第三章(第57講)

1、第三章 連續(xù)信號的正交分解§3-1引 言線性系統(tǒng)分析方法，是將復雜信號分解為簡單信號之和（或積分），通過系統(tǒng)對簡單信號的響應(yīng)求解系統(tǒng)對復雜信號的響應(yīng)。在時域中，近代時域法將信號分解為沖激信號的積分，根據(jù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)通過卷積計算出系統(tǒng)對信號的響應(yīng)。然而，很多信號的特性與頻率有著很重要的關(guān)系，因此研究信號在頻域中的特性可以得到許多極具實用價值的結(jié)論，它在工程中也具有很重要的意義。本章中，我們研究任何將信號分解成與頻率有關(guān)的函數(shù)的疊加。即在頻域中，將信號分解為一系列與頻率有關(guān)的正弦函數(shù)的和（或積分）。然后，再研究如何通過系統(tǒng)對正弦信號的響應(yīng)求解系統(tǒng)對原信號的響應(yīng)。 類似上章所述，通過信號

2、分解的方法求解響應(yīng)要研究下面幾個問題：1） 如何將任意信號分解為一系列正弦信號之和（或積分）。2） 求解系統(tǒng)對各個正弦子信號的響應(yīng)(這個內(nèi)容在電路分析課程中已經(jīng)有詳細介紹)。3） 將各子信號的響應(yīng)相疊加，從而合成系統(tǒng)對激勵信號的響應(yīng)。本章將要研究的就是如何對信號進行分解和合成。§3-2 信號在正交函數(shù)集中的分解信號的分解，在某種意義上與矢量分解有相似之處。為了形象地說明信號分解，首先我們討論矢量分解。一、 矢量的分解1、 矢量的定義：具有大小和方向的量叫做矢量。2、 矢量運算：加，矢量點乘（結(jié)果是標量），矢量叉乘。3、 矢量的分解：1） 矢量的單矢量基的分解：在上的分量為在上的投影：

3、AA1C1A1E其中，E為誤差矢量。而在上的垂直投影的模：，從幾何或者解析角度，都可以得到使誤差E最小的系數(shù)為：其中的稱為矢量和的相似系數(shù)。其它投影情況下誤差E不為最小，見上圖。如果（或），則表明和相垂直（又稱為正交）。 2） 矢量的多矢量基分解：將矢量表示成為一系列標準矢量（基）的線性組合：² 顯然，如果知道了標準矢量和響應(yīng)的系數(shù)，就可以確定任意矢量。² 如何確定最佳的系數(shù)？情況比較復雜，對于特定的i而言，不僅與特定的有關(guān)，與其它的標準矢量也有關(guān)系。但是如果矢量兩兩正交，可以證明：4、 標準矢量基的幾個限制條件：1） 歸一化：標準矢量的模等于1方便計算；2） 正交化：標準

4、矢量兩兩正交；3） 完備性：可以不失真地組合出任意矢量。二、 信號的分解用與矢量分解相類比的方法，我們也可以推導出信號分解。1、 單個標準信號下的分解：在時間區(qū)間內(nèi)，用近似任意函數(shù)，并使誤差盡可能小。1） 如何衡量函數(shù)誤差的大??？可以采用方均誤差：2） 最佳系數(shù)：（也稱為函數(shù)和的相似系數(shù)。3） 如果（或），則稱和正交。4） 如果和是復函數(shù)，則其方均誤差為：最佳系數(shù)為：2、 多個標準信號下的分解：將信號表示為多個標準信號的線性組合：這里的同樣難以確定。但是如果標準函數(shù)之間兩兩正交，則可以證明：例：標準信號集：泰勒級數(shù)，三角函數(shù)：3、 對標準信號集的要求：1） 歸一化：2） 正交化：，3） 完備性

5、：可以用其線性組合表示任意信號。完備正交函數(shù)集一般都包含無窮多個函數(shù)，例如：三角函數(shù)集，沃爾什函數(shù)集等。但在實際應(yīng)用中不可能用無窮多個，只可能用有限個函數(shù)，只能近似表示任意函數(shù)。附：矢量與函數(shù)的運算與分解比較：矢量函數(shù)加法標乘乘法正交歸一誤差誤差代價函數(shù)系數(shù)§3-3 信號表示為傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)是最常用的一種正交函數(shù)集。它在工程中有很廣泛的用途。一、 三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)這種正交函數(shù)集為：其中：或?qū)⒄缓瘮?shù)集表示為：可以證明該函數(shù)集滿足：1）正交性：函數(shù)集中的函數(shù)兩兩相正交。2）當時：² 可以將任意函數(shù)f(t)在這個正交函數(shù)集中展開（表示成該正交函數(shù)集函數(shù)的線性組合）

