概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)起源

1、概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)起源（1）從隨機(jī)現(xiàn)象談起在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中，一切事物都是相互聯(lián)系和不斷發(fā)展的。在它們彼此間的聯(lián)系和發(fā)展中，根據(jù)它們是否有必然的因果關(guān)系，可以分成截然不同的兩大類：一類是確定性的現(xiàn)象。這類現(xiàn)象是在一定條件下，必定會(huì)導(dǎo)致某種確定的結(jié)果。舉例來(lái)說(shuō)，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100度，就必然會(huì)沸騰。又如，把鐵加熱到1530度的時(shí)候，必然會(huì)熔化成液態(tài)。事物間這種聯(lián)系是屬于必然性的。通常的自然科學(xué)各學(xué)科就是專門研究和認(rèn)識(shí)這種必然性，尋求這類必然現(xiàn)象的因果關(guān)系，把握它們之間的數(shù)量規(guī)律，以達(dá)到認(rèn)識(shí)世界和改造世界的目的。另一類是不確定性的現(xiàn)象。這類現(xiàn)象是在一定條件下，它的結(jié)果是不確定的。舉例來(lái)說(shuō)

2、，同一工人在同一車床上加工同一種零件若干個(gè)，它們的尺寸總會(huì)有些差異。又如，在同樣條件下，進(jìn)行小麥品種的人工催芽試驗(yàn)，各顆種子的發(fā)芽情況也不盡相同，有強(qiáng)弱和早晚之別等等。為什么在相同的一定條件下，會(huì)出現(xiàn)這種種不確定的結(jié)果呢？這是因?yàn)椋覀冋f(shuō)的“相同條件”是指一些主要條件來(lái)說(shuō)的，除了這些主要條件外，還會(huì)有許多次要條件和偶然性因素影響著結(jié)果。而這些次要的、偶然起作用的因素又是人們無(wú)法事先一一能夠掌握的。正因?yàn)檫@樣，我們?cè)谶@一類現(xiàn)象中，就無(wú)法用必然性的因果關(guān)系，對(duì)個(gè)別現(xiàn)象的結(jié)果事先作出確定的答案。事物間這種關(guān)系是屬于偶然性的，這種現(xiàn)象叫做偶然現(xiàn)象，或者叫做隨機(jī)現(xiàn)象。在自然界，在生產(chǎn)、生活中，隨機(jī)現(xiàn)象十

3、分普遍，也就是說(shuō)隨機(jī)現(xiàn)象是大量存在著的。比如：拿北京地區(qū)來(lái)說(shuō)，測(cè)量每年七月份的天氣平均氣溫，每年都各有差異，不完全相同，而且也不能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)來(lái)年七月份的平均氣溫。這樣，“北京七月份平均氣溫”就是隨機(jī)現(xiàn)象。又如，同一名工人，用同一臺(tái)車床在同一條件下(同材料、同一操作規(guī)程)加工一種標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度150毫米的零件等現(xiàn)象，也是隨機(jī)現(xiàn)象。因此，我們說(shuō)隨機(jī)現(xiàn)象就是：在同樣條件下，多次進(jìn)行同一試驗(yàn)或調(diào)查同一現(xiàn)象，所得結(jié)果不完全一樣，而且無(wú)法準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)下次所得結(jié)果的現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象這種結(jié)果的不確定性，是由于一些次要的、偶然因素影響所造成的。隨機(jī)現(xiàn)象表面上看來(lái)，似乎是雜亂無(wú)章的、沒(méi)有什么規(guī)律的現(xiàn)象。但實(shí)踐證明，如果同類

