空間解析幾何與向量代數(shù)06849

1、空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算一 、向量概念 二、向量的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 五、向量的模、方向角、投影第二節(jié) 數(shù)量積 向量積 混合積一、 兩向量的數(shù)量積 二、兩向量的向量積 三、向量的混合積第三節(jié) 曲面及其方程一、曲面方程的概念 二、旋轉(zhuǎn)曲面 三、柱面 四、二次曲面第四節(jié) 空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程 二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第五節(jié) 平面及其方程 一、平面的點(diǎn)法式方程 二、平面的一般方程 三、兩平面的夾角第六節(jié) 空間直線及其方程 一、空間直線的一般方程 二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程 三、兩直線

2、的夾角 四、直線與平面的夾角 五、雜例第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算一、 向量概念在研究力學(xué)、物理學(xué)以及其他應(yīng)用科學(xué)時(shí),常會(huì)遇到這樣一類量,它們既有大小,又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等,這一類量叫做向量（或矢量）.在數(shù)學(xué)上,用一條有方向的線段(稱為有向線段)來(lái)表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.向量的符號(hào):以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作.向量可用粗體字母表示,也可用上加箭頭書(shū)寫(xiě)體字母表示,例如,a、r、v、F或、.在實(shí)際問(wèn)題中,有些向量與其起點(diǎn)有關(guān)（例如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度與該質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān),一個(gè)力與該力的作用點(diǎn)的位置有關(guān)）,有些向量與其起點(diǎn)無(wú)

3、關(guān).自由向量:由于一切向量的共性是它們都有大小和方向,所以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量,并稱這種向量為自由向量,簡(jiǎn)稱向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,則說(shuō)向量a和b是相等的,記為a =b.相等的向量經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合.向量的大小叫做向量的模.向量a、的模分別記為|a|、.模等于1的向量叫做單位向量.模等于0的向量叫做零向量,記作0或.零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合,它的方向可以看作是任意的.兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反,就稱這兩個(gè)向量平行.向量a與b平行,記作a / b.零向量認(rèn)為是與任何向量都平行.當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí),它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上

4、.因此,兩向量平行又稱兩向量共線.類似還有向量共面的概念.設(shè)有k(k³3)個(gè)向量,當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí),如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上,就稱這k個(gè)向量共面.二、向量的線性運(yùn)算1 向量的加減法向量的加法:設(shè)有兩個(gè)向量a與b,平移向量使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合,此時(shí)從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱為向量a與b的和,記作a+b,即c=a+b .上述作出兩向量之和的方法叫做向量加法的三角形法則.平行四邊形法則:A B C D A B C 當(dāng)向量a與b不平行時(shí),平移向量使a與b的起點(diǎn)重合,以a、b為鄰邊作一平行四邊形,從公共起點(diǎn)到對(duì)角的向量等于向量a與b的和a+b.向量加法的運(yùn)算規(guī)律:

5、(1)交換律a+b=b+a;(2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).這是因?yàn)?，按向量加法的?guī)定（三角形法則），可見(jiàn)：a+b=+=c,b+a=+=c,所以符合交換律.類似很容易證明結(jié)合律也是成立的（見(jiàn)右圖）.由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律,故n個(gè)向量a1,a2,×××,an(n³3)相加可寫(xiě)成a1+a2+×××+an,并按向量相加的三角形法則,可得n個(gè)向量相加的法則如下:使前一向量的終點(diǎn)作為次一向量的起點(diǎn),相繼作向量a1,a2,×××,an,再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn),最后一向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作

6、一向量,這個(gè)向量即為所求的和.（見(jiàn)右圖）設(shè)a為一向量,與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量,記為-a.向量的減法:我們規(guī)定兩個(gè)向量b與a的差為b-a=b+(-a)，即把向量-a加到向量b上,便得b與a的差b-a. 特別地,當(dāng)b=a時(shí),有a-a=a+(-a)=0.顯然,任給向量及點(diǎn)O,有,因此,若把向量a與b移到同一起點(diǎn)O,則從a的終點(diǎn)A向b的終點(diǎn)B所引向量便是向量b與a的差b-a.三角不等式:由三角形兩邊之和大于第三邊的原理,有|a+b|£|a|+|b|及|a-b|£|a|+|b|,其中等號(hào)在b與a同向或反向時(shí)成立.2 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法的定義:向量a與實(shí)數(shù)

7、l的乘積記作la,規(guī)定la是一個(gè)向量,它的模|la|=|l|a|,它的方向當(dāng)l>0時(shí)與a相同,當(dāng)l<0時(shí)與a相反.當(dāng)l=0時(shí),|la|=0,即la為零向量,這時(shí)它的方向可以是任意的.特別地,當(dāng)l=±1時(shí),有1a=a,(-1)a=-a.運(yùn)算規(guī)律:(1) 結(jié)合律l(ma)=m(la)=(lm)a；這是因?yàn)橛上蛄颗c數(shù)的乘積的規(guī)定可知,向量l(ma),m(la),(lm)a都是平行的向量,它們的指向也是相同的,而且 |l(ma)|=|m(la)|=|(lm)a|=|lm|a|,所以 l(ma)=m(la)=(lm)a. (2)分配律 (l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+

