第2章課后習(xí)題參考答案

1、第二章 一元線性回歸分析思考與練習(xí)參考答案 2.1 一元線性回歸有哪些基本假定?答： 假設(shè)1、解釋變量X是確定性變量，Y是隨機(jī)變量； 假設(shè)2、隨機(jī)誤差項(xiàng)具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性： E(i)=0 i=1,2, ,n Var (i)=s2 i=1,2, ,n Cov(i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n 假設(shè)3、隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量X之間不相關(guān)： Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假設(shè)4、服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布 iN(0, s2 ) i=1,2, ,n2.2 考慮過(guò)原點(diǎn)的線性回歸模型 Yi=1Xi+i i=1,2, ,n誤差i（i=1,2, ,n）仍滿

2、足基本假定。求1的最小二乘估計(jì)解：得：2.3 證明（2.27式），Sei =0 ，SeiXi=0 。證明：其中：即： Sei =0 ，SeiXi=02.4回歸方程E（Y）=0+1X的參數(shù)0，1的最小二乘估計(jì)與最大似然估計(jì)在什么條件下等價(jià)?給出證明。答：由于iN(0, s2 ) i=1,2, ,n所以Yi=0 + 1Xi + iN（0+1Xi , s2 )最大似然函數(shù)：使得Ln（L）最大的，就是0，1的最大似然估計(jì)值。同時(shí)發(fā)現(xiàn)使得Ln（L）最大就是使得下式最小，上式恰好就是最小二乘估計(jì)的目標(biāo)函數(shù)相同。值得注意的是：最大似然估計(jì)是在iN(0, s2 )的假設(shè)下求得，最小二乘估計(jì)則不要求分布假設(shè)。

3、所以在iN(0, s2 ) 的條件下， 參數(shù)0，1的最小二乘估計(jì)與最大似然估計(jì)等價(jià)。2.5 證明是0的無(wú)偏估計(jì)。證明：2.6 證明證明：2.7 證明平方和分解公式：SST=SSE+SSR證明：2.8 驗(yàn)證三種檢驗(yàn)的關(guān)系，即驗(yàn)證：（1）（2）證明：（1）（2）2.9 驗(yàn)證（2.63）式：證明：其中：2.10 用第9題證明是s2的無(wú)偏估計(jì)量證明：2.11 驗(yàn)證決定系數(shù)與F值之間的關(guān)系式證明：2.14 為了調(diào)查某廣告對(duì)銷售收入的影響，某商店記錄了5個(gè)月的銷售收入y（萬(wàn)元）和廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元），數(shù)據(jù)見(jiàn)表2.6，要求用手工計(jì)算：表2.6月份12345X12345Y1010202040（1） 畫(huà)散點(diǎn)圖（略

4、）（2） X與Y是否大致呈線性關(guān)系？答：從散點(diǎn)圖看，X與Y大致呈線性關(guān)系。（3） 用最小二乘法估計(jì)求出回歸方程。計(jì)算表XY1104100206（-14）2（-4）221011001013（-7）2（3）2320000200042010027727254044004034142（-6）2和15100和Lxx=10Lyy=600和Lxy=70和100SSR=490SSE=110均3均20均20回歸方程為：（4） 求回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差先求SSR（Qe）見(jiàn)計(jì)算表。所以（5） 給出 的置信度為95%的區(qū)間估計(jì)；由于(1-a)的置信度下， 的置信區(qū)間是 查表可得所以 的95%的區(qū)間估計(jì)為：（73.182*1.9

5、15，7+3.182*1.915），即（0.906,13.094）。所以 的95%的區(qū)間估計(jì)為：（-1-3.182*6.351，-1+3.182*6.351），即（-21.211, 19.211）。的置信區(qū)間包含0，表示不顯著。（6） 計(jì)算x和y的決定系數(shù) 說(shuō)明回歸方程的擬合優(yōu)度高。（7） 對(duì)回歸方程作方差分析方差分析表方差來(lái)源平方和自由度均方F值SSR490149013.364SSE110336.667SST6004F值=13.364>F0.05(1,3)=10.13(當(dāng)n=1,n=8時(shí)，=0.05查表得對(duì)應(yīng)的值為10.13),所以拒絕原假設(shè)，說(shuō)明回歸方程顯著。（8） 做回歸系數(shù)1的顯

6、著性檢驗(yàn)H0: 1=0t值=3.656>t0.05/2(3)=3.182,所以拒絕原假設(shè)，說(shuō)明x對(duì)Y有顯著的影響。（9） 做相關(guān)系數(shù)R的顯著性檢驗(yàn)R值=0.904>R0.05(3)=0.878,所以接受原假設(shè)，說(shuō)明x和Y有顯著的線性關(guān)系。（10） 對(duì)回歸方程作殘差圖并作相應(yīng)的分析殘差圖(略) .從殘差圖上看出，殘差是圍繞e=0在一個(gè)固定的帶子里隨機(jī)波動(dòng)，基本滿足模型的假設(shè)eiN(0, s2 ), 但由于樣本量太少, 所以誤差較大.（11） 求廣告費(fèi)用為4.2萬(wàn)元時(shí),銷售收入將達(dá)到多少?并給出置信度為95%的置信區(qū)間.解: 當(dāng)X0=4.2時(shí), 所以廣告費(fèi)用為4.2萬(wàn)元時(shí), 銷售收入將