4、的隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)，它的總體就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。舉例采說(shuō)，擲一枚均勻的五分硬幣，有兩種可能性，一種是“國(guó)徽面”朝上，一種是“伍分面”朝上。每擲一次，很難斷定是哪種結(jié)果。但是如果多次重復(fù)地?cái)S這枚硬幣，就會(huì)越來(lái)越清楚地發(fā)現(xiàn)“國(guó)徽面”朝上的次數(shù)和“伍分面”朝上的次數(shù)大體相同這樣的規(guī)律性。在同樣條件下，同一名工人加工同一種零件，每一件的長(zhǎng)和標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)150毫米都有差異，但是如果檢驗(yàn)他所加工的許多同一零件的時(shí)候，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這些零件中比標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)150毫米大的件數(shù)和比標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)150毫米小的件數(shù)大體相同，而且和標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)相比，相差過(guò)大的占少數(shù)，相差不多的占多數(shù)。大量同類隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)的這種規(guī)律性，隨著我們觀察次數(shù)增多

5、而愈加明顯。我們把這種由大量同類隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來(lái)的集體規(guī)律性，叫做統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究大量同類隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。（2）概率論的產(chǎn)生和發(fā)展概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)，本來(lái)是由保險(xiǎn)事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來(lái)自賭博者的請(qǐng)求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論的一些特殊問(wèn)題的源泉。早在1654年，有一個(gè)賭徒梅累向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)使他苦惱了很久的問(wèn)題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰(shuí)先贏局就算獲勝，全部賭本就歸勝者。但是，當(dāng)其中一個(gè)人贏了局，另一個(gè)人贏了局的時(shí)候，賭博中止。問(wèn)賭本應(yīng)當(dāng)如何分法才合理？”三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數(shù)學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問(wèn)題，結(jié)果

6、寫成了論機(jī)會(huì)游戲的計(jì)算一書(shū)，這就是最早的概率論著作。近幾十年來(lái)，隨著科技的蓬勃發(fā)展，概率論大量應(yīng)用到國(guó)民經(jīng)濟(jì)、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及各學(xué)科領(lǐng)域。許多興起的應(yīng)用數(shù)學(xué)，如信息論、對(duì)策論、排隊(duì)論、控制論等，都是以概率論作為基礎(chǔ)的。概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)可以算作一門隨機(jī)數(shù)學(xué)分支，它們是聯(lián)系密切的同類學(xué)科，我們現(xiàn)在就是把它們合起來(lái)作為一門分支進(jìn)行介紹的。但是，應(yīng)該指出，概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)方法又各有它們自己所包含的不同內(nèi)容。概率論 是根據(jù)大量同類隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)某一結(jié)果的可能性作出一種客觀的科學(xué)定義，對(duì)這種出現(xiàn)的可能性大小作出數(shù)量上的描述；比較這些可能性的大小，研究它們之間的聯(lián)系，從而形成一整套數(shù)學(xué)理

7、論和方法。數(shù)理統(tǒng)計(jì) 是應(yīng)用概率的理論來(lái)研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，對(duì)通過(guò)科學(xué)安排的一定數(shù)量的試驗(yàn)所得到的統(tǒng)計(jì)方法給出嚴(yán)格的理論論證，并判定各種方法應(yīng)用的條件以及方法、公式、結(jié)論的可靠程度和局限性。使我們能從一組樣本來(lái)判定是否能以相當(dāng)大的概率保證某一判斷是正確的，并可以控制發(fā)生錯(cuò)誤的概率。統(tǒng)計(jì)方法 是以上提供的方法在各種具體問(wèn)題中的具體應(yīng)用，它不去注意這些方法的理論根據(jù)、數(shù)學(xué)論證。因而就有象森林統(tǒng)計(jì)學(xué)、紡織工業(yè)統(tǒng)計(jì)、教育統(tǒng)計(jì)、生物統(tǒng)計(jì)、天氣預(yù)報(bào)的統(tǒng)計(jì)方法等等。由于隨機(jī)現(xiàn)象在人類的實(shí)際活動(dòng)中大量存在，概率統(tǒng)計(jì)隨著現(xiàn)代工農(nóng)業(yè)、近代科技的發(fā)展而不斷發(fā)展，因而形成了許多重要分支。如：隨機(jī)過(guò)程(其中重要的有