8、lb. 向量相加及數(shù)乘向量統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.例1.在平行四邊形ABCD中,設(shè)=a,=b.試用a和b表示向量、,其中M是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn).解由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分,所以A B C D M a+b,即-(a+b),于是(a+b).因?yàn)?所以(a+b).又因-a+b,所以(b-a).由于,所以(a-b).向量的單位化:設(shè)a¹0,則向量是與a同方向的單位向量,記為ea.于是a=|a|ea.定理1 設(shè)向量a¹0,那么,向量b平行于a的充分必要條件是:存在唯一的實(shí)數(shù)l,使b=la.證明:條件的充分性是顯然的,下面證明條件的必要性.設(shè)b / a.取,當(dāng)b與a同向時(shí)l取正

9、值,當(dāng)b與a反向時(shí)l取負(fù)值,即b=la.這是因?yàn)榇藭r(shí)b與la同向,且 |la|=|l|a|.再證明數(shù)l的唯一性.設(shè)b=la,又設(shè)b=ma,兩式相減,便得 (l-m)a=0,即|l-m|a|=0.因|a|¹0,故|l-m|=0,即l=m.給定一個(gè)點(diǎn)及一個(gè)單位向量就確定了一條數(shù)軸.設(shè)點(diǎn)O及單位向量i確定了數(shù)軸Ox,對(duì)于軸上任一點(diǎn)P,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量,由/i,根據(jù)定理1,必有唯一的實(shí)數(shù)x,使=xi(實(shí)數(shù)x叫做軸上有向線段的值),并知與實(shí)數(shù)x一一對(duì)應(yīng).于是點(diǎn)P«向量= xi«實(shí)數(shù)x,從而軸上的點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.據(jù)此,定義實(shí)數(shù)x為軸上點(diǎn)P的坐標(biāo).由此可知,軸上點(diǎn)P的

10、坐標(biāo)為x的充分必要條件是:= xi.三、空間直角坐標(biāo)系在空間取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量i、j、k,就確定了三條都以O(shè)為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸,依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸),統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系,稱為Oxyz坐標(biāo)系.注: (1)通常三個(gè)數(shù)軸應(yīng)具有相同的長(zhǎng)度單位; (2)通常把x軸和y軸配置在水平面上,而z軸則是鉛垂線; (3)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則,即以右手握住z軸,當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向x軸以90度角度轉(zhuǎn)向正向y軸時(shí),大拇指的指向就是z軸的正向.在空間直角坐標(biāo)系中,任意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面,這種平面稱為坐標(biāo)面.x軸及y軸所確定的坐標(biāo)面叫

11、做xOy面,另兩個(gè)坐標(biāo)面是yOz面和zOx面.三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分,每一部分叫做卦限,含有三個(gè)正半軸的卦限叫做第一卦限,它位于xOy面的上方.在xOy面的上方,按逆時(shí)針?lè)较蚺帕兄诙韵?、第三卦限和第四卦?在xOy面的下方,與第一卦限對(duì)應(yīng)的是第五卦限,按逆時(shí)針?lè)较蜻€排列著第六卦限、第七卦限和第八卦限.八個(gè)卦限分別用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示.向量的坐標(biāo)分解式:任給向量r,對(duì)應(yīng)有點(diǎn)M,使.以O(shè)M為對(duì)角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長(zhǎng)方體,有,設(shè),則.上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式,xi、yj、zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.顯然,給定向量r,就確定了點(diǎn)M及,三

12、個(gè)分向量,進(jìn)而確定了x、y、z三個(gè)有序數(shù);反之,給定三個(gè)有序數(shù)x、y、z也就確定了向量r與點(diǎn)M.于是點(diǎn)M、向量r與三個(gè)有序x、y、z之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.據(jù)此,定義:有序數(shù)x、y、z稱為向量r(在坐標(biāo)系Oxyz)中的坐標(biāo),記作r=(x,y,z);有序數(shù)x、y、z也稱為點(diǎn)M(在坐標(biāo)系Oxyz)的坐標(biāo),記為M(x,y,z).向量稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑.上述定義表明,一個(gè)點(diǎn)與該點(diǎn)的向徑有相同的坐標(biāo).記號(hào)(x,y,z)既表示點(diǎn)M,又表示向量.坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn),其坐標(biāo)各有一定的特征.例如:點(diǎn)M在yOz面上,則x=0;同樣,在zOx面上的點(diǎn),y=0;在xOy面上的點(diǎn),z=0.如果點(diǎn)M在x軸上,則y

13、=z=0;同樣在y軸上,有z=x=0;在z軸上的點(diǎn),有x=y=0.如果點(diǎn)M為原點(diǎn),則x=y=z=0.四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算利用向量的坐標(biāo),可得向量的加法、減法以及向量與數(shù)的乘法的運(yùn)算如下:設(shè)a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)即a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,則a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k=(ax+bx,ay+by,az+bz).a-b=(axi+ayj+azk)-(bxi+byj+bzk)=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k=(ax-bx,ay

