等差數(shù)列和前n項(xiàng)和講義

1、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、等差數(shù)列的相關(guān)概念（一）等差數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差。利用：“ (為常數(shù))”判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列。注意：（1）如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)起或第4項(xiàng)起，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列；（2）等差數(shù)列要求這個(gè)常數(shù)必須相同；（3）公差： (n2)；（4）當(dāng)0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；當(dāng)0，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)0，數(shù)列為遞減數(shù)列；（5）公差必須為后一項(xiàng)減前一項(xiàng)，不能顛倒。（二）、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是(n1)，或者通項(xiàng)公式的變形：

2、(nm) 。（三）、等差中項(xiàng)：（1）由三個(gè)數(shù)，A，b組成的等差數(shù)列，A叫做和b的等差中項(xiàng)，則2Ab；（2）若在一個(gè)等差數(shù)列中，除去首項(xiàng)和末項(xiàng)以外，每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2。（3） 特別地：在ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，則B600。例1：已知數(shù)列為等差數(shù)列，則_?！净玖糠ā俊窘馕觥?變式練習(xí)1：若等差數(shù)列的公差0，且，是關(guān)于x的方程x2x0的兩根，求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！窘狻坑深}意知解得 an2n.變式練習(xí)2：（1）方程x26x10的兩根的等差中項(xiàng)為_。（2）等差數(shù)列中，前三項(xiàng)依次為，則公差_.【解析】(1)設(shè)方程兩根為x1、x2，則x1x26，所以其等差中項(xiàng)為3.(2)由2

3、×得x2，故知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為，公差d.變式練習(xí)3：等差數(shù)列中，若20，則()A：40B：30C：25D：20【解析】選B.因?yàn)?da7a320，所以d5，于是a2017a20116d6×530.二、等差數(shù)列的性質(zhì)1、0，是遞增數(shù)列； 0， 是常數(shù)列； 0， 是遞減數(shù)列。2、公差(m、nN) 3、若pqmn，則 m、n、p、qN；特別地：k，則2(角標(biāo)公式)例2：在公差為的等差數(shù)列中，（1）若48，則_。（2）若34， ×52，則_?！窘馕觥浚海?）a1312.（2）或d3或d3.變式練習(xí)1：已知等差數(shù)列中，1，則_?！窘馕觥浚鹤兪骄毩?xí)2：（1）在等差數(shù)列中1

4、5，4，則()A：10B：11 C：12 D：9【解析】B（2）在等差數(shù)列中，若10，則()A：30B：40 C：50 D：60【解析】C變式練習(xí)3：在等差數(shù)列中，4，則()A：10B：20C：40D：2log25【解析】a1a2a105(a5a6)5×420，從而log2(···)log222020.變式練習(xí)4：在等差數(shù)列中，若80，則的值為()A：4B：6C：8D：10【解析】選C.因?yàn)閍2a4a6a8a105a680，所以a616.所以(2) ()8三、等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn1、公式：n； 由前n項(xiàng)和公式得：An2BnC，則成等差數(shù)列的充要條件是C0

5、。2、性質(zhì)：（1）、在等差數(shù)列中，則，成等差數(shù)列。例3：設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若3，27，則該數(shù)列的首項(xiàng)等于()A： B： C： D：【解析】：由得解得a1=.故選D.變式練習(xí)1：在等差數(shù)列中，已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。【解析】： 4n12變式練習(xí)2：九章算術(shù)有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十一尺，第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺，問(wèn)第十日織尺數(shù)為（ ）A：6 B：9 C：12 D：15【解析】：21，則15變式練習(xí)3：已知數(shù)列為等差數(shù)列，前30項(xiàng)的和為50，前50項(xiàng)的和為30，求前80項(xiàng)的和?！窘馕觥浚航猓涸O(shè)， 解得 注：等差數(shù)列有如下性質(zhì)：若則。例4：在等差數(shù)列中，已

6、知，那么它的前8項(xiàng)之和等于 （ ）A：12 B： 24 C：36 D： 48 【解析】： D變式練習(xí)1：已知等差數(shù)列中，那么（ ）A：390B：195C：180D：120【解析】：C變式練習(xí)2：在等差數(shù)列中，20，則_?！窘馕觥?20變式練習(xí)3：已知在等差數(shù)列中，、是方程x26x100的根，則（）A：41 B：51 C：61 D：68【解析】：B變式練習(xí)4：已知等差數(shù)列的公差，那么（）A：80B：120 C：135D：160【解析】：B例5：等差數(shù)列的前m項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，則它的前3m項(xiàng)的和為( )A：130 B：170 C：210 D：260 【解析】：C變式練習(xí)1：設(shè)是等