6、：其中的系數(shù)可以根據(jù)§3-2節(jié)的結(jié)果計算出：其中的表達不太方便。為了方便表達，將分解式改寫：則系數(shù)為：其中，n=0，1，2，。所以，信號可以表示成為直流信號和一系列正弦信號之和。² 另外一種分解方式：令：，則上面的分解式可以表達成：它可以看成是下列正交信號集：的平移后的線性組合。其中，和是n的偶函數(shù)；和是n的奇函數(shù)；如果f(t)是實數(shù)信號。上面的分解等式的左右兩邊的函數(shù)是否相等，沒有誤差？或者，是否隨著n趨向于無窮大，等式右邊的函數(shù)收斂于左邊的函數(shù)？Direchlet(狄利克雷)證明，只要滿足下面三個條件，等式就收斂：1） f(t)絕對可積，即：2） f(t)在區(qū)間內(nèi)有有限

7、個間斷點；3） f(t)在區(qū)間內(nèi)有有限個極值點。實際信號大都滿足這個條件。² 等式右邊是多個周期為T的函數(shù)的和，它仍然是周期為T的函數(shù)。² 這種分解可以用在兩個場合：1） 研究函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的分解；2） 研究周期為T的函數(shù)在整個時間區(qū)間內(nèi)的分解。本課程中研究的是2）。² 如果f(t) 周期為T的函數(shù),為了方便討論，一般函數(shù)的主值區(qū)間取² 在函數(shù)的分解中：稱為信號的直流分量；、或稱為信號的基波分量；、或稱為信號的n(n時)次諧波分量；² 實際情況下，n無法計算到無窮大，只能取有限。這時，這種正交展開是有誤差的。n越大，誤差越小。例：方波的傅里葉級數(shù)

8、，P97。按照定義公式，可以計算出：所以該方波在一個周期（0，T）中可表示為：Gibbs（吉布斯）現(xiàn)象：對于具有不連續(xù)點的函數(shù)，即使所取級數(shù)的項數(shù)無限增大，在不連續(xù)處，級數(shù)之和仍不收斂于于原函數(shù)。在躍變點附近，出現(xiàn)振蕩、超過原函數(shù)幅度的過沖。隨著n趨向于無窮，在函數(shù)的間斷點附近，其過沖值收斂于函數(shù)在這點上的跳變值的8.948987%。如果此方波是在區(qū)間上周期性變化的，那么，在上，亦有：復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)有兩種推導方式：（1）其級數(shù)展開式是從復指數(shù)正交函數(shù)集出發(fā)，將函數(shù)展開為：其中使用的正交函數(shù)集為復指數(shù)函數(shù)：或者記為：根據(jù)前面的公式，可以得到其中的系數(shù)為：因為其中的復指數(shù)函數(shù)為正交函數(shù)集，

9、所以，（2）其級數(shù)展開式從三角函數(shù)的函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)入手：令：，可以得到：令：通過上式也可以看出，函數(shù)可以分解為一系列的線性組合，其中的系數(shù)為：而：>>,² 兩種推導過程得到的答案應(yīng)該相同。對比兩個系數(shù)計算公式，可以得到：這個等式反映了與、或、之間的關(guān)系。例如：根據(jù)前面推導的方波的傅里葉級數(shù)的計算結(jié)果，容易得到復指數(shù)情況下的傅里葉級數(shù)為：² 表示一種復正弦信號，其中n可以為正，也可以為負，這時就會出現(xiàn)頻率小于零的負頻率，這在物理上并沒有意義，只是在數(shù)學上可以帶來方便。² 復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)雖然在物理上難于理解，但是它計算簡單，在數(shù)學上可以帶來很

10、多方便之處，所以應(yīng)用廣泛。二、 函數(shù)的奇偶性與其傅里葉級數(shù)關(guān)系掌握這些關(guān)系有利于傅里葉級數(shù)系數(shù)的化簡和計算。1、如果函數(shù)是偶函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)中只有直流分量和余弦分量。偶函數(shù):。因為，所以，有：2、如果函數(shù)是奇函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)中只有正弦分量。 奇函數(shù)：。因為，所以，有：3、任意函數(shù)可以分解為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。4、信號的平移可以使函數(shù)的奇偶性改變。5、奇諧函數(shù):奇諧函數(shù)的定義：滿足的周期為T的函數(shù)。代表奇次諧波的余弦項和正弦項，（k=0,1,2,）,以及由這些項疊加所組成的函數(shù)符合，而代表偶次諧波的余弦項、正弦項，（k=0,1,2,）和代表直流分量的常數(shù)項，以及由這些項疊加所組成