14、-by,az-bz).la=l(axi+ayj+azk) =(lax)i+(lay)j+(laz)k=(lax,lay,laz).由此可見(jiàn),對(duì)向量進(jìn)行加減及數(shù)乘,只需對(duì)向量的各個(gè)坐標(biāo)分別進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)量運(yùn)算就行了.利用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行:設(shè)a=(ax,ay,az)¹0,b=(bx,by,bz),向量b/aÛb=la,即b/aÛ(bx,by,bz)=l(ax,ay,az),于是.例2 求解以向量為未知元的線性方程組,其中a=(2, 1, 2),b=(-1, 1,-2).解如同解二元一次線性方程組,可得x=2a-3b,y=3a-5b.以a、b的坐標(biāo)表示式代入,

15、即得x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1,-2)=(7,-1, 10),y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1,-2)=(11,-2, 16).例3已知兩點(diǎn)A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及實(shí)數(shù)l¹-1,在直線AB上求一點(diǎn)M,使.解由于,因此,從而,這就是點(diǎn)M的坐標(biāo).另解設(shè)所求點(diǎn)為M (x,y,z),則,.依題意有,即 (x-x1,y-y1,z-z1)=l(x2-x,y2-y,z2-z) (x,y,z)-(x1,y1,z1)=l(x2,y2,z2)-l(x,y,z),.點(diǎn)M叫做有向線段的定比分點(diǎn)(l分點(diǎn)).當(dāng)l=1,點(diǎn)M的有向線段的中點(diǎn),其坐標(biāo)為,.通過(guò)本例,我

16、們應(yīng)注意以下兩點(diǎn):(1)由于點(diǎn)M與向量有相同的坐標(biāo),因此,求點(diǎn)M的坐標(biāo),就是求的坐標(biāo).(2)記號(hào)(x,y,z)既可表示點(diǎn)M,又可表示向量,在幾何中點(diǎn)與向量是兩個(gè)不同的概念,不可混淆.因此,在看到記號(hào)(x,y,z)時(shí),須從上下文去認(rèn)清它究竟表示點(diǎn)還是表示向量.當(dāng)(x,y,z)表示向量時(shí),可對(duì)它進(jìn)行運(yùn)算;當(dāng)(x,y,z)表示點(diǎn)時(shí),就不能進(jìn)行運(yùn)算.五、向量的模、方向角、投影 1向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)向量r=(x,y,z),作,則,按勾股定理可得,設(shè),有|OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|,于是得向量模的坐標(biāo)表示式.設(shè)有點(diǎn)A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),則=(

17、x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),于是點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離為. 例4 求證以M1(4, 3, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.解因?yàn)?| M1M2|2 =(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 =14, | M2M3|2 =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 =6, | M1M3|2 =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6,所以|M2 M3|=|M1M3|,即DM1 M2 M3為等腰三角形.例5 在z軸上求與兩點(diǎn)A(-4, 1, 7)和B(3, 5,-2)等距離的點(diǎn).解設(shè)

18、所求的點(diǎn)為M(0, 0,z),依題意有|MA|2=|MB|2,即(0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得,所以,所求的點(diǎn)為.例6已知兩點(diǎn)A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3),求與方向相同的單位向量e.解因?yàn)?所以. 2.方向角與方向余弦當(dāng)把兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí),兩個(gè)向量之間的不超過(guò)p的夾角稱為向量a與b的夾角,記作或.如果向量a與b中有一個(gè)是零向量,規(guī)定它們的夾角可以在0與p之間任意取值.類似地,可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角.非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角.向量的方向余弦:從上方右圖

19、可見(jiàn)，設(shè)=r=(x,y,z),則x=|r|cosa,y=|r|cosb,z=|r|cosg.cosa、cosb、cosg稱為向量r的方向余弦.,.從而.上式表明,以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量er.因此cos2a+cos2b+cos2g=1.例7設(shè)已知兩點(diǎn))和B(1, 3, 0),計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角.解;,;,.例8 設(shè)點(diǎn)A位于第一卦限，向徑與x軸,y軸的夾角依次為和，且|=6，求點(diǎn)A的坐標(biāo).解因點(diǎn)A在第一卦限，知cos>0,故于是 這就是點(diǎn)A的坐標(biāo).3. 向量在軸上的投影設(shè)點(diǎn)O及單位向量e確定u軸.任給向量r,作,再過(guò)點(diǎn)M作與u軸垂直的平面交u軸于點(diǎn)

20、M¢(點(diǎn)M¢叫作點(diǎn)M在u軸上的投影),則向量稱為向量r在u軸上的分向量.設(shè),則數(shù)l稱為向量r在u軸上的投影,記作Prjur或(r)u.按此定義,向量a在直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)ax,ay,az就是a在三條坐標(biāo)軸上的投影,即ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza.或記作 ax=(a)x,ay=(a)y,az=(a)z投影的性質(zhì):性質(zhì)1 (a)u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j),其中j為向量與u軸的夾角;性質(zhì)2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub);性質(zhì)3 (la)u=l(a)u (即Prju

