正余弦定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型分析

1、正弦定理和余弦定理（一）正弦定理：其中是三角形外接圓半徑.a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC（二）余弦定理： 由此可得：注：A是鈍角；=A是直角；A是銳角；（三）三角形面積公式：（1）題型一：正余弦定理的基本應(yīng)用：（四種題型：）（1）已知兩角一邊用正弦定理；（2）已經(jīng)兩邊及一邊對(duì)角用正弦定理；（3）已知兩邊及兩邊的夾角用余弦定理；（4）已知三邊用余弦定理例1、在中，已知求例2已知下列各三角形中的兩邊及一角，判斷三角形是否有解，并作出解答（1） （2）（3） （4）例3（1）在中，已知，則A= ；（2）若ABC的周長(zhǎng)等于20，面積是，60°，則邊= （3）、已知銳

2、角三角形的邊長(zhǎng)分別為2、3、，則的取值范圍是= （4）在ABC中，已知，則= 題型二：判斷三角形的形狀例4（1）在中，若試判斷的形狀。（2）在中，若試判斷的形狀。例5（1）在中，已知，且，判斷三角形的形狀；（2）在中，且，判斷其形狀；例、已知關(guān)于的方程的兩根之和等于兩根之積的一半，則一定是 （ ）（A）直角三角形（B）鈍角三角形（C）等腰三角形（D）等邊三角形.題型三：三角形的面積的問(wèn)題例6、（1）已知中， ，, 求、及外接圓的半徑。（2）在中，已知 （）求角； （）若，的面積是，求題型四、正余弦定理的綜合應(yīng)用1、在中，角的對(duì)邊分別為，.k.（）求的值；（）求的面積2、設(shè)的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的

3、邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且a cosB=3，b sinA=4（）求邊長(zhǎng)a；（）若的面積，求的周長(zhǎng)高考題一、求解斜三角形中的基本元素是指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問(wèn)題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長(zhǎng)等基本問(wèn)題例1(2005年全國(guó)高考江蘇卷) 中，BC3，則的周長(zhǎng)為（ ）A BC D例2(2005年全國(guó)高考湖北卷) 在ABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀例3(2005年北京春季高考題)在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形三、 解決

4、與面積有關(guān)問(wèn)題主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來(lái)解題例4(2005年全國(guó)高考上海卷) 在中，若，則的面積S_四、求值問(wèn)題例5(2005年全國(guó)高考天津卷) 在中，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，設(shè)滿足條件和，求和的值例6、（06全國(guó)卷I）的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則A B C D五、正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：（一.）測(cè)量問(wèn)題圖1ABCD例7 如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得CAB=30°，CB

5、A=75°，AB=120cm，求河的寬度。1。解：，由正弦定理，。例1.分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出bc，則周長(zhǎng)為3bc而得到結(jié)果 解：由正弦定理得：， 得bcsinBsin(B)故三角形的周長(zhǎng)為：3bc，D例2. 解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE/AB，且，設(shè)BEx在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，從而，即又，故，例3. 解法1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，得sin(AB)0，得AB故選(B)解法2：由題意，得cosB，再由余弦定理，得cosB ，即a2b2，得ab，故選(B)評(píng)注：

6、判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)例4. 分析：本題只需由余弦定理，求出邊AC，再運(yùn)用面積公式SABACsinA即可解決解：由余弦定理，得cosA，解得AC3 SABACsinA ABACsinAACh，得hAB sinA，故選(A)例5. 分析：本題給出一些條件式的求值問(wèn)題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理解：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180°AB=120°B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理解得從而2、【答案】由題意可知：，從而，又因?yàn)樗?，所以一定是等腰三角形選C例6解：中，a、b、c成等比數(shù)列，且，則b=a，=，選B.例7. 分析：求河的寬度，就是求ABC在AB邊上的