武漢大學彈塑性力學課程習題集答案

1、應力解平衡方程：，幾何方程：，物理方程：，邊界條件1、如圖所示的楔形體受水壓力作用，水的容重為g，試寫出邊界條件解：在x=0上，l= -1，m =0， (sx )x=0× (-1) +(tyx)x=0×0 = gy (txy)x=0× (-1) +(sy)x=0×0 = 0 (sx)x=0=gy (txy)x=0× 在斜邊上 l= cosa，m = -sina sx cosa - tyx sina = 0 txycosa -sy sina = 02、半無限空間體受均布荷載作用根據(jù)問題的對稱性，位移應只是z的函數(shù) uz=w(z)體積應變是代入平衡

2、微分方程 ，應力是，應用邊界條件求待定常數(shù)：l=m=0，n=1，邊界條件是：szïz=0=q得A=q/rg ，B代表剛度位移，應由位移邊界條件確定3、用應力函數(shù)j=dxy+bxy 求解懸臂梁一端受集中力作用下問題的應力解（不考慮體積力）。解：（1）顯然滿足變形協(xié)調方程（2）滿足靜力邊界條件由應力函數(shù)求應力分量， （a）邊界條件：在處， （b） （a）代入（b）得： （c）在x=0的邊界（l = -1，m = 0）上，力邊界條件要求，應用圣維南原理近似滿足： （d）聯(lián)立（c）和（d）得， （e）將（e）代入（a）并由，得，sy = 0 ，4、簡支梁收均勻分布荷載作用，梁高度h，跨度2L

3、，試求應力分量和跨中撓度設y僅是y的函數(shù)，y=f(y)，即，得代入協(xié)調方程得，對于-LxL，上面方程都成立，所以=0，=0，=0積分得： f(y)=Ay3+By2+Cy+D， f1(y)=Ey3+Fy2+Gy+R， 因此得： 由x，y，是x的偶函數(shù)，xy是x的奇函數(shù)得：E=F=G=0上下邊界條件：，將x，y，xy代入得A=2q/h3 ，B=0，C=3q/2h，D=q/2由對稱性，兩端邊界條件：，由圣維南原理， ， 將x，y，xy代入得 ，K=0，將以上常數(shù)代入x，y，xy得出應力解為，其中，RITZ法1.假定矩形板支承與承受荷載如圖所示， 試寫出撓度表示的各邊邊界條件：解：簡支邊OC的邊界條件

4、是：自由邊AB的邊界條件是：，兩自由邊的交點B：是點支座的被動反力。2.如右圖所示，矩形板在四個角點作用分別作用大小為F的集中力，其中A點和C點的集中力向上，B點和D點的集中力向下，四條邊均為自由，求板的撓度。解：板邊的邊界條件為：，4個角點的邊界條件均為：由于橫向分布荷載，因此基本微分方程變?yōu)椋杭俣ㄗ鴺藞A點的撓度為零，上式的解是式中的是待定常數(shù)。使用則有：，顯然板邊的邊界條件能自然滿足，為滿足角點的邊界條件，應有，因此得：撓度解就是：3. 設矩形薄板的邊長分別為和，四邊固支，受垂直于板面的橫向均布荷載作用，設彎曲撓度為其中是待定系數(shù)。試證明它滿足所有邊界條件。解：在板的固定端，撓度和轉角為零

5、。顯然：滿足故滿足所有的邊界條件。1用Ritz 法求解簡支梁在均布荷載作用下的撓度（位移變分原理）步驟：（1）設撓度的試驗函數(shù) w(x) = c1x(l-x)+c2x2(l2-x2)+顯然，該撓度函數(shù)滿足位移邊界w(0) = 0，w(l) = 0。（2）求總勢能僅取位移函數(shù)第一項代入，得（3）求總勢能的極值 代入撓度函數(shù)即可2設變長為a的正方形薄板，四邊均固定，受均布橫向荷載q作用，求板彎曲內力（應力變分原理）步驟：對于線彈性力學問題，應變余能與應變相等，本題位移邊界位移均為零，因此外力余勢能為0. 總余勢能用內力表示 （1）所設內力試驗函數(shù)應滿足平衡方程和力邊界條件。本問題沒有力邊界，僅需滿

6、足平衡方程 設 （2）滿足平衡方程代入（1）求出總余勢能。使用，得代入（2）得彎矩3 一邊固定三邊自由的薄板，三自由邊受均布剪應力作用，不計體力，設位移分量基于位移變分原理求薄板位移 所設位移滿足邊界條件 對于平面問題，應變能 ，將本構方程代入，并將應變分量用位移分量表示，得僅取第一項作為近似位移解，代入上式得板的上邊 下邊 右邊的力邊界條件是； 外力勢總勢能 由，代入位移公式的位移4 正方形薄板，三邊固定另一邊受均勻壓力q作用，應力函數(shù)取為，基于應力辯分原理Ritz 法求解（v=0.3）步驟：有應力函數(shù)求得應力，滿足力邊界條件，一定滿足平衡方程。由于位移邊界已知位移為0，外力余勢能為0，總余

7、勢能就是應變余能，平面應力與線彈性情況下，應變余能為，將應變由應力表達得,將所求應力代入方程，求,即得應力路徑求應變1.已知材料在單軸拉伸時的應力應變關系為 （a）若采用Mises等向硬化模型，求該材料在純剪時的表達式。解 （1）求塑性模量。使用上式，得塑性應變與應力的關系為它就是任意加載路徑下的等效應力與累積塑性應變的關系，因此有 (b)上式兩邊取增量，再代入式，得 （2）在1、2方向施加剪應力，使之處于純剪狀態(tài)，使用正交流動法則，則產生的塑性剪應變增量應該是 (c)對于純剪的加載情況，加載過程中任意瞬間的應力狀態(tài)和應力增量分量為如下 對于Mises等向硬化模型，將式代入式（c）,并代入上述