21、(la)=lPrjua);例9 設(shè)立方體的一條對(duì)角線為OM，一條棱為OA，且|OA|=a，求在方向上的投影.解 于是習(xí)題一1設(shè)u=a-b+2c,v=-a+3b-c,試用a、b、c表示2u-3v.2如果平面上一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分，試用向量證明它是平行四邊形.3把ABC的BC邊五等分，設(shè)分點(diǎn)依次為D1、D2、D3、D4，再把各分點(diǎn)與點(diǎn)A連接.試以表示向量4已知兩點(diǎn)A（0,1,2）和B（1，-1,0），試用坐標(biāo)表示式表示向量5求平行于向量a=(6,7,-6)的單位向量.6在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？A（1，-2,3）；B（2,3，-4）；C（2，-3，-4）；D（-2，-3,1

22、）7在坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征？指出下列點(diǎn)的位置：A（1，-2,0）；B（0,3，-4）；C（2，0，0）；D（0，-3,0）8求點(diǎn)（a,b,c）關(guān)于（1）各坐標(biāo)面（2）各坐標(biāo)軸（3）坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).9自點(diǎn)P（1,2,3）分別作各坐標(biāo)面和各坐標(biāo)軸的垂線，寫(xiě)出各垂足的坐標(biāo)。10過(guò)點(diǎn)P（x0，y0，z0）分別作平行于z軸的直線和平行于xoy面的平面，問(wèn)在他們上面的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)？11一邊長(zhǎng)為a的立方體放置在xOy面上，其底面的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，底面的頂點(diǎn)在x軸和y軸上，求它各頂點(diǎn)的坐標(biāo).12求點(diǎn)M（4，-3,5）到各坐標(biāo)軸的距離.13在yOz面上，求與三點(diǎn)A（3,1,2

23、）B（4，-2，-2）C（0,5,1）等距離的點(diǎn).14證明以三點(diǎn)A（4,1，9）B（10，-1，6）C（2,4,3）為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形.15設(shè)已知兩點(diǎn),計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角.16設(shè)向量的方向余弦分別滿足（1）cos=0；（2）cos=1；（3）cos=cos=0，問(wèn)這些向量與坐標(biāo)軸或坐標(biāo)面的關(guān)系如何？17設(shè)向量的模是4，它與u軸的夾角是/3，求在u軸上的投影.18一向量的終點(diǎn)在點(diǎn)B（2，-1,7），它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為4，-4,7，求這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo)。19設(shè)m=3i+5j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k，求向量a=4m+3n-p在x軸上的

24、投影及在y軸上的分向量.第二節(jié) 數(shù)量積 向量積 混合積一、兩向量的數(shù)量積設(shè)一物體在恒力作用下沿直線從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn), 以表示位移. 由物理學(xué)知道, 力所作的功為：其中為與的夾角(如圖).從這個(gè)問(wèn)題上看, 我們有時(shí)要對(duì)兩個(gè)向量a和b作這樣的運(yùn)算,運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)數(shù), 它等于 |a|、|b| 及它們的夾角q的余弦的乘積. 我們把它叫做向量a和b的數(shù)量積, 記作a×b, 即a·b=|a| |b| cosq.根據(jù)這個(gè)定義, 上述問(wèn)題中力所作的功W是力F與位移s的數(shù)量積, 即W=Fs .由于|b| cosq=|b|cos(a, b), 當(dāng)a¹0時(shí), |b| cos(a, b)

25、是向量b在向量a的方向上的投影, 便有a·b = |a| Prjab. 同理, 當(dāng)b¹0時(shí), a·b = |b| Prjba. 這就是說(shuō), 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積.由數(shù)量積的性質(zhì)可以推得：(1) a·a = |a| 2. 這是因?yàn)閵A角q=0. (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b, 如果a·b =0, 則ab; 反之, 如果ab, 則a·b =0. 這是因?yàn)槿绻鸻b=0, 由于|a|0, |b|0, 所以cos=0, 從而=，即ab；反之，如果ab，那么=，cos=0，于是ab=|a| |

26、b| cos=0.由于可以認(rèn)為零向量與任何向量都垂直，因此，上述結(jié)論可敘述為：ab Û a·b =0. 數(shù)量積符合下列運(yùn)算律: (1) 交換律: a·b =b·a; 證：根據(jù)定義有ab=|a|b|cos() , ba =|b|a|cos(), 而 |a|b|=|b|a|，cos() =cos(), 所以 ab=ba.(2) 分配律: (a+b)×c=a×c+b×c.證：因?yàn)楫?dāng)c=0時(shí),上式顯然成立;當(dāng)c¹0時(shí),(a+b)×c=|c|Prjc(a+b)=|c|(Prjca+Prjcb)=|c|Prjca+|

27、c|Prjcb=a×c+b×c. (3) 數(shù)量積還符合如下的結(jié)合律：(la)·b =a·(lb) =l(a·b), l為數(shù). 證： 當(dāng)b=0時(shí)，上式顯然成立；當(dāng)b0時(shí)，按投影性質(zhì)3，可得(la)·b=|b| Prjba=|b| Prjba=la·b.有上述結(jié)合律，利用交換律，容易得a（lb）= l (ab) 及(la)·（b）=l(a·b).例1.試用向量證明三角形的余弦定理.證： 設(shè)在ABC中, BCA=q (如圖), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c,要證c2=a 2+b 2-2 ab c