11、的函數(shù)，都不符合。所以，奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只有奇次諧波分量,不包含直流分量和偶次諧波分量。6、偶諧函數(shù)：偶諧函數(shù)的定義：滿足的周期為T的函數(shù)。偶諧函數(shù)實際上是周期為的函數(shù)。偶諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只有直流和偶次諧波的余弦分量。習題：3.3(1);3.7;3.10.*§3-4 周期性信號的頻譜頻譜是信號的一種圖形表示方法，它將信號各個頻率分量上的系數(shù)關(guān)系用圖形的方法表示出來。它可以說明信號的特性，而且可以給信號的變換和處理計算帶來很多方便之處。頻譜圖有兩個組成部分：振幅頻譜：表示信號含有的各個頻率分量的幅度。其橫坐標為頻率，縱坐標為各個對應(yīng)頻率分量的幅度。相位頻譜：表示信號含有的各個

12、頻率分量的相位。其橫坐標為頻率，縱坐標為各個對應(yīng)頻率分量的相位。頻譜圖有兩種形式：1、如果采用正弦函數(shù)展開形式的傅里葉級數(shù)，則相應(yīng)的表達式為：其中，振幅頻譜為：相位頻譜為：而，其中，n=0，1，2，。 按照這種定義做出的頻譜，因為只有時才有意義，做出的圖只有的一邊，所以又被稱為單邊頻譜。例：周期性方波的單邊頻譜。，所以：其振幅頻譜圖為：其中，。特點：1） 離散頻譜；2） 的整數(shù)倍；3） 振幅隨諧波次數(shù)的增高而逐漸趨小。注意：單邊頻譜中，對于點上的振幅頻譜，即為信號的直流分量，應(yīng)為的一半，即 ；2、如果采用復指數(shù)展開形式的傅里葉級數(shù)，則相應(yīng)的表達式為：其中，振幅為，相位頻譜為：，則做出的頻譜出的

13、圖又被稱為雙邊頻譜。例：周期性方波的雙邊頻譜。其振幅頻譜圖為：0由于對于實數(shù)信號而言，其頻譜具有對稱性，所以一般情況下對于雙邊頻譜也只要作出部分就可以了。這樣一來的雙邊頻譜與單邊頻譜就有些相似，但是含義不同。在頻譜形狀上，兩者的相位頻譜相同，但是振幅頻譜的幅度大小為雙邊頻譜是單邊譜的一半。單邊頻譜在物理概念上容易理解，但是雙邊頻譜對于后續(xù)的處理帶來很大的好處。所以在后面的內(nèi)容中，頻譜往往都是用雙邊頻譜。周期性信號的頻譜有下面三個特點：1、 離散性：它有不連續(xù)的線條組成；2、 諧波性：線條只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍點上；3、 收斂性：實際信號的幅頻特性總是隨頻率趨向無窮大而趨向于零。例：周期性方波

14、脈沖的頻譜：其中：，稱為抽樣函數(shù)。信號的頻譜如下圖。該圖中信號的振幅頻譜和相位頻譜可以合二為一。根據(jù)周期性方波的頻譜，我們可以得到關(guān)于信號特性的幾個一般性結(jié)論：1、 T增加>函數(shù)：1）收斂性不變；2）譜線幅度降低；3）譜線密度加大（=2/T）。當T趨向無窮大時，信號成為非周期信號，這時，譜線幅度降低為無窮小。2、 下降>函數(shù)：1）收斂性不變；2）譜線幅度降低；3）譜線密度不變（=2/T）。3、 信號的頻帶：由于信號的頻譜的收斂性，一般可以在一個信號分量主要集中的頻率區(qū)間內(nèi)研究信號的特性，而忽略信號其它部分的分量。響應(yīng)的頻率區(qū)間就是信號的頻帶。信號頻帶有下列幾種確定方法：1） 以信號

15、最大幅度的為限，其它部分忽略不計；2） 以信號振幅頻譜中的第一個過零點為限，零點以外部分忽略不計；3） 以包含信號總能量的90%處為限，其余部分忽略不計；4、 信號的邊沿對信號頻帶的影響信號的邊沿變化越快，信號的頻帶越寬。§3-5 傅里葉變換與非周期性信號的頻譜非周期性信號可以看成周期信號在周期趨向無窮大時的極限。一、 從周期信號到非周期信號從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 根據(jù)周期信號傅里葉級數(shù)展開公式，其各個頻率分量的幅度為：當時，從周期信號轉(zhuǎn)變到非周期信號,此時：1） 頻譜間隔趨向無窮小，信號在各個頻率點上都有信號分量>頻率取值變成連續(xù)的。2） 在每一個頻率點上的頻率分量大小趨向