8、“馬爾可夫過(guò)程”和“平衡過(guò)程”)、信息論、極限理論、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、多元分析等。概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用，在國(guó)民經(jīng)濟(jì)、自然科學(xué)各具體領(lǐng)域中又是非常廣泛的。如現(xiàn)代物理對(duì)微觀世界的研究、無(wú)線電通訊和導(dǎo)航、生產(chǎn)過(guò)程的質(zhì)量控制、氣象水文地震的預(yù)報(bào)、企業(yè)事業(yè)的管理、教育質(zhì)量的統(tǒng)計(jì)、地理、物理、化學(xué)、生物的研究都離不了這個(gè)方法。應(yīng)當(dāng)指出，概率統(tǒng)計(jì)在研究方法上也有它的特殊性，和其他學(xué)科不同的主要特點(diǎn)有下列幾點(diǎn)：第一，由于隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是一種集體規(guī)律，必須在大量同類隨機(jī)現(xiàn)象中才能呈現(xiàn)出來(lái)，所以，進(jìn)行觀察、試驗(yàn)、調(diào)查就是概率統(tǒng)計(jì)這門學(xué)科研究方法的基石。但是，要注意它作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支，也是具有本學(xué)科的定義、公理、定理的

9、。而這些定義、公理、定理也是確定的，不存在任何隨機(jī)性。只不過(guò)這些定義、公理、定理是來(lái)源于自然界的隨機(jī)現(xiàn)象罷了。第二，在研究概率統(tǒng)計(jì)中，使用的是“由部分推斷全體”的統(tǒng)計(jì)推斷方法。這是因?yàn)樗芯康膶?duì)象隨機(jī)現(xiàn)象的范圍是很大的，在進(jìn)行試驗(yàn)、觀測(cè)和調(diào)查的時(shí)候，不可能也不必要全部進(jìn)行，只能取其一部分(就是樣本)進(jìn)行試驗(yàn)、觀測(cè)。但是由這一部分資料所得出的一些結(jié)論，要去推斷在全體范圍(就是總體)內(nèi)這些結(jié)論的可靠性。第三，要特別指出，隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性，是指試驗(yàn)、調(diào)查之前來(lái)說(shuō)的。就是說(shuō)，隨機(jī)觀象是對(duì)于某一試驗(yàn)、調(diào)查之前，我們說(shuō)它可能出現(xiàn)不確定的結(jié)果。而真正做了試驗(yàn)之后，那么對(duì)于每一次試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，它只能得到這些不確定

10、的結(jié)果中的某一個(gè)確定結(jié)果。我們研究這一現(xiàn)象的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)注意在試驗(yàn)以前能不能對(duì)這一現(xiàn)象找出它本身的內(nèi)在規(guī)律。（3）概率論的內(nèi)容 概率論作為一門數(shù)學(xué)分支，它所研究的內(nèi)容一般包括隨機(jī)事件的概率、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性和條件概率、隨機(jī)變量、概率分布、正態(tài)分布和方差等等。至于概率論的一些分支，這里就不介紹了?，F(xiàn)在我們先介紹概率論最基本的一些概念和符號(hào)。隨機(jī)事件一般用大寫字母、等來(lái)表示，叫做事件、事件等。必然發(fā)生的事件，叫做必然事件，用符號(hào)表示。不可能發(fā)生的事件，叫做不可能事件，用符號(hào)表示。事件之間的相互關(guān)系，一般也用符號(hào)表示。比如，“+”表示事件和事件至少發(fā)生其中一件的事件。“·”表示事件和事件同時(shí)發(fā)生的

11、事件。事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，叫做互斥事件。如果事件是必然事件，而且和互斥，就把（或）叫做(或)的對(duì)立事件，并用符號(hào)表示成或如果個(gè)事件能夠滿足這樣的條件：彼此互斥，是必然事件，就是，那么，就把這個(gè)事件叫做完全事件系。概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的數(shù)量指標(biāo)。什么叫做概率呢？這里還要介紹其他幾個(gè)概念。如果隨機(jī)事件在次獨(dú)立重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)了次，那么，叫做事件在次試驗(yàn)中的頻數(shù)，叫做頻率。人們通過(guò)長(zhǎng)期試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)如果試驗(yàn)次數(shù)很大，頻率雖然仍有微小的波動(dòng)，但是比較明顯地穩(wěn)定在某一個(gè)固定的常數(shù)附近。這樣就得到結(jié)論：事件發(fā)生的頻率將穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)附近。我們就把常數(shù)叫做事件的概率。一般用符號(hào)表示成很明顯，必然事