28、os q .記=a, =b, =c, 則有 c=a-b,從而 |c|2=c×c=(a-b)(a-b)=a×a+b×b-2a×b=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a,b),即c2=a 2+b 2-2 ab cos q . 下面我們來(lái)推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示式: 設(shè)a=(ax,ay,az ), b=(bx,by,bz ). 按數(shù)量積得運(yùn)算規(guī)律得 a·b =( ax i +ay j +az k)·(bx i +by j +bz k)=axbxi·i +ax by i·j +ax bz i·k+aybxj &

29、#183;i +ay by j ·j +ay bz j·k+azbxk·i +az by k·j +az bz k·k= axbx+ ay by+ az bz . 由于i, j, k相互垂直, 所以ij=jk=ki=0. 由于i, j, k的模均為1, 所以ii= jj= kk=1. 因而有a·b= axbx+ ay by+ az bz .這就是兩向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示式.由于a·b=|a| |b| cosq，所以當(dāng)a, b都不是零向量時(shí), 有這就是兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式.例2.已知三點(diǎn)M (1, 1, 1)、A (2,

30、2, 1)和B (2, 1, 2), 求ÐAMB. 解：從M到A的向量記為a,從M到B的向量記為b,則ÐAMB就是向量a與b的夾角. a=1, 1, 0, b=1, 0, 1. 因?yàn)閍×b=1´1+1´0+0´1=1, , . 所以. 從而. 例3.設(shè)液體流過(guò)平面S上面積為A的一個(gè)區(qū)域, 液體在這區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為（常向量)v. 設(shè)n為垂直于S的單位向量（如圖）,計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量m(液體的密度為). 解： 單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)這區(qū)域的液體組成一個(gè)底面積為A、斜高為|v |的斜柱體(如圖).這柱體的斜高與

31、底面的垂線的夾角就是v 與n的夾角q , 所以這柱體的高為| v |cosq, 體積為 A| v |cos q=A v ·n，從而, 單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量為m=rAv ·n.二、兩向量的向量積在研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí), 不但要考慮這物體所受的力, 還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩. 設(shè)O為一根杠桿L的支點(diǎn).有一個(gè)力F作用于這杠桿上P點(diǎn)處. F與的夾角為q. 由力學(xué)規(guī)定, 力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于與F所決定的平面, M的指向是的按右手規(guī)則從以不超過(guò)p的角轉(zhuǎn)向F來(lái)確定的. 即當(dāng)右手的四個(gè)手指從以不超過(guò)p的角轉(zhuǎn)向F握拳時(shí), 大拇指

32、的指向就是M的指向. 這種由兩個(gè)已知向量按上面的規(guī)則來(lái)確定另一個(gè)向量的情況, 在其他力學(xué)和物理學(xué)問(wèn)題中也會(huì)遇到. 于是從中抽象出兩個(gè)向量的向量積概念.設(shè)向量c是由兩個(gè)向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q, 其中q為a與b間的夾角;c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定(如圖). 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作a´b, 即c =a´b. 根據(jù)向量積的定義,力矩M等于與F的向量積, 即. 由向量積的定義可以推得： (1) a´a =0; (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b, 如果a´b =

33、 0, 則a/b; 反之, 如果a/b, 則a´b =0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行, 則a/b Û a´b = 0. 數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律: (1) 交換律： a´b = -b´a; (2) 分配律： (a+b)´c = a´c + b´c. (3) 結(jié)合律： (la)´b = a´(lb) = l(a´b) (l為數(shù)). 下面來(lái)推導(dǎo)向量積的坐標(biāo)表示式. 設(shè)a = ax i +ay j +az k, b = bx i +by j +bz k. 按向量積的運(yùn)算規(guī)律可得a

34、0;b = ( ax i +ay j +az k) ´ ( bx i +by j +bz k)= axbxi´i +ax by i´j +ax bz i´k+aybxj´i +ay by j´j +ay bz j´k+azbxk´i +az by k´j +az bz k´k. 由于i´i = j´j = k´k = 0, i´j = k, j´k =i, k´i = j, 所以a´b = ( ay bz- az by) i

35、+ ( azbx- ax bz) j + ( ax by- aybx) k. 為了幫助記憶, 利用三階行列式符號(hào), 上式可寫(xiě)成=aybzi+azbxj+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi= ( ay bz- az by) i + ( azbx- ax bz) j + ( ax by- aybx) k.例4設(shè)a=(2, 1,-1),b=(1,-1, 2), 計(jì)算a´b. 解=2i-j-2k-k-4j-i=i-5j -3k. 例5已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積. 解根據(jù)向量積的定義,

36、 可知三角形ABC的面積. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是. 例6設(shè)剛體以等角速度w繞l軸旋轉(zhuǎn), 計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度. 解剛體繞l軸旋轉(zhuǎn)時(shí), 我們可以用在l軸上的一個(gè)向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手規(guī)則定出: 即以右手握住l軸, 當(dāng)右手的四個(gè)手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時(shí), 大姆指的指向就是w的方向. 設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a, 再在l軸上任取一點(diǎn)O作向量r =, 并以q表示w與r的夾角, 那么a = |r| sinq. 設(shè)線速度為v, 那么由物理學(xué)上線速度與角速度間的關(guān)系可知, v的大小為|v| =|

