線段的最大值與最小值的解題策略

1、14-5線段最大值與最小值的解題思路回顧：1線段公理兩點(diǎn)之間，線段最短；2對(duì)稱的性質(zhì)關(guān)于一條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；對(duì)稱軸是兩個(gè)對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；3三角形兩邊之和大于第三邊；4三角形兩邊之差小于第三邊。5、垂直線段最短1、 兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短線段之和的問(wèn)題往往是將各條線段串聯(lián)起來(lái)，再連接首尾端點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短以及點(diǎn)到線的距離垂線段最短的基本依據(jù)解決。例1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D,使CD=,過(guò)點(diǎn)D作DEAB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF，若過(guò)B點(diǎn)的直線將四邊形

2、CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短。（要求：簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）看數(shù)據(jù)的特殊性，30°P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍P點(diǎn)在GH上運(yùn)動(dòng)速度等于它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度求GH+GA的最小值這不是一道簡(jiǎn)單的作圖題，需要經(jīng)歷以下的思索路徑：簡(jiǎn)化圖形轉(zhuǎn)化題意由果索因畫(huà)圖說(shuō)理課堂練習(xí)：1如圖，在ABC中，AC=BC=2，ACB=90。，D是

3、BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值是_2在銳角中，的平分線交于點(diǎn)分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_例2、如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，DCB的平分線CE交DB于點(diǎn)E，若點(diǎn)P,Q分別是CD和CE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值（ ） A.2 B. C.4 D. 已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD. 探究下列問(wèn)題:（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，a=b=3，且ACB=60°，則CD= ；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，a=b=6，且ACB=90°，則CD= ；（3）如圖3，當(dāng)ACB變化,且點(diǎn)D與

4、點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求 CD的最大值及相應(yīng)的ACB的度數(shù). 圖1 圖2 圖3二、三角形兩邊之和大于第三邊求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知的，則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。例1.在RtABC中，ACB=90°，tanBAC=. 點(diǎn)D在邊AC上（不與A，C重合），連結(jié)BD，F(xiàn)為BD中點(diǎn).（1）若過(guò)點(diǎn)D作DEAB于E，連結(jié)CF、EF、CE，如圖1 設(shè)，則k = ；（2）若將圖1中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn)

5、，如圖2所示求證：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn)，求線段CF長(zhǎng)度的最大值課堂練習(xí)（西城8）如圖，在ABC中，C=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是A BC。 D 6三、線段差的問(wèn)題已知兩點(diǎn)A、B與直線（AB與不平行且在同側(cè)），動(dòng)點(diǎn)P在上，求。連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求最大值時(shí)所取的點(diǎn)，。先閱讀下面材料，然后解答問(wèn)題：（本小題滿分10分）【材料一】：如圖，直線l上有、兩個(gè)點(diǎn)，若在直線l上要確定一點(diǎn)P，且

6、使點(diǎn)P到點(diǎn)、的距離之和最小，很明顯點(diǎn)P的位置可取在和之間的任何地方，此時(shí)距離之和為到的距離. 如圖，直線l上依次有、三個(gè)點(diǎn)，若在直線l上要確定一點(diǎn)P，且使點(diǎn)P到點(diǎn)、的距離之和最小，不難判斷，點(diǎn)P的位置應(yīng)取在點(diǎn)處，此時(shí)距離之和為到的距離. (想一想，這是為什么？)不難知道，如果直線l上依次有、四個(gè)點(diǎn)，同樣要確定一點(diǎn)P，使它到各點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P應(yīng)取在點(diǎn)和之間的任何地方；如果直線l上依次有、五個(gè)點(diǎn)，則相應(yīng)點(diǎn)P的位置應(yīng)取在點(diǎn)的位置. 圖圖【材料二】：數(shù)軸上任意兩點(diǎn)a、b之間的距離可以表示為. 【問(wèn)題一】：若已知直線l上依次有點(diǎn)、共25個(gè)點(diǎn)，要確定一點(diǎn)P，使它到已知各點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的位

7、置應(yīng)取在 ；若已知直線l上依次有點(diǎn)、共50個(gè)點(diǎn)，要確定一點(diǎn)P，使它到已知各點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的位置應(yīng)取在 . 【問(wèn)題二】：現(xiàn)要求的最小值，根據(jù)問(wèn)題一的解答思路，可知當(dāng)x值為 時(shí)，上式有最小值為 .4、 幾種變式變式如圖1，為正方形ABCD的邊BC上的中點(diǎn)，且BC=2，請(qǐng)?jiān)趯?duì)角線BD上找一個(gè)點(diǎn)P使PC+PE的值最小為 。ABCDEP圖3圖1 圖2 圖4變式2如圖3，在直角梯形ABCD中，ABC90°，ADBC，AD4，AB 5，BC6，點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PCPD的和最小時(shí)，PB的長(zhǎng)為_(kāi)變式3、如圖3，梯形ABCD中，AD/BC，BE平分ABC，且BECD于E，P是BE上一動(dòng)

8、點(diǎn)。若BC = 6，CE=2DE，則 | PCPA | 的最大值是 變式4如圖2，如圖，CD是O的直徑，點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，B是弧AD的中點(diǎn)，P點(diǎn)為直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CD=4時(shí)，則（1）AP+BP的最小值為 （2）AP-BP的最大值為 變式5 圖3-7如圖3-7，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，CE3，CF=2，請(qǐng)?jiān)谶匒B,AD上找兩個(gè)點(diǎn)G、H使四邊形EFGH周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)的周長(zhǎng)。 變式6、拋物線和軸的交點(diǎn)為為的中點(diǎn)，若有一動(dòng)點(diǎn)，自點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)），再沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線對(duì)稱軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)），最后又沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，求使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，并求

9、出這個(gè)最短路程的長(zhǎng)。ADCB變式7、如圖（1），直線與軸交于點(diǎn)C，與軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A為軸正半軸上的一點(diǎn)，A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)，直線BC交A于點(diǎn)D。（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過(guò)，C，D三點(diǎn)作拋物線，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使線段與之差的值最大？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。圖3-8變式8、如圖3-8，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系已知OA3，OC2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P，

10、且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；(3)在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最??？如果存在，求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由變式9（2010天津市）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA3，OB4，D為邊OB的中點(diǎn)（）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)OABxyCDOABxyCDED（備用圖）變式10如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)D，拋物線與直線交于A、

11、E兩點(diǎn)，與軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，0)。在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。變式11、如圖，已知點(diǎn)A(-4，8)和點(diǎn)B(2，n)在拋物線上(1)求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2)平移拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，點(diǎn)C(-2，0)和點(diǎn)D(-4，0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，AC+CB 最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由作業(yè)1、（北

12、京市競(jìng)賽題）如圖（11），在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值。2如圖（12）在菱形ABCD中，DAB=1200，點(diǎn)E平分BC，點(diǎn)P在BD上，且PE+PC=1，那么邊長(zhǎng)AB的最大值是_。3、如圖13，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，），且P（，2）為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B （1）寫(xiě)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得OBQ與OAP面積相等？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)

13、明理由； （3）如圖12，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值圖14圖13 提高作業(yè)（利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱變換）EA DB CNM2010寧德第25題：如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最??；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說(shuō)明理由；FEA DB CNM 當(dāng)AMBMCM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).2. 閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，PA=，PB