12、件的概率是不可能事件的概率是也可以斷定，對(duì)于任何一件事件的概率一定介于0與1之間，也就是在實(shí)際中，有一類隨機(jī)現(xiàn)象，具有兩個(gè)特點(diǎn)：第一，只有有限個(gè)可能的結(jié)果(比如個(gè))；第二，各個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的。具有這兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)現(xiàn)象，叫做“古典概型”。對(duì)于古典概型，用不著做大量試驗(yàn)，只要確定事件包含了多少個(gè)可能的結(jié)果，比如是個(gè)，那么就可以得出下面的公式：如果事件和事件不可能同時(shí)出現(xiàn)，它們就叫互斥事件，互斥事件的概率有以下的公式：在計(jì)算基一事件的概率比較復(fù)雜的時(shí)候，可以間接地通過(guò)先計(jì)算它的對(duì)立事件的概率而求出事件的概率。這是因?yàn)橄嗷?duì)立的事件和事件顯然是互斥的，并且（）是必然事件。因此，那么，又可以得

13、到如果事件的發(fā)生或不發(fā)生并不影響事件的發(fā)生，反過(guò)來(lái)，事件的發(fā)生或不發(fā)生也不影響事件的發(fā)生，就把事件和事件叫做相互獨(dú)立事件。獨(dú)立事件的概率有下公式：在實(shí)際工作中，往往有一些更為復(fù)雜的問(wèn)題，比如，在某一事件已經(jīng)發(fā)生的條件下，要求事件發(fā)生的概率。這種概率就叫做條件概率。一般用符號(hào)記成。要求這條件概率，只要知道和就可以了。因?yàn)楦鶕?jù)這個(gè)公式，顯然有另一條件概率公式一般地，就有公式在某些情況下，給出了條件概率要求計(jì)算無(wú)條件概率，這時(shí)候就要用到全概率公式。比如，有個(gè)基本事件組成一個(gè)完全事件系，那么，對(duì)于任何事件，都有這就是全概率公式。如果把全概率公式代入條件概率公式：再把其中的用代換，就可得這個(gè)公式叫做貝葉

14、斯公式。它應(yīng)用廣泛，在解決一些復(fù)雜問(wèn)題的時(shí)候，常常要用到它。還有一類問(wèn)題的特點(diǎn)和其他問(wèn)題不同，它在每一次試驗(yàn)中不受其他各次試驗(yàn)的影響，它的結(jié)果也不依賴其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，也就是各次試驗(yàn)是獨(dú)立的，另外，事件和對(duì)立事件在同一次試驗(yàn)中，總要出現(xiàn)而且只能出現(xiàn)其中一件。遇到這類問(wèn)題，如果知道事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，一般就用貝努利公式可以求得在次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)次的概率。貝努利公式是在客觀世界中，存在大量隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)現(xiàn)象產(chǎn)生的結(jié)果構(gòu)成了隨機(jī)事件，這些前面已經(jīng)敘述了。那么，隨機(jī)現(xiàn)象的各個(gè)結(jié)果能不能用變量來(lái)描述呢？實(shí)踐證明，能夠用變量來(lái)描述，這就產(chǎn)生了新的概念，叫做隨機(jī)變量。隨機(jī)變量有“有限”和“無(wú)限”

15、的區(qū)分，一般又根據(jù)變量的取值情況分成離散型隨機(jī)變量和非離散型隨機(jī)變量等。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。如果可能的取值充滿了一個(gè)區(qū)間，無(wú)法按次序一一列舉，這種隨機(jī)變量就叫做非離散型隨機(jī)變量。怎樣全面描述離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律呢？這就要研究概率的分布。如果有隨機(jī)變量，它可能取的值是，而且取每一個(gè)值的概率分別是，列成表就是 概率 其中，這就是概率分布。在離散型隨機(jī)變量的概率分布中，比較簡(jiǎn)單而應(yīng)用廣泛的是二項(xiàng)式分布。二項(xiàng)式分布只適用于是一個(gè)確定的試驗(yàn)次數(shù)，如果重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)，而且(一個(gè)常數(shù))的時(shí)候，就不能用二項(xiàng)式分布了，在概率論中有一種分布，叫做泊松分布，泊松