37、 w|a= |w| |r| sinq ; v的方向垂直于通過(guò)M點(diǎn)與l軸的平面, 即v垂直于w與r, 又v的指向是使w、r、v符合右手規(guī)則. 因此有v = w´r. 三、向量的混合積設(shè)三個(gè)向量a, b, c. 如果先作兩向量a, b的向量積, 把所得到的向量與第三個(gè)向量c再作數(shù)量積(ab)c, 這樣得到的數(shù)量叫作三向量a, b, c的混合積, 記作a b c.下面我們來(lái)推出三向量的混合積的坐標(biāo)表示式.設(shè)a=(ax,ay,az ), b=(bx,by,bz ), c=(cx,cy,cz ),因?yàn)閍b再按照兩向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示式, 便得abc(ab)c向量的混合積有下述幾何意義.向量的

38、混合積abc(ab)c是這樣一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表示以向量a, b, c為棱的平行六面體的體積. 如果向量a b c (ab)c組成右手系, 那么混合積的符號(hào)是正的；如果向量a b c (ab)c組成左手系, 那么混合積的符號(hào)是負(fù)的.事實(shí)上，設(shè)=a，=b, =c. 按向量積的定義, 向量積ab=f是一個(gè)向量, 它的模在數(shù)量上等于以向量a, b為邊所作的平行四邊形OADB的面積，它的方向垂直于這平行四邊形的平面，且當(dāng)a, b, c組成右手系時(shí), 向量f 與向量 c 朝著這平面的同側(cè)；當(dāng)a, b, c 組成左手系時(shí), 向量f 與向量 c 朝著這平面的異側(cè). 所以，如設(shè)f 與c 的夾角為，那么當(dāng)a,

39、b, c組成右手系時(shí)，為銳角；當(dāng)a, b, c組成左手系時(shí)，為鈍角. 由于a b c(ab)c=| ab |c|cos,所以當(dāng)a, b, c組成右手系時(shí)，a b c為正；當(dāng)a, b, c組成左手系時(shí)，a b c為負(fù).因?yàn)橐韵蛄縜, b, c為棱的平行六面體的底（平行四邊形OADB）的面積S在數(shù)值上等于| ab |，它的高h(yuǎn) 等于向量c在向量f上的投影的絕對(duì)值，即h=|Prjf c|=| c | |cos|,所以平行六面體的體積V=S h=| ab | |c| |cos|=| a b c|.由上述混合積的幾何意義可知，若混合積a b c，則能以a, b, c三向量為棱構(gòu)成平行六面體，從而a, b

40、, c三向量不共面；反之，若a, b, c三向量不共面，則必能以a, b, c為棱構(gòu)成平行六面體，從而a b c. 于是有下述結(jié)論：三向量a, b, c共面的充分必要條件是它們的混合積a b c=0，即 例7已知不在一平面上的四點(diǎn)：A, B, C,D. 求四面體ABCD的體積.解 由立體幾何知道，四面體的體積V等于以向量、和為棱的平行六面體的體積的六分之一. 因而V=.由于所以 V上式中符號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致.例8 已知A(1, 2, 0), B (2, 3, 1), C (4, 2, 2), M ( x , y, z)四點(diǎn)共面, 求點(diǎn)M的坐標(biāo)x, y, z所滿足的關(guān)系式.解 A、B

41、、C、M四點(diǎn)共面相當(dāng)于三向量共面，這里 按三向量共面的充要條件，可得即這就是點(diǎn)M的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式.習(xí) 題 二1. 設(shè)a=3i j - 2k, b=I +2j - k，求(1)ab及ab；(2) (-2a)3b及a2b; (3) a、b夾角的余弦.2.設(shè)a、b、c為單位向量，且滿足a+b+c=0，求ab+bc+ca.3. 已知(1, - 1, 2)、(3, 3, 1)和(3, 1, 3). 求與、同時(shí)垂直的單位向量.4. 設(shè)質(zhì)量為100kg的物體從點(diǎn)(3, 1, 8）沿直線移動(dòng)到點(diǎn)(1, 4, 2），計(jì)算重力所作的功(坐標(biāo)系長(zhǎng)度單位為m，重力方向?yàn)閦軸負(fù)方向).5. 在杠桿上支點(diǎn)O的一側(cè)與點(diǎn)

42、O的距離為的點(diǎn)處，有一與成角的力作用著；在O的利益?zhèn)扰c點(diǎn)O的距離為的點(diǎn)處，有一與成角的力作用著. 問(wèn)：、|、|符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡？6. 求向量a=(4, -3, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影.7. 設(shè)a=(3, 5, -2), b=(2, 1, 4), 問(wèn)與有怎樣的關(guān)系，能使得a+b與z軸垂直？8. 試用向量證明直徑所對(duì)的圓周角是直角.9. 已知向量a=2i3j + k, b=ij + 3k和c=i2j，計(jì)算：(1) (ab)c (ac)b；(2) (a+b)(b+c)；(3) (ab)c.10. 已知=i+3k, =j+3k, 求的面積.11. 已知a=(ax,ay

