線性代數(shù)的學(xué)習(xí)和在實(shí)際中的應(yīng)用

1、 線性代數(shù)的學(xué)習(xí)和在實(shí)際中的應(yīng)用 沈陽藥科大學(xué) 工商管理學(xué)院78期 張曄 摘要：通過對線性代數(shù)的內(nèi)容概念理論的學(xué)習(xí)，更好的把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際中。 線性代數(shù)（Linear Algebra）是數(shù)學(xué)的一個分支，線性代數(shù)包括：行列式、矩陣、線性方程組等基礎(chǔ)知識。它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)主要研究有限維線性空間中的線性關(guān)系和線性映射，具有代數(shù)學(xué)的實(shí)用性和抽象性特點(diǎn)。線性空間與線性變換是線性代數(shù)的核心內(nèi)容，而矩陣的秩是與這門課程的幾乎所有的內(nèi)容都有聯(lián)系的一個重要的概

2、念，利用矩陣的初等行變換是解決這門課程絕大部分計算問題的主要方法。在學(xué)習(xí)過程中挖掘知識產(chǎn)生的背景和形成過程，抓住矩陣的秩與相關(guān)概念之間的關(guān)系，融會貫通地掌握該課程的主要內(nèi)容，培養(yǎng)熟練的運(yùn)算能力及嚴(yán)密的邏輯推理能力。下面通過實(shí)例對線性代數(shù)的應(yīng)用加以說明。問題1 生產(chǎn)總值問題一個城市有三個重要的企業(yè): 一個煤礦，一個發(fā)電廠和一條地方鐵路。開采一元錢的煤，煤礦必須支付0 25 元的運(yùn)輸費(fèi)。而生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠需支付0 65 元的煤作燃料，自己亦需支付0 05 元的電費(fèi)來驅(qū)動輔助設(shè)備和支付0 05 元的運(yùn)輸費(fèi)。而提供一元錢的運(yùn)輸費(fèi)，鐵路需支付0 55 元的煤作燃料，0 10 元的電費(fèi)驅(qū)動它的輔助

3、設(shè)備。某個星期內(nèi)，煤礦從外面接到50 000 元煤的定貨，發(fā)電廠從外面接到25 000 元電力的定貨，外界對地方鐵路沒有要求。問這三個企業(yè)在那一個星期內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到多少時才能精確地滿足它們本身的要求和外界的要求?解對于一個星期的周期，x1表示煤礦的總產(chǎn)值，x2表示電廠的總產(chǎn)值，x3表示鐵路的總產(chǎn)值。根據(jù)題意:x1 ( 0 65x2 + 0 55x3) = 50 000x2 ( 0 25x1 + 0 05x2 + 0 1x3) = 25 000x3 ( 0 25x1 + 0 05x2) = 25 000寫成矩陣形式，得一所以求得煤礦總產(chǎn)值為102 087 元，發(fā)電廠總產(chǎn)值為56 163 元，鐵路

4、總產(chǎn)值為28 330 元。般地，如果問題所涉及的數(shù)據(jù)是以表格形式出現(xiàn)的或者問題可以轉(zhuǎn)化為線性方程組進(jìn)行求解的，這些提供的數(shù)據(jù)常?？梢杂蒙鲜龊喕木匦问奖韥肀硎荆纱艘刖仃嚨母拍?。另外，在習(xí)題中可以安排一些簡單的應(yīng)用題開闊視野和培養(yǎng)應(yīng)用代數(shù)知識解決實(shí)際問題的能力。問題2：成本問題某些產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中能獲得另外幾種產(chǎn)品或副產(chǎn)品，但是對每種產(chǎn)品的單位成本難以確定，這類問題可以通過幾次測試，列出方程組求解。例如：在一次投料生產(chǎn)中能獲得四種產(chǎn)品，每次測試的總成本如表1所示，試求每種產(chǎn)品的單位成本。解：設(shè)A、B、C、D 四種產(chǎn)品的單位成本分別為x1、x2、x3、x4，可列出方程組運(yùn)用行列式解得：x1=1

5、0，x2=5，x3=3，x4=2 所以A、B、C、D 四種產(chǎn)品的單位成本分別為10 元/ 公斤，5 元/ 公斤，3 元/ 公斤，2 元/ 公斤問題3：利潤問題。企業(yè)經(jīng)營幾類商品，由于有些費(fèi)用難以劃分，因此不能確定每:種商品的利潤率，這種情況可以通過不同時期（或不同門市部）的總利潤，列出方程組求解。例如：某商店經(jīng)營四類商品，四個月的銷售額及利潤額如表2所示，試求每類商品的利潤率。解設(shè)A、B、C、D 四類商品的利潤率分別為x1、x2、x3、x4，可列出方程組將方程組組簡化如下解得x1=0.10，x2=0.08，x3=0.05，x4=0.04。所以A、B、C、D 四類商品的利潤率分別為10%，8%，

6、5%，4%。以上實(shí)例只是運(yùn)用了線性代數(shù)中線性方程組和行列式的方法，可以想象，更多精深的數(shù)學(xué)方法應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)研究領(lǐng)域中將會對經(jīng)濟(jì)發(fā)展起到多么大的推動作用。問題4：在醫(yī)藥領(lǐng)域應(yīng)用在醫(yī)藥領(lǐng)域也有著很重要的作用。例如：通過中成藥藥方配制問題，達(dá)到理解向量組的線性相關(guān)性、最大線性無關(guān)組向量的線性表示以及向量空間等線性代數(shù)的知識問題：某中藥廠用9種中草藥（A-I），根據(jù)不同的比例配制成了7種特效藥，各用量成分見表1（單位：克）解：把每一種特效藥看成一個九維列向量，分析7個列向量構(gòu)成向量組的線性相關(guān)性。若向量組線性無關(guān)，則無法配制脫銷的特效藥；若向量組線性相關(guān)，并且能找到不含u3,u6的一個最大線性無關(guān)組，則

7、可以配制3號和6號藥品。在Matlab窗口輸入u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8;u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2;u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12;u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0;u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0;u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6;u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20;U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7U0,r=rref(U)計算結(jié)果為 U0= 1 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 3 00 0 0 1 0 1 00 0 0 0 1

8、 1 00 0 0 0 0 0 1 四個零行 r= 1 2 4 5 7 從最簡行階梯型U0中可以看出，R（U）=5，向量組線性相關(guān)，一個最大無關(guān)組為 u1，u2，u4，u5，u7， u3=u1+2u2 u6=3u2+u4+u5 故可以配制新藥2） 三種新藥v1，v2，v3表示，問 題 化 為 v1，v2，v3能否由u1-u7線性表示，若能表示，則可配制；否則，不能配制。令U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3U0,r=rref(U)由U0的最后三列可以看出結(jié)果計算結(jié)果r=1,2,4,5,7,10則可以看出v1=u1+3u2+2u4 v2=3u1+4u2+2u4+u7v3不能被線性表示，所以無法配制。參考文獻(xiàn)：白梅花 線性