正交變換的等價(jià)條件及其應(yīng)用

1、目 錄1引言2正交變換的定義及其等價(jià)條件2.1定義2.2等價(jià)條件3正交變換的應(yīng)用3.1化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形3.2解不變子空間相關(guān)問題3.3求解矩陣問題3.4求解歐氏空間中其它相關(guān)問題3.5在積分中的應(yīng)用4結(jié)束語參考文獻(xiàn)致謝語正交變換的等價(jià)條件及其應(yīng)用數(shù)學(xué)系2013級(jí)1班 許鵬指導(dǎo)教師：陳金梅摘 要: 正交變換在大學(xué)學(xué)習(xí)中是一個(gè)重要的概念,例如在代數(shù)中,它涉及到了線性代數(shù)中一大部分的基本概念,如矩陣、向量、線性變換、標(biāo)準(zhǔn)正交基等,深入探討研究這個(gè)課題對(duì)學(xué)好高等代數(shù)和線性代數(shù)十分有幫助.不僅如此,它在其他的領(lǐng)域也有著大范圍的普及,如在積分的應(yīng)用中,在多重積分的方面。本文首先敘述了正交變換的最基礎(chǔ)的概念

2、,從它的定義開始,探究它在代數(shù)書中的一些特點(diǎn)和求解過程,主要就正交變換進(jìn)行探索研究,得出它的幾種等價(jià)條件,為了體現(xiàn)它的重要作用,我們將做一些例證,舉例說明它的價(jià)值。關(guān)鍵詞:正交變換;標(biāo)準(zhǔn)正交基;內(nèi)積;正交矩陣。Equivalent Conditions of Orthogonal Transformation and Their ApplicationsXu pengClass 1, Mathematics DepartmentTutor:Chen JinMeiAbstract: Orthogonal transformation is an important concept in univ

3、ersity learning. For example, in algebra, it involves a basic concept of a large part of linear algebra, such as matrix, vector, linear transformation, standard orthogonal basis, and so on. It is very helpful to learn higher algebra and linear algebra, and it is also popular in other fields, such as

4、 in the application of integral points, in the case of multiple points. This paper first describes the most basic concept of orthogonal transformation, from its definition, to explore its characteristics in the algebra of the book and the process of solving the main orthogonal transformation to expl

5、ore the study, to obtain several of its equivalent conditions , In order to reflect its important role, we will do some examples, exemplify its value.Key words: Orthogonal transformation; standard orthogonal basis; inner product; orthogonal matrix.1引言我們熟知的正交變換在某些領(lǐng)域有著巨大作用，例如，近代數(shù)學(xué)，尤其是對(duì)科學(xué)技術(shù)。一些分析問題的出現(xiàn)，使

6、得它應(yīng)該對(duì)其做出數(shù)學(xué)的研究和探討，其中代數(shù)方法有其顯著意義。該方法應(yīng)用一些問題之后，使其求解過程化繁為簡，容易理解，易于解決。該變換在求解中時(shí)常用到，尤其在近代數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛。 在我們認(rèn)識(shí)的歐幾里得空間中，一提到正交變換，大家都會(huì)想到它是線性變換，特點(diǎn)是向量長度不變，換句話說也就是向量內(nèi)積是恒定的。在幾何中，它有自己獨(dú)特的定義，即每個(gè)點(diǎn)與每個(gè)點(diǎn)的長度固定，當(dāng)然了，它還是變換的一種。除此之外，由于內(nèi)積可以采用其他的方法得出結(jié)果，比如長度和夾角，所以，正交變換的描述途徑也多種多樣。數(shù)字中的聯(lián)系十分緊密，比如正交基與矩陣，還有二次型，正是由于它們之間不可分離的聯(lián)系，才有了等價(jià)條件，甚至于在高等代數(shù)的

7、一些方面，打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，為研究提供了方便。在盧聯(lián)聯(lián)，朱世平的論文中闡述了正交變換的定、性質(zhì)及它的等價(jià)刻畫。對(duì)該變換在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用也有簡單介紹。在正交變換的幾個(gè)等價(jià)條件中高偉探討并詳細(xì)敘述該變換的等價(jià)刻畫。謝蜀忠在正交變換的若干應(yīng)用中作以例證，對(duì)其應(yīng)用進(jìn)行深入的探究總結(jié)。該變換是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)關(guān)鍵結(jié)點(diǎn)，而代數(shù)與幾何形象而緊密的聯(lián)系，讓學(xué)生理解更加深刻。因此，本文在眾多學(xué)者對(duì)其討論與研究的基礎(chǔ)上，深層次的思考、探索該變換的等價(jià)條件，較為詳細(xì)的介紹歸納了其在數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域的應(yīng)用。2正交變換的定義及其等價(jià)條件2.1定義定義1 ：。如果 則稱為空間的一個(gè)線性變換。定義2 ：,則稱為正交矩

8、陣定義3 ：若基 是的一個(gè)基，如果且都是，則稱是的一個(gè)。定義4在代數(shù)書中,若一個(gè)變換每個(gè)點(diǎn)與每個(gè)點(diǎn)的長度固定,則稱它是正交變換。在歐氏空間中，假定歐式空間的為，如果它，即對(duì)于任意的，都有.定義5 ：假定是上的,是的一個(gè).如果中的在下的像仍屬于中，對(duì)于中任一向量，有，則稱是的。定義6 正交補(bǔ)：若滿足下面的條件則稱為的正交補(bǔ)。2.2等價(jià)條件定理1，:（1）是;（2）保正向量的長度不發(fā)生變化，則對(duì)于;（3）若是，則也是;（4）在任一組下的.證明如果是正交變換，那么兩邊開方即得反過來，如果保持向量的長度不變，那么，把最后的等式展開即得再利用前兩個(gè)等式，就有這就是說，是正交變換.設(shè)是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，即如