43、,az ), b=(bx,by,bz ), c=(cx,cy,cz )，試?yán)眯辛惺降男再|(zhì)證明： (ab)c=(bc)a=(ca)b.12. 實(shí)用化向量證明不等式：其中為任意實(shí)數(shù)，并指出等號(hào)成立的條件.第三節(jié) 曲面及其方程一、 曲面方程的概念在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到各種曲面，例如反光鏡的鏡面、管道的外表面以及錐面等等.像在平面解析幾何中把平面曲線當(dāng)作動(dòng)點(diǎn)的軌跡一樣，在空間解析幾何中,任何曲面都可以看作點(diǎn)的幾何軌跡.在這樣的意義下,如果曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有下述關(guān)系: (1) 曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)=0; (2) 不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(

44、x,y,z)=0,那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)=0的圖形. 常見(jiàn)的曲面的方程: 例1 建立球心在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)、半徑為R的球面的方程. 解設(shè)M(x,y,z)是球面上的任一點(diǎn),那么|M0M|=R. 即,或 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 這就是球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程.而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程.所以 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 就是球心在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)、半徑為R的球面的方程. 特殊地,球心在原點(diǎn)O(0, 0, 0)、半徑為R的球面的方程為 x2+y

45、2+z2=R2. 例2設(shè)有點(diǎn)A(1, 2, 3)和B(2,-1, 4),求線段AB的垂直平分面的方程. 解由題意知道,所求的平面就是與A和B等距離的點(diǎn)的幾何軌跡.設(shè)M(x,y,z)為所求平面上的任一點(diǎn),則有|AM|=|BM|,即. 等式兩邊平方,然后化簡(jiǎn)得2x-6y+2z-7=0. 這就是所求平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程,而不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程,所以這個(gè)方程就是所求平面的方程. 以上表明作為點(diǎn)的幾何軌跡的曲面可以用它的點(diǎn)的坐標(biāo)間的方程來(lái)表示.反之，變量x、y和z間的方程通常表示一個(gè)曲面.因此在空間解析幾何中關(guān)于曲面的研究，有下列兩個(gè)基本問(wèn)題: (1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌

46、跡時(shí),建立這曲面的方程; (2) 已知坐標(biāo)x、y和z間的一個(gè)方程時(shí),研究這方程所表示的曲面的形狀. 上述例1、例2是從已知曲面建立其方程的例子.下面舉一個(gè)由已知方程研究它所表示的曲面的例子.例3方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎樣的曲面？解通過(guò)配方,原方程可以改寫(xiě)成 (x-1)2+(y+2)2+z2=5. 這是一個(gè)球面方程,球心在點(diǎn)M0(1,-2, 0)、半徑為. 一般地,設(shè)有三元二次方程Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0,這個(gè)方程的特點(diǎn)是缺xy,yz,zx各項(xiàng),而且平方項(xiàng)系數(shù)相同,只要將方程經(jīng)過(guò)配方可以化成方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 的形

47、式,它的圖形就是一個(gè)球面. 下面,作為基本問(wèn)題（1）的例子，我們討論旋轉(zhuǎn)曲面；作為基本問(wèn)題（2）的例子，我們討論柱面.第四目中對(duì)二次曲面的討論，也可看作基本問(wèn)題（2）的例子.二、旋轉(zhuǎn)曲面以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸. 設(shè)在yOz坐標(biāo)面上有一已知曲線C,它的方程為f (y,z) =0,把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周,就得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面.它的方程可以求得如下: 設(shè)M(x,y,z)為曲面上任一點(diǎn),它是曲線C上點(diǎn)M1(0,y1,z1)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的.因此有如下關(guān)系等式,從而得,這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 在曲線C的

48、方程f(y,z)=0中將y改成,便得曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 同理,曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 例4直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面.兩直線的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn),兩直線的夾角a()叫做圓錐面的半頂角.試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為a的圓錐面的方程. 解在yOz坐標(biāo)面內(nèi),直線L的方程為 z=ycot a,將方程z=ycota中的y改成,就得到所要求的圓錐面的方程,或 z2=a2 (x2+y2),其中a=cot a. 例5.將xOz坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解繞x軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲

49、面的方程為;繞z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為. 這兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面. 三、柱面例6方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？解方程x2+y2=R2在xOy面上表示圓心在原點(diǎn)O、半徑為R的圓.在空間直角坐標(biāo)系中,這方程不含豎坐標(biāo)z, 即不論空間點(diǎn)的豎坐標(biāo)z怎樣,只要它的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y能滿足這方程,那么這些點(diǎn)就在這曲面上.也就是說(shuō),過(guò)xOy面上的圓x2+y2=R2,且平行于z軸的直線一定在x2+y2=R2表示的曲面上.所以這個(gè)曲面可以看成是由平行于z軸的直線l沿xOy面上的圓x2+y2=R2移動(dòng)而形成的.這曲面叫做圓柱面,xOy面上的圓x2+y2=R2叫做它的準(zhǔn)線,這平