16、零。上述第2）點給計算帶來了麻煩，所以無法用傅里葉級數(shù)表示非周期信號。這時，為了消除系數(shù)公式中趨向無窮小的部分，定義：這時上式可以得到一個非零的值。令，則，而成為一個連續(xù)的變量，假設(shè)其表示為連續(xù)的變量，則可以得到傅里葉變換公式：n 因為，該式有“單位頻帶內(nèi)信號幅度”的量綱，所以被稱為“頻譜密度函數(shù)”。它表示信號在該頻率點上分量的相對大小，而信號在此頻率點上的實際分量大小為零。n 與傅里葉級數(shù)一樣，如果f(t)是實數(shù)函數(shù)，的幅度是的偶函數(shù)，的相位是的奇函數(shù)。二、傅里葉反變換怎樣用計算f(t)即：這個公式實際上也表示了將信號分解為一系列復指數(shù)函數(shù)的子信號之和（積分）。這個公式也可以表達成為一個在物

17、理上更容易理解的實數(shù)三角函數(shù)形式：（由于第二個積分項中的函數(shù)是奇函數(shù)，所以等于零。）總結(jié)：正反傅里葉變換公式：FT：IFT：n 和之間是一一對應(yīng)的，根據(jù)其中的一個可以確定另外一個?？梢哉J為，它們包含了相同的信息，只不過自變量不同，它們是相同信號的不同表達形式。正變換將以時間為自變量的函數(shù)變成了以頻率為自變量的函數(shù)，將信號從時域變換到了頻域。反變換將以頻率為自變量的函數(shù)變成了以時間為自變量的函數(shù)，將信號從頻域變換到了時域。所以，建立在這種變換上的系統(tǒng)分析方法稱為變換域法。這種變換通常經(jīng)過積分計算得出，所以也稱為積分變換。n 傅里葉變換所牽涉的兩個函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以它完成的是從連續(xù)函數(shù)到連續(xù)函

18、數(shù)的變換；而傅里葉級數(shù)則是完成從連續(xù)函數(shù)到離散函數(shù)的描述。n 傅里葉變換存在的條件依然是Direchlet條件，只不過這時考慮的時間區(qū)間為。n 在頻域中我們用作自變量，目的是為后面引入拉普拉斯變換給出一個基礎(chǔ)性的概念。三、非周期信號的頻譜這里同樣可以用圖的形式，在變換域中表示信號。響應(yīng)的頻譜圖稱為信號的振幅（或幅頻）特性曲線和相頻特性曲線。例：方波的頻譜：而，四、傅里葉變換的另外幾種形式：1、將頻域中的自變量從變成，則：FT：IFT：或：FT：IFT：這種形式上正反傅里葉變換形式上比較對稱，但是使用時并不方便。2、一些文獻上也可以見到另一種形式的傅里葉變換公式：FT：IFT：§3-6

19、 常用信號的F.T常用信號的FT見P125129表?，F(xiàn)在將一些結(jié)論列舉如下：1、 沖激函數(shù)：反變換：不滿足絕對可積條件。此時，引進下式：則，從沖激函數(shù)的定義考慮問題：，時，上述極限表達式為零。而有：所以，2、 單邊指數(shù)信號：3、 雙邊指數(shù)信號：以上兩個信號的FT只在時存在。4、 門函數(shù)：5、 階躍信號：6、 直流：Ø 階躍信號和直流信號并不滿足絕對可積條件，嚴格地說不存在傅里葉變換。但是通過引入沖激函數(shù)，也可以找到其傅里葉變換的表達式，從而也可以用傅里葉變換的方法進行分析.習題：.3.9*§3-7 周期性信號的傅里葉變換這里特別提這個問題是因為周期性信號是功率信號，不滿足絕

20、對可積條件，因而無法討論其傅里葉變換。但是，在允許沖激函數(shù)存在，并認為它是有意義的前提下，通過引入沖激函數(shù)，從極限的觀點來分析，一樣可以找到傅里葉變換（廣義傅里葉變換）。1、 復指數(shù)（正弦）信號的傅里葉變換：這個積分不滿足絕對可積條件，因而我們引入沖激函數(shù)來解決。而，將上式中，則：所以，n 根據(jù)這個變換以及后面要證明的傅里葉變換的線性特性，可以推導出：2、 周期性信號的傅里葉變換周期性信號可以展開成傅里葉級數(shù)：由此可以得到周期性信號的傅里葉變換為:可見，周期性信號的傅里葉變換是一系列間隔均勻的沖激序列。3、 脈沖信號（FT為）按照周期T進行周期化后信號的FT：（這里假設(shè)周期化后各個脈沖沒有重疊）f(t)周期化后可以表示成為傅里葉級數(shù)：所以：其中：即，所以：n 通過查表，可以很方便地得到：1） 非周期信號的FT。2） 周期信號的FT。3） 周期信號的傅里葉級數(shù)。4、 均勻沖激序列的FT：由周期性信號的傅里葉變換式:其中，得到?jīng)_激函數(shù)對應(yīng)的