc( )01（ ）當(dāng)時(shí)，在， 上是增函數(shù)2011ag xaxb( )gabfcfc( )( )( )1112gabfcfc()()() 1112 g xx( )211，當(dāng)時(shí)，在， 上是減函數(shù)ag xaxb011( )gg xgf xc()( )( )( )| |1111，又， gabfcfc()()()1112gabfcfc( )( )( )1112 g x( )2當(dāng)時(shí)，ag xbf xbxc0( )( ) fc( ) 111， g xfcfc( )( )112綜上可知，當(dāng)時(shí)，都有112xg x( )1.abcabcabc11111，求證：| |2. 設(shè) a、b、c 為ABC的三條邊，求證：abcabacbc22223. 已知：ababab111，求證：參考答案參考答案1. 提示：提示：用分析法，平方去掉絕對值符號，即可證出。2. 提示：提示：法一：法一：abcbaccab，aa bcbb accc ab222，三式相加化簡法二：