50、行于z軸的直線l叫做它的母線. 一般的，直線L沿定曲線C平行移動(dòng)形成的軌跡叫做柱面,定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線,動(dòng)直線L叫做柱面的母線. 上面我們看到,不含z的方程x2+y2=R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面,它的母線平行于z軸,它的準(zhǔn)線是xOy面上的圓x2+y2=R2. 類似地,方程y2=2x表示母線平行于z軸的柱面,它的準(zhǔn)線是xOy面上的拋物線y2 =2x,該柱面叫做拋物柱面. 又如,方程 x-y=0表示母線平行于z軸的柱面,其準(zhǔn)線是xOy面的直線 x-y=0,所以它是過(guò)z軸的平面. 一般地,只含x、y而缺z的方程F(x,y)=0,在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面,其準(zhǔn)線是xOy面上

51、的曲線C: F(x,y)=0. 類似可知,只含x、z而缺y的方程G(x,z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y,z)=0分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面. 例如,方程 x-z=0表示母線平行于y軸的柱面,其準(zhǔn)線是xOz面上的直線 x-z=0. 所以它是過(guò)y軸的平面. 四、二次曲面與平面解析幾何中規(guī)定的二次曲線相類似,我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.把平面叫做一次曲面.二次曲面有九種，適當(dāng)選取空間直角坐標(biāo)系，可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程.下面就九種二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)討論二次曲面的形狀.(1)橢圓錐面 以垂直于z軸的平面z=t截此曲面,當(dāng)t=0時(shí)得一點(diǎn)(0, 0, 0);當(dāng)t¹0時(shí)

52、,得平面z=t上的橢圓.當(dāng)t變化時(shí),上式表示一族長(zhǎng)短軸比例不變的橢圓,當(dāng)|t|從大到小并變?yōu)?時(shí),這族橢圓從大到小并縮為一點(diǎn).綜合上述討論,可得橢圓錐面的形狀如圖. 平面z=t與曲面F(x,y,z)=0的交線稱為截痕.通過(guò)綜合截痕的變化來(lái)了解曲面形狀的方法稱為截痕法.我們還可以用伸縮變形的方法來(lái)得出橢圓錐面（1）的形狀. 先說(shuō)明xOy平面上的圖形伸縮變形的方法.在xOy平面上，把點(diǎn)M(x,y)變?yōu)辄c(diǎn)(,y)，從而把點(diǎn)M的軌跡C變?yōu)辄c(diǎn)的軌跡，稱為把圖形C沿y軸方向伸縮倍變成圖形.假如C為曲線F(x,y)=0，點(diǎn),點(diǎn)M變?yōu)辄c(diǎn)，其中，即，因點(diǎn)M，有，故，因此點(diǎn)的軌跡的方程為.例如把圓沿y軸方向伸縮倍

53、，就變?yōu)闄E圓. 類似地，把空間圖形沿y軸方向伸縮倍，那么圓錐面即變?yōu)闄E圓錐面.利用圓錐面（旋轉(zhuǎn)曲面）的伸縮變形來(lái)得出橢圓錐面的形狀，這種方法是研究曲面形狀的一種較方便的方法.(2)橢球面 把xOz面上的橢圓繞z軸旋轉(zhuǎn)，所得曲面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面，其方程為沿再把旋轉(zhuǎn)橢球面沿y軸方向伸縮倍，便得橢球面（2）的形狀如圖所示.當(dāng)時(shí)，橢球面（2）成為，這是球心在原點(diǎn)、半徑為a的球面.顯然，球面是旋轉(zhuǎn)橢球面的特殊情形，旋轉(zhuǎn)橢球面是橢球面的特殊情形.把球面沿z軸方向伸縮倍,即得旋轉(zhuǎn)橢球面;再沿y軸方向伸縮倍,即得橢球面. (3)單葉雙曲面 把xOz面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn),得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面;把此旋轉(zhuǎn)曲面沿y軸方向

54、伸縮倍,即得單葉雙曲面. (4)雙葉雙曲面 把xOz面上的雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn),得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面;把此旋轉(zhuǎn)曲面沿y軸方向伸縮倍,即得雙葉雙曲面（4）. (5)橢圓拋物面 把xOz面上的拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn),所得曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面,把此旋轉(zhuǎn)曲面沿y軸方向伸縮倍,即得橢圓拋物面（5）. (6)雙曲拋物面 雙曲拋物面又稱馬鞍面.我們用截痕法來(lái)討論它的形狀.用平面x=t截此曲面,所得截痕l為平面x=t上的拋物線,此拋物線開(kāi)口朝下,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)t變化時(shí),l的形狀不變,位置只作平移,而l的頂點(diǎn)的軌跡L為平面y=0上的拋物線.因此,以l為母線,L為準(zhǔn)線,母線l的頂點(diǎn)在準(zhǔn)線L上滑動(dòng),且母線作平行移動(dòng),這樣得到的曲面便是雙曲拋物面（6）.還有三種二次曲面是以三種二次曲線為準(zhǔn)線的柱面:,依次稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面.柱面的形狀在第三目中已經(jīng)討論過(guò)，這里不再贅述.習(xí) 題 三1、一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)（2,3,1）和（4,5,6）等距離，求這動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.2、建立以點(diǎn)（1,3,-2）為球心，且通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的球面