高中數(shù)學(xué)奧賽教程集-三垂線法作二面角的平面角的技巧

1、學(xué)科：奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容：三垂線法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考試中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，而用三垂線法作二面角的平面角是求二面角大小的一個(gè)重要方法，許多同學(xué)在解題過程中由于沒有有效地利用三垂線定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解題受阻我們把用三垂線定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法稱為三垂線法，其作圖模型為：如圖1，在二面角l一中，過平面內(nèi)一點(diǎn)A作AO平面，垂足為O，過點(diǎn)O作OBl于B(過A點(diǎn)作AB于B)，連結(jié)AB(或OB)，由三垂線定理(或逆定理)知ABl(或OBl)，則ABO為二面角。l的平面角作圖過程中，作出了兩條垂線AO與OB(或AB)，后連結(jié)AB兩點(diǎn)(或OB兩點(diǎn))，這一過程可

2、簡(jiǎn)記為“兩垂一連”，其中AO為“第一垂線”“第一垂線”能否順利找到或恰當(dāng)作出是用三垂線法作二面角的平面角的關(guān)鍵，在具體解題過程中要注意以下幾點(diǎn)：1善于利用圖中已有的“第一垂線”例1 已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰為AC的中點(diǎn)M，又知AA1與底面ABC所成的角為60°(1)求證：BC平面AA1CC1；(2)求二面角B一AA1C的大小剖析：注意該題的第(1)問，事實(shí)上本題已經(jīng)暗示了BC就是我們要尋求的“第一垂線”略解2 A1A與底面AB成的角為60°，所以A1AC60°，又M是AC中點(diǎn)，所以AA1C是正

3、三角形，作CNAA1于N，點(diǎn)N為A1A的中點(diǎn)，連結(jié)BN，由BC平面AA1CC1，BNAA1，則BNC為二面角B一AA1一C的平面角設(shè)ACBCa，正AA1C的邊長(zhǎng)為a，所以，在RtBNC中，tanBNC=，即BNC.例2 如圖3，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，ABC90°，SA面ABCD，SA=AB=BC1，AD(1)求四棱錐SABCD的體積；(2)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值剖析：由SA面ABCD及ABC=90°，不難發(fā)現(xiàn)，BC即為“第一垂線”，但是，本題要作二面角的平面角，還需首先作出二面角的棱略解2 延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，則SE是所求二

4、面角的棱，因?yàn)锳DBC，BC=2AD，所以EA=AB=SA，所以SESB，因?yàn)镾A面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交線，又BCEB，所以BC面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CSSE，所以BSC是所求二面角的平面角，因?yàn)椋珺C=1，BCSB，因?yàn)閠anBSC=，即所求二面角的正切值為2借助第三個(gè)平面，作“第一垂線”例3 如圖4，正三棱柱ABCA1B1C1的底邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為，若經(jīng)過對(duì)角線AB1且與對(duì)角線BC1平行的平面交上底面一邊A1C1于點(diǎn)D(1)確定點(diǎn)D的位置，并證明你的結(jié)論；(2)求二面角A1AB1D的大小剖析：由線面平行的性質(zhì)定理及三角形中位線性質(zhì)，易知D是A1C1

5、中點(diǎn)二面角A1AB1一D的放置屬于非常規(guī)位置的圖形，但是，容易發(fā)現(xiàn)，平面A1B1C1過點(diǎn)D且與平面A1AB1垂直，這樣的平面相對(duì)于二面角的兩個(gè)平面而言，我們稱為第三個(gè)平面過D作DFA1B1，由面面垂直的性質(zhì)知，DF面A1AB1，即DF為我們要作的“第一垂線”略解2 在平面A1B1C1內(nèi)，作CFA1B1于F，連DC，由三垂線定理可證AB1DG，DGF就是二面角A1AB1一D的平面角，在正A1B1C1中，因?yàn)镈是A1C1中點(diǎn)，A1B1a，所以，在RtDFG，可求得DCF=45°3利用特殊圖形的定義、性質(zhì)作“第一垂線”例4 已知：RtABC的斜邊BC在平面內(nèi)，AB、AC分別與平面。成30°和45°角，求平面與ABC所在平面所成二面角的大小剖析：本題中沒有相對(duì)于二面角的兩個(gè)平面的第三個(gè)平面可以借助，但是，我們注意到AB、AC與平面所成的角均已給出，只要過A作AO于O，就可以同時(shí)找到AB、AC在平面內(nèi)的射影，無疑這樣得到的“第一垂線"AO有著非常特殊的位置，有利于二面角大小的計(jì)算解：作AO于O，ODBC于D，連OB，AD，OC，由三垂線定理得：ADBC，所以ADO是二面角ABCO的平面角，令A(yù)Ox，在RtAOB中，ABO30°，所以AB2x，在RtAOC中，ACO45&