7、差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則 ( )A： B： C： D：【解析】：A變式練習(xí)2：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若9，36，則（）A63 B45 C36 D27【解析】：B變式練習(xí)3：等差數(shù)列共有項(xiàng)，若前項(xiàng)的和為200，前項(xiàng)的和為225，則中間項(xiàng)的和為 （ ）A：50 B：75 C： 100 D： 125【解析】：B四、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和n() 上式可變成：An2Bn。 當(dāng)d0時(shí)，數(shù)列，的圖象是拋物線上的一群弧立點(diǎn)。2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值：（1）利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)；（2）當(dāng)0，d0時(shí)，由0，0，則為最大值；（3）0，d0時(shí)，由0，0，則為最小值。例6：在等差數(shù)列中，25，S

8、17S9，求Sn的最大值?！窘馕觥浚悍椒ㄒ唬?S17S9得：25×1725×9得：d2， Sn25n(n13)2169 當(dāng)n13時(shí)，Sn有最大值169。方法二：同法一先求出d2， a1250由 得 當(dāng)n13時(shí)，Sn有最大值169。變式練習(xí)1：在等差數(shù)列中，0，S4S9，則Sn取最大時(shí)，n_?！窘馕觥浚?或7變式練習(xí)2：在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，若11，6，則當(dāng)取最小值時(shí)，n（ ）。A：6 B：7 C：8 D：9【解析】： A變式練習(xí)3：在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，若0，0，當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n（ ）。A：16 B：8 C：9 D：10 【解析】：得得故 B例7：已知數(shù)列是等差

9、數(shù)列，4，14，則計(jì)算的值?！窘馕觥浚?an103n0，n3，當(dāng)n3時(shí)，an0，當(dāng)n4時(shí)，an0a1a2an1an課 后 綜 合 練 習(xí)1、在數(shù)列an中，a12，2an12an1(nN)，則a101的值（ ）A：49 B：50 C：51 D：52【解析】：D2、在等差數(shù)列an中首項(xiàng)為70，公差為9，則這個(gè)數(shù)列中絕對(duì)值最小的一項(xiàng)為（ ）A：a8 B：a9 C：a10 D：a11【解析】：B3、在等差數(shù)列an中，a25，a6a46，則a1等于（ ）A：9 B：8 C：7 D：4【解析】：B4、已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a1a7a13，則tan(a2a12)的值為（ ）A： B： C：±

10、D：【解析】：B5、在等差數(shù)列an中，首項(xiàng)為a10，公差d0，若aka1a2a3a4a5a6a7，則k的值是（ ）A：21 B：22 C：23 D：24 【解析】：B6、已知等差數(shù)列 an 的公差為1，且a1a2a3a9999，則a3a6a9a96a99（ ）A：99 B：66 C：33 D：0【解析】：B7、已知數(shù)列為等差數(shù)列且4，則cos()的值為()A：B：C：D： 【解析】選D8、在等差數(shù)列中，39，33，則的值為()A：30B：27C：24D：21【解析】選B.令b1a1a4a739，b2a2a5a833，b3a3a6a9，因?yàn)閍n成等差數(shù)列，所以b1，b2，b3成等差數(shù)列，所以a3

11、a6a9b3b2(b2b1)2b2b127.9、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若2，8，則等于_?！窘馕觥浚?410、在等差數(shù)列中，若S41，S84，則a17a18a19a20_?！窘馕觥浚?11、在等差數(shù)列中，則_?！窘馕觥浚?1012、設(shè)等差數(shù)列滿足1，公差(1，0)，當(dāng)且僅當(dāng)n9時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值，求該數(shù)列首項(xiàng)的取值范圍_。【解析】： 13、等差數(shù)列中，4，6。（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如0.90，2.62。【解析】：()設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意有，解得，所以的通項(xiàng)公式為.（）由()知，當(dāng)n1，2，3時(shí)，；當(dāng)n4，5時(shí)，；當(dāng)n6，7

12、，8時(shí)，；當(dāng)n9，10時(shí)，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為。enjoy the trust of 得到.的信任    have / put trust in 信任   in trust 受托的，代為保管的take .on trust對(duì).不加考察信以為真  trust on 信賴   give a new turn to    對(duì)予以新的看法 turn around / round 轉(zhuǎn)身，轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，改變意見turn back &