7、達(dá)到28.4萬(wàn)元.由于置信度為1-時(shí)，Y0估計(jì)值的置信區(qū)間為:所以求得Y0的95%的置信區(qū)間為: 6.05932 ,50.74068預(yù)測(cè)誤差較大.2.15 一家保險(xiǎn)公司十分關(guān)心其總公司營(yíng)業(yè)部加班的制度，決定認(rèn)真調(diào)查一下現(xiàn)狀。經(jīng)過(guò)十周時(shí)間，收集了每周加班工作時(shí)間的數(shù)據(jù)和簽發(fā)的新保單數(shù)目，x為每周新簽發(fā)的保單數(shù)目，y為每周加班工作時(shí)間（小時(shí)）。見(jiàn)表2.7。表2.7周序號(hào)12345678910X825215107055048092013503256701215Y3.51.04.02.01.03.04.51.53.05.01、畫(huà)散點(diǎn)圖2、由散點(diǎn)圖可以看出， x與y之間大致呈線性關(guān)系。3、用最小二乘法求

8、出回歸系數(shù)由表可知： 回歸方程為： 4、求回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差由方差分析表可以得到:SSE=1.843 故回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差，=0.48。5、給出回歸系數(shù)的置信度為95%的區(qū)間估計(jì)由回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表可以看出，當(dāng)置信度為95%時(shí)：的預(yù)測(cè)區(qū)間為-0.701,0.937, 的預(yù)測(cè)區(qū)間為0.003,0.005.的置信區(qū)間包含0，表示不拒絕為零的假設(shè)。6、決定系數(shù) 由模型概要表得到?jīng)Q定系數(shù)為0.9接近于1，說(shuō)明模型的擬合優(yōu)度高。 7. 對(duì)回歸方程作方差分析由方差分析表可知：F值=72.396>5.32(當(dāng)n=1,n=8時(shí)，查表得對(duì)應(yīng)的值為5.32)P值0，所以拒絕原假設(shè)，說(shuō)明回歸方程顯著。8、對(duì)的顯著性檢驗(yàn)

9、從上面回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表可以得到的t統(tǒng)計(jì)量為t=8.509，所對(duì)應(yīng)的p值近似為0，通過(guò)t檢驗(yàn)。說(shuō)明每周簽發(fā)的新保單數(shù)目x對(duì)每周加班工作時(shí)間y有顯著的影響。9.做相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.949，說(shuō)明x與y顯著線性相關(guān)。10、對(duì)回歸方程作殘差圖并作相應(yīng)分析從殘差圖上看出，殘差是圍繞e=0隨即波動(dòng)，滿足模型的基本假設(shè)。11、該公司預(yù)計(jì)下一周簽發(fā)新保單X0=1000張,需要的加班時(shí)間是多少?當(dāng)x=1000張時(shí)，小時(shí)12、給出Y0的置信水平為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間 通過(guò)SPSS運(yùn)算得到Y(jié)0的置信水平為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間為：（2.5195，4.8870）。13 給出E（Y0）的置信水平為95%的預(yù)測(cè)區(qū)

10、間通過(guò)SPSS運(yùn)算得到Y(jié)0的置信水平為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間為：（3.284，4.123）。2.16 表是1985年美國(guó)50個(gè)州和哥倫比亞特區(qū)公立學(xué)校中教師的人均年工資y(美元)和學(xué)生的人均經(jīng)費(fèi)投入x(美元).序號(hào)yx序號(hào)yx序號(hào)yx119583334618208163059351953826422202633114191809529673620460312432032535542020939328537214192752426800454221226443914382516034295294704669222462445173922482394762661048882327186434940209

11、692509730678571024339905020412722454408271705536252338235944225892404292585341682620627282143226443402102450035472722795336644246402829112427431592821570292045223412297122717036212922080298046256102932133016837823022250373147260153705142652542473120940285348257884123152736039823221800253349291323608

12、162169035683322934272950414808349172197431553418443230551258453766解答：（1）繪制y對(duì)x的散點(diǎn)圖，可以用直線回歸描述兩者之間的關(guān)系嗎？由上圖可以看出y與x的散點(diǎn)分布大致呈直線趨勢(shì)。（2）建立y對(duì)x的線性回歸。利用SPSS進(jìn)行y和x的線性回歸，輸出結(jié)果如下：表1 模型概要RR2調(diào)整后的R2隨機(jī)誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值0.8350.6970.6912323.25589表2 方差分析表模型平方和自由度和平均F值P值1回歸平方和6.089E816.089E8112.811.000a殘差平方和2.645E8495397517.938總平方和8.734E850表3 系數(shù)表模型非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)t值P值B標(biāo)準(zhǔn)差回歸系數(shù)1常數(shù)12112.6291197.76810.113.000對(duì)學(xué)生的人均經(jīng)費(fèi)投入3.314.312.83510.621.0001) 由表1可知，x與y決定系數(shù)為，說(shuō)明模型的擬合效果一般。x與y線性相關(guān)系數(shù)R=0.835，說(shuō)明x與y有較顯著的線性關(guān)系。2) 由表2（方差分析表中）看到，F(xiàn)=112.811，顯著性Sig.p,說(shuō)明回歸方程顯著。3) 由表3 可見(jiàn)對(duì)的顯著性t檢驗(yàn)P值近似為零，故顯著不為0，說(shuō)明x對(duì)y有顯