16、分布的公式還附有數(shù)值表可以在計(jì)算時(shí)參考使用。如果隨機(jī)變量是連續(xù)的，那么對(duì)于每一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，都有一個(gè)分布曲線，實(shí)踐和理論都已證明：有一種特殊而常用的分布，它的分布曲線是有規(guī)律的，這就是正態(tài)分布。如下圖所示，正態(tài)分布曲線的特征是：可以表示成一條鐘，曲線 圖95有一個(gè)最高點(diǎn)，在這點(diǎn)兩邊對(duì)稱地下降。分布曲線取決于這個(gè)隨機(jī)變量的一些表征數(shù)，其中最重要的是平均值和差異度。平均值也叫做數(shù)學(xué)期望，差異度也就是標(biāo)準(zhǔn)方差。一般地，如果用表示隨機(jī)變量，它的概率分布是它的平均值就是那么，就是偏離的平方的總和，這個(gè)“偏離的平方總和的平均值”就叫做方差，記成這個(gè)式子的平方根就叫做標(biāo)準(zhǔn)方差。方差或者標(biāo)準(zhǔn)方差都刻畫了隨機(jī)

17、變量取值和平均值的接近程度，所以也叫做離散度。方差越小，說(shuō)明隨機(jī)變量取值的差異越小，它的平均值代表性越強(qiáng)。（4）數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容數(shù)理統(tǒng)計(jì)包括抽樣、適線問(wèn)題、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、相關(guān)分析等方面的內(nèi)容。我們對(duì)一個(gè)研究對(duì)象進(jìn)行調(diào)查或者試驗(yàn)的時(shí)候，雖然全面調(diào)查是最完善的，但是有很多研究對(duì)象不允許這樣做，有時(shí)候這樣做也是不必要的，特別是有許多調(diào)查和試驗(yàn)是帶有破壞性的，全面調(diào)查和試驗(yàn)就更不可能了。比如，工業(yè)上要檢查燈泡的耐用時(shí)間，就要把燈泡燒掉，如果全面試驗(yàn)就要把所生產(chǎn)的燈泡都燒掉。又比如，農(nóng)業(yè)上要在小麥沒(méi)有成熟前估計(jì)產(chǎn)量，就要把小麥?zhǔn)諄?lái)對(duì)它的株數(shù)、穗數(shù)、粒數(shù)、粒重進(jìn)行計(jì)算，如果全面調(diào)查，就要把小麥全收割下

18、來(lái)。這些都是不允許的。因此，調(diào)查只能用“抽查一部分”進(jìn)行試驗(yàn)的方法。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中這種方法就叫做抽樣，抽出的部分叫做子樣或者叫做樣本。被檢查對(duì)象的全體相對(duì)于子樣來(lái)說(shuō)就叫做母體，也叫做總體。抽樣檢查是要通過(guò)對(duì)子樣的調(diào)查，來(lái)推斷總體的全面情況。究竟抽多少合適，這是十分重要的。抽多了會(huì)浪費(fèi)物資、人力和時(shí)間，抽少了代表性又不大。因此，在抽樣檢查中就生產(chǎn)了“小子樣”理論，這是一種在子樣很小的情況下，進(jìn)行分析判斷的理論。適線問(wèn)題也叫做曲線擬合。在實(shí)際中，有些問(wèn)題需要根據(jù)積累的一些經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)求出理論分布曲線，從而對(duì)整個(gè)問(wèn)題得到了解。這樣就要遇到：根據(jù)什么原則求出理論分布曲線？有時(shí)候同一問(wèn)題中可以求出幾種不同的

