選修2-2第2章第2節(jié)直接證明與間接證明（理）（學(xué)案含答案）

1、.年級高二學(xué)科數(shù)學(xué)版本蘇教版理課程標(biāo)題選修2-2第2章第2節(jié)直接證明與間接證明一、學(xué)習(xí)目的：1. 理解直接證明的兩種根本方法：分析法和綜合法；理解分析法和綜合法的考慮過程、特點。2. 理解間接證明的一種根本方法反證法；理解反證法的考慮過程、特點。二、重點、難點重點：理解分析法和綜合法的考慮過程、特點。難點：運用分析法、綜合法進步分析問題和解決問題的才能。三、考點分析：對兩種直接證明方法的考察在選擇題、填空題和解答題中都有出現(xiàn)，單純的考察并不常見，作為解決問題的工具，與其他知識綜合運用的特點比較突出。它可以和很多知識，如函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等相聯(lián)絡(luò)，證明時不僅要用到不等式的相關(guān)知識，還要用

2、到其他數(shù)學(xué)知識、技能和技巧，而且還考察了運算才能，分析問題和解決問題的才能。對于反證法很少單獨命題，但是運用反證法分析問題、進展證題思路的判斷那么經(jīng)常用到，有獨到之處。 三種證明方法的定義與步驟：1. 綜合法是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法，它是利用條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法。2. 分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為斷定一個明顯成立的條件條件、定義、公理、定理等為止的證明方法。3. 假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，由此說明假設(shè)錯誤，從而證

3、明了原命題成立，這樣的方法叫反證法；它是一種間接的證明方法。用這種方法證明一個命題的一般步驟：1假設(shè)命題的結(jié)論不成立；2根據(jù)假設(shè)進展推理，直到推理中導(dǎo)出矛盾為止；3斷言假設(shè)不成立；4肯定原命題的結(jié)論成立。知識點一：綜合法例1 對于定義域為的函數(shù)，假如同時滿足以下三個條件：對任意的，總有；假設(shè)，都有成立，那么稱函數(shù)為理想函數(shù)。 1假設(shè)函數(shù)為理想函數(shù)，求的值； 2判斷函數(shù)是否為理想函數(shù)，并予以證明。思路分析：1取可得。由此可求出f0的值。2在0，1滿足條件； 也滿足條件。假設(shè)，滿足條件，收此知故gx理想函數(shù)。解題過程：1取可得。 又由條件，故。 2顯然在0，1滿足條件； 也滿足條件。假設(shè)，那么 ，

4、即滿足條件， 故為理想函數(shù)。 解題后反思：要證明函數(shù)滿足三個條件，得緊扣定義，逐個驗證。知識點二：分析法例2 ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，求證：思路分析：此題的關(guān)鍵是將等價轉(zhuǎn)換，以及三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列的應(yīng)用。解題過程：證明：要證， 需證。 即證。 需證，需證 ABC三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列。B60°。 由余弦定理，有，即。 成立，命題得證。解題后反思：注意分析法的書寫“格式是“要證只需證，而不是“因為所以知識點三：反證法例3 ，求證：不能同時大于。思路分析：求證：不能同時大于，可用反證法假設(shè)可以同時大于，讓三個等式左邊右邊分別相乘得到，根據(jù)可以判斷錯誤，故假設(shè)

5、不成立，即得證。解題過程：證法一：假設(shè)三式同時大于，即，三式同向相乘得，又，同理，這與假設(shè)矛盾，故原命題得證。證法二：假設(shè)三式同時大于，同理三式相加得，這是矛盾的，故假設(shè)錯誤，所以原命題得證。解題后反思：“不能同時大于包含多種情形，不易直接證明，可用反證法證明。即正難那么反：1當(dāng)遇到否認(rèn)性、唯一性、無限性、至多、至少等類型問題時，常用反證法。2用反證法的步驟是：否認(rèn)結(jié)論；而不合理；因此結(jié)論不能否認(rèn)，原結(jié)論成立。反證法屬于“間接證明法，是從反面角度考慮問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否認(rèn)結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理。反證法就是從否認(rèn)命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否認(rèn)作為推理的條件，進展正確的邏輯推理，

6、使之得到與條件、公理、定理、法那么或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。知識點四：綜合法、分析法綜合應(yīng)用例4 設(shè)，為正實數(shù)，求證：。思路分析：由想到可應(yīng)用不等式。解題過程：因為為正實數(shù)，由平均不等式可得，即 ，所以，而，所以。解題后反思：綜合法是從到未知的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的條件或從已證的命題出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理，最后導(dǎo)出要證的結(jié)論。證明不等式常用的性質(zhì)有，等，但應(yīng)用這些不等式證明時，要注意不等式應(yīng)用的范圍和“獲得的充要條件。例5 如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于、兩點。1求拋物線的焦點F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線

7、l的方程；2假設(shè)為銳角，作線段的垂直平分線交軸于點，證明為定值，并求此定值。思路分析：使用常規(guī)思路，即可以采用綜合法解決問題。解題過程：1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，那么焦點的坐標(biāo)為2，0，準(zhǔn)線l的方程為。2證明：如圖，作，垂足為、，那么由拋物線的定義知，記、的橫坐標(biāo)分別為，那么解得類似地，解得。記直線與的交點為，那么，所以。故。解題后反思：此題是應(yīng)用綜合法解決解析幾何問題，掌握綜合法證明的根本方法是“由因?qū)Ч?，即由條件出發(fā)，順著推證，逐步推出求證的結(jié)論，綜合法的特點是表述簡單，條理明晰，它常用的是“，或“因為，所以，或“等表述方法。天津高考對實數(shù)與，定義新運算“： 設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)的圖象與軸恰有兩個公

8、共點，那么實數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 解題思路：在新定義下給出分段函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求出參數(shù)C的取值范圍。解答過程： 那么的圖象如圖的圖象與軸恰有兩個公共點，與的圖象恰有兩個公共點，由圖象知，或。解題后反思：新定義問題考察的是即時反響才能，數(shù)形結(jié)合能使問題形象化。1. 分析法的特點是：從未知看需知，逐步靠攏。2. 綜合法的特點是：從看可知，逐步推出未知。3. 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點：分析法考慮起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，表達較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，能較簡捷地解決問題，但不便于考慮，實際證明時常常兩法兼用，先用分析法探究證明的思路，然后再用綜合法表達出來。4. 對證明的考察往往會結(jié)合函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識，既要掌握根本