8、分量，得由于，而在加載過程中，上式化簡得加上彈性應變后，有最后可得2 薄壁圓管受拉與扭轉作用，材料單拉時的應力應變關系為試按以下三種加載路徑達到最后應力狀態(tài)，分別求其對應產生的應變ez與gqz(1) 首先沿z軸加載至sz=ss，并保持sz不變，然后再增加剪應力至tqz=ss/Ö3；(2) 先增加剪應力至tqz=ss/Ö3，并保持tqz不變，然后再增加拉應力至sz=ss；(3) 比例加載，按sz:tqz=Ö3:1增加應力至sz=ss，tqz=ss/Ö3。解：（1）求塑性模量：在單軸應力狀態(tài)下， 彈性應變是 。而塑性應變是 塑性模量應是 （2）加載判別：當應

9、力狀態(tài)達到初始屈服后，下一步應力增量是否產生塑性變形，取決于 (¶f/s¶ij) dsij是否大于零。該題各路徑下的應力狀態(tài)偏量均可表示為： sz= sz，sx= sy = - sz，sqz= szq=tqz，由于sz、dsz同號，tq、dtqz同號，因此，（3）使用流動法則求塑性變形 （4）按上述路徑進行積分，塑性變形 路徑（1）：sz=ss，材料屈服，再增加剪應力dtqz¹0，dsz=0， 路徑（2）：當剪應力tqz=ss/Ö3，材料屈服，增加應力sz，即dsz ¹0，dtqz=0，tqz=ss/Ö3 路徑（3）：在加載中sz =

10、 Ö3tqz，sz=ss/Ö2材料屈服，且dsz = Ö3dtqz， 塑性變形與加載路徑有關 三種應力路徑下的彈性應變都是 3若材料為Mises硬化材料，已知它在純剪作用下的剪應力與塑性剪應變關系為。且已知其剪切屈服應力為，試寫出塑性模量和加載面的表達式。解：Mises材料的加載面方程可寫成如取內變量為累積塑性應變，則上式變?yōu)榧兗魻顟B(tài)下的等效應力為因為 所以 加載面的方程為4已知某材料在純剪作用下應力應變關系如圖所示，彈性剪切模量為G，Poisson比為，剪切屈服極限為，進入強化后滿足。若采用Mises等向硬化模型，試求（1）材料的塑性模量（2）材料單軸拉伸下的應

11、力應變關系。解：（1）因為 所以 （2）彈性階段。 因為，所以由于是單軸拉伸，所以 塑性階段。 屈服條件1.巖土材料處于平面應力狀態(tài)，一點的應力分量為，假設為中主應力，試：（1）使用已知應力分量寫出Mohr-Coulumb屈服條件的具體表達式。（2）應用關聯(lián)流動法則寫出塑性應變增量的表達式，并寫出塑性體積應變增量。（3）討論流動關聯(lián)法則對巖土材料是否合適，并指出為什么？（提示：用主應力表示的Mohr-Coulumb屈服條件為：）解：（1）根據(jù)應力狀態(tài)求出主應力大小。，根據(jù)，解得主應力大小為分別為，將以上三個主應力代入，即得。（2），塑性體積應變?yōu)椋?）不合適，因為巖土材料的體積變形并非與靜水壓

12、力無關，而且其塑性體積也并不是保持不變的。（個人理解）有一受內水壓p和軸向力共同作用的薄壁圓筒，內半徑為r，壁厚為t，若圓筒保持直徑不變，只產生軸向伸長，假設材料是不可壓縮的，在忽略彈性變形的情況下，試求圓筒達到塑性狀態(tài)時需要多大的內水壓力。解：直徑不變，則環(huán)向應變，軸向伸長靠薄壁圓筒變薄實現(xiàn)，個應變分量為或將上述應變狀態(tài)代入Levy-Mises流動理論在這里，Mises屈服條件可表示為將偏應力分量之間的關系代入上式，得偏應力為設平均體積應力為，則應力分量為在本題中，因此有在內水壓力作用下，最后2.薄壁圓筒平均半徑為R，壁厚為t，軸線方向為z，軸部受軸向拉力T和扭矩M共同作用，材料的彈性模量為

13、E，剪切模量為G，拉伸屈服條件為。試：寫出單位體積彈性應變能的表達式；分別寫出Mises以及Tresca屈服條件的具體表達式；使用Mises屈服條件給出：軸向拉力T和扭矩M滿足何種關系時，圓筒處于加載狀態(tài)。解：應力狀態(tài)為，根據(jù)=0得出其三個主應力分別為，第一不變量，第二不變量單位體積應變能，將，代入此式即可。其中，化簡此式得（2）Mises屈服條件為，代入即得。Tresca屈服，將代入即得。（3）不會，別人的答案。時加載，反之卸載，上式等于零時中性變載。3.一處在平面應變狀態(tài)下（）的理想剛塑性體，其材料的應力應變關系服從Levy-Mises增量理論，即，且材料體積是不可壓縮的，考察其中的一個微單元體，試證明：（1）其應力狀態(tài)分量可分解為靜水壓力狀態(tài)與純剪應力狀態(tài)