19、曲線，如何比較各種曲線的優(yōu)劣？如果選配好曲線以后，又怎樣判斷它和理論分布的真值相差多少呢？這些問(wèn)題，就屬于數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的適線問(wèn)題。假設(shè)檢驗(yàn)是指在用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)產(chǎn)品的時(shí)候，先作出一種假設(shè)，這個(gè)假設(shè)是我們初步希望了解的數(shù)值，叫做原假設(shè)。再根據(jù)抽樣觀察的結(jié)果在一定可靠程度上對(duì)原假設(shè)來(lái)作出判斷，是接受或者拒絕原假設(shè)。這種方法就叫做假設(shè)檢驗(yàn)。方差分析也叫做離差分析。在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，會(huì)遇到生產(chǎn)過(guò)程不穩(wěn)定，但是找不出原因的情況，這樣就需要進(jìn)行試驗(yàn)來(lái)判斷哪些因素在起作用。或者改變生產(chǎn)條件的時(shí)候，判斷對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量影響比較大的是哪些因素。方差分析就是用方差的概念去分析由少數(shù)試驗(yàn)就可以作出的判斷。根據(jù)觀察某些現(xiàn)象所

20、得的一組資料，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，確定現(xiàn)象的某些量之間相關(guān)程度的大小以及用怎樣的函數(shù)關(guān)系相聯(lián)系，叫做相關(guān)分析。我們知道方差分析可以指出哪些因素有比較大的影響，哪些因素沒(méi)有影響，但是不能指出某一因素的影響程度。相關(guān)分析的理論解決了這個(gè)問(wèn)題，它不僅可以定性地指出哪些因素有密切的關(guān)系，而且可以定量地指出這些因素之間量的變化關(guān)系。十二、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的某些特點(diǎn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)，指的是本世紀(jì)40年代以后發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)。在這里只舉出一些比較明顯的特點(diǎn)，不作全面的論述。這些特點(diǎn)簡(jiǎn)單地說(shuō)是：計(jì)算機(jī)科學(xué)的形成，應(yīng)用數(shù)學(xué)出現(xiàn)眾多的新分支，純粹數(shù)學(xué)有若干重大的突破。純粹數(shù)學(xué)或基礎(chǔ)理論和應(yīng)用數(shù)學(xué)從來(lái)就沒(méi)有嚴(yán)格的界限，大體上說(shuō)，純粹數(shù)學(xué)是

21、數(shù)學(xué)的這一部分，它暫時(shí)不考慮對(duì)其他知識(shí)領(lǐng)域或生產(chǎn)實(shí)踐上的直接應(yīng)用當(dāng)然這并不意味著它沒(méi)有用。它象一棵樹(shù)的根，在長(zhǎng)期的生長(zhǎng)中發(fā)揮著巨大的作用。它間接地推動(dòng)有關(guān)學(xué)科的發(fā)展或者在若干年后才發(fā)現(xiàn)其直接應(yīng)用，這在歷史上是屢見(jiàn)不鮮的。而應(yīng)用數(shù)學(xué)，可以說(shuō)是純粹數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)之間的橋梁。40年代以后，涌現(xiàn)出大量新的應(yīng)用數(shù)學(xué)科目，內(nèi)容的豐富，應(yīng)用的廣泛，名目的繁多，都是史無(wú)前例的，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)一個(gè)很顯著的特點(diǎn)。下面舉一些例子。對(duì)策論 由于戰(zhàn)爭(zhēng)與軍事的需要，形成了對(duì)策論。對(duì)策論是關(guān)于斗爭(zhēng)的數(shù)學(xué)，它主要是用數(shù)學(xué)方法研究在競(jìng)爭(zhēng)(包括戰(zhàn)爭(zhēng)、競(jìng)技、比賽，也包括人與自然的斗爭(zhēng))中是否存在制勝對(duì)方的最優(yōu)策略以及如何找到這些策略