9、果是正交變換，那么這就是說，是標(biāo)準(zhǔn)正交基.反過來，如果是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么由與即得因而是正交變換.設(shè)在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為，即如果是，那么可以看作由正交基到的，因而是正交矩陣.反過來，如果是正交矩陣，那么就是.這樣，我們就證明了（1），（2），（3），（4）的等價(jià)性.3正交變換的應(yīng)用3.1化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理2 任意一個(gè)實(shí)二次型都可以經(jīng)過正交的線性替換變成平方和.例1 設(shè)二次型，試這把它轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形，并寫出所做的正交變換.解 設(shè)此二次型的矩陣為，則=計(jì)算可得，所以的特征值為當(dāng)時(shí)，得線性無關(guān)的特征向量當(dāng)時(shí)，得線性無關(guān)的特征向量將它們單位化，得令，則為正交矩陣，于是作正交變換所求標(biāo)準(zhǔn)形為.例2 用正

10、交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型解：二次型矩陣由當(dāng)時(shí)，解方程. 對(duì)做初等變換屬于1的為將正交化 ，將單位化當(dāng)時(shí)，令 則正交變換在于轉(zhuǎn)化二次型方面有著特殊的作用和意義，比配方法要簡單、準(zhǔn)確。3.2解不變子空間相關(guān)問題 例3 證明:，那么的的也是的.證明 設(shè)是的任意一個(gè)不變子空間，取為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，把它擴(kuò)充成的一組，那么因?yàn)闉?，所以也是，又由于是的不變子空間，所以是的一組，而，任取，那么故是的不變子空間.3.3求解矩陣問題例4 對(duì)于的線性變換.證明:若是，則是正交變換.證 對(duì)任意，當(dāng)時(shí)正交矩陣時(shí)，有可見是正交變換.3.4求解歐氏空間中其它相關(guān)問題例5 ，定義.證明：(1)是正交變換，這樣的正交變換成為鏡

11、面反射；(2) 是第二類的.證:(1)對(duì)歐式空間中任意元素和實(shí)數(shù)有所以是線性的，又有因?yàn)?，所?故為正交變換.(2) 由于是單位向量，將它擴(kuò)充成空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基由于于是因?yàn)椋允堑诙惖?例6 求證:證明 設(shè)是歐氏空間的一個(gè)變換，滿足只要證明:是的線性變換，那么由的等價(jià)條件即證.，有= = = 所以.即有 同理，由，可證 由，即證是的線性變化，又保持內(nèi)積不變，從而是的正交變換.例7設(shè)是維歐氏空間中一個(gè)單位向量，定義 證明:是第二類（行列式等于）的正交變換.證 先證是的線性變換.由有.于是是線性變換.由是單位向量，從出發(fā)擴(kuò)大為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則由知. 其中為正交矩陣，故是正交變換.再由知

12、是第二類正交變換.3.5在積分中的應(yīng)用在我們熟知的多元函數(shù)積分中在某些數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有著重大的影響，它的換元法在一些計(jì)算中作用巨大，例如在積分的計(jì)算里。而換元的意義是為了把被積分的函數(shù)變得易于計(jì)算，或者是使積分這一部分變得簡單、容易理解和轉(zhuǎn)化，但換元具有不確定性,并對(duì)于使用者會(huì)有一定的挑戰(zhàn)，所以在把新的積分變量帶入到式子中時(shí)，我們一定要同一時(shí)間照顧到被積函數(shù)和積分區(qū)域的變化和性質(zhì).例8：對(duì)于上連續(xù)函數(shù),有證明: 若，原式= 等式顯然成立，因此可設(shè),把單位向量擴(kuò)充成一正交矩陣 作正交變換而 ，變?yōu)?，由上式得于是由三重積分變數(shù)替換公式得：所以=4結(jié)束語本文主要介紹這個(gè)大方向下的等價(jià)條件，其中融入了許

13、多知名學(xué)者的豐富經(jīng)驗(yàn)與結(jié)果，對(duì)有關(guān)的計(jì)算與應(yīng)用做了進(jìn)一步的探索與深入學(xué)習(xí)，讓我們從多方面認(rèn)識(shí)到了正交變換的重要程度，從而為它在實(shí)際應(yīng)用的推廣奠定了可靠的學(xué)術(shù)基礎(chǔ)。參考文獻(xiàn)1盧聯(lián)聯(lián)、朱世平.正交變換的等價(jià)刻劃及應(yīng)用J.林區(qū)教學(xué),2014,203(2):79-80.2李秀英.關(guān)于正交變換的定義及其幾個(gè)等價(jià)命題J.通化師院學(xué)報(bào),1998,(6):32-35.3游家樺.正交變換在積分中的應(yīng)用J.貴陽金筑大學(xué)學(xué)報(bào),2003,51(3)：102-1044北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第3版)M.北京: 高等教育出版社,20035李炯生,查建國,王新茂.線性代數(shù)(第2版)M.合肥:中國科技大學(xué)出版社， 20106楊永保 正交變換的兩個(gè)等價(jià)條件的分析J.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)報(bào)）.2006(02)7高偉.正交變換的幾個(gè)等價(jià)條件J.南通紡織職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2008(06).8張力宏等.歐式空間中正交變換的幾個(gè)等價(jià)條件J.松遼學(xué)刊,1997,10(3):37-399謝蜀忠.正交變換的若干應(yīng)用J.天津職業(yè)技術(shù)師院,1994,2(45):158-159.10林元重.正交變換在曲線、曲面積分中應(yīng)用 J.數(shù)學(xué)通報(bào)1996(12);145147.致謝語本人的學(xué)位論文是在我的導(dǎo)師陳金梅老師的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的。她嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，