22、等問(wèn)題。對(duì)策論的始祖可以說(shuō)是我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的遜臏。但真正形成一門獨(dú)立的學(xué)科，應(yīng)以1944年馮·諾伊曼、摩根斯特恩合著的對(duì)策論與經(jīng)濟(jì)行為的奠基性工作為標(biāo)志。馮·諾伊曼是原籍匈牙利的美國(guó)人，在點(diǎn)集論、算子理論、連續(xù)群論以及第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)與核武器的研制等方面都有重要貢獻(xiàn)。規(guī)劃論 由于物資運(yùn)輸?shù)男枰a(chǎn)生了規(guī)劃論。它主要研究計(jì)劃管理工作中有關(guān)安排和估值的問(wèn)題。包括線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃等分支，1939年蘇聯(lián)康特洛維奇的生產(chǎn)組織與計(jì)劃中的數(shù)學(xué)方法是這方面的早期著作。西方最早的系統(tǒng)著作有查恩斯、庫(kù)伯、漢特遜的線性規(guī)劃概論。排隊(duì)論 排隊(duì)論也叫隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論或公用事業(yè)理論中

23、的數(shù)學(xué)方法。公用事業(yè)經(jīng)常出現(xiàn)排隊(duì)的現(xiàn)象，如等公共汽車、等買東西、等打電話等。服務(wù)機(jī)構(gòu)太多會(huì)造成浪費(fèi)，太少不能滿足要求。在滿足要求的條件下使服務(wù)機(jī)構(gòu)花費(fèi)最少，這是排隊(duì)論研究的目的。最早起源于愛(ài)爾朗對(duì)電話系統(tǒng)的研究。以后有波拉切克、辛欣、巴姆等人的工作。最優(yōu)化方法 最優(yōu)化問(wèn)題大量出現(xiàn)在工程技術(shù)、國(guó)防科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及工商業(yè)貿(mào)易等部門中。怎樣在給定的條件下，充分利用現(xiàn)有的人力物力，使得完成某一項(xiàng)工作最快最省或質(zhì)量最好，這都是最優(yōu)化問(wèn)題。它的產(chǎn)生，以約翰1948年的文章以不等式作附加條件的極值問(wèn)題為起點(diǎn)。優(yōu)選法和統(tǒng)籌法是最優(yōu)化方法的一部分，近年來(lái)在華羅庚教授的倡導(dǎo)下曾在國(guó)內(nèi)推廣統(tǒng)籌法的推廣。從1964

24、年開(kāi)始，優(yōu)選法從1970年開(kāi)始，取得很大的成績(jī)。優(yōu)選法中的0618法是美國(guó)的基弗在1953年提出的。統(tǒng)籌法原來(lái)叫做“關(guān)鍵路線法”，又叫做“計(jì)劃評(píng)審法”。后來(lái)我國(guó)統(tǒng)稱統(tǒng)籌法。運(yùn)籌學(xué) 二次大戰(zhàn)期間，英、美都發(fā)明了一些新武器如雷達(dá)等，但武器的使用卻落后于武器的制造，特別在反法西斯?jié)撏Ш涂諔?zhàn)中，當(dāng)時(shí)集中了許多科學(xué)家研究了這些問(wèn)題，取得一定的成果，以后定名為運(yùn)籌學(xué)。它包括前面提到的對(duì)策論、規(guī)劃論、排隊(duì)論、最優(yōu)化方法，還有質(zhì)量控制、抽樣檢查等分支。它現(xiàn)在還在不斷地發(fā)展，所以很難劃定它的范圍。1957年，在英國(guó)牛津成立了國(guó)際運(yùn)籌學(xué)會(huì)，會(huì)員已有好幾萬(wàn)。我國(guó)“運(yùn)籌學(xué)”的名稱，是1964年才確定的，“運(yùn)籌”一詞，出自“運(yùn)籌策帷幄之中，決勝于千里之外。信息論 所謂“信息”，是指對(duì)接受者來(lái)說(shuō)是預(yù)先不知道的報(bào)道或情報(bào)，利用數(shù)學(xué)方法研究信息的計(jì)量、傳送、變換和儲(chǔ)存等，就是信息論。謝農(nóng)是信息論的先驅(qū)者。他在貝爾電話研究所工作，1948年開(kāi)始提出相當(dāng)完善的信息論，以后得到迅速的發(fā)展?？刂普?二次大戰(zhàn)開(kāi)始時(shí)，維納和當(dāng)時(shí)哈佛