插值法的推導(dǎo)過程

1、插值法生產(chǎn)實(shí)踐中常常出現(xiàn)這樣的問題：給出一批離散樣點(diǎn)，要求作出一條通過這些點(diǎn)的光滑曲線，以便滿足設(shè)計(jì)要求或進(jìn)行加工。反映在數(shù)學(xué)上，即已知函數(shù)在一些點(diǎn)上的值，尋求它的分析表達(dá)式。因?yàn)橛珊瘮?shù)的表格形式不能直接得出表中未列點(diǎn)處的函數(shù)值，也不便于研究函數(shù)的性質(zhì)。此外，有些函數(shù)雖有表達(dá)式，但因式子復(fù)雜，不容易算其值和進(jìn)行理論分析，也需要構(gòu)造一個(gè)簡單函數(shù)來近似它。解決這種問題的方法有兩類：一類是給出函數(shù)的一些樣點(diǎn)值，選定一個(gè)便于計(jì)算的函數(shù)形式，如多項(xiàng)式、分式線性函數(shù)及三角多項(xiàng)式等，要求它通過已知樣點(diǎn)，由此確定函數(shù)作為的近似。這就是插值法。另一類方法在選定近似函數(shù)的形式后，不要求近似函數(shù)過已知樣點(diǎn)，只要求在

2、某種意義下他在這些點(diǎn)上的總偏差最小。這類方法稱為曲線（數(shù)據(jù)）擬合法。1、 拉格朗日（Lagrange）插值1. Lagrange插值多項(xiàng)式 先討論只有兩個(gè)節(jié)點(diǎn),的插值多項(xiàng)式。由前所述，插值多項(xiàng)式應(yīng)設(shè)為，且滿足插值條件解此方程組得 ，0所以，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的一次插值多項(xiàng)式為 （5-6）這是用過兩點(diǎn)，的直線近似曲線，故這種插值又稱為線性插值。如果將式（5-6）改寫成以下形式 (5-7)式（5-7）中，被表成兩個(gè)線性函數(shù)的線性組合。記，顯然，它們滿足，即在對應(yīng)的插值點(diǎn)處的取值為1，在其他點(diǎn)處取值為0，不難想象，以對應(yīng)點(diǎn)處的函數(shù)值為系數(shù)對它們作線性組合所得的函數(shù)，不僅仍是線性的，且必定滿足插值條件。由此得到

3、啟發(fā)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)增多到個(gè)時(shí)，可以先構(gòu)造次多項(xiàng)式，它們滿足 （5-8）然后以對應(yīng)點(diǎn)處的函數(shù)值為系數(shù)作線性組合，即得所要求的插值多項(xiàng)式。下面推導(dǎo)的表達(dá)式。由式（5-8），多項(xiàng)式有個(gè)根，且，故它必定是以下形式 （5-9）這些函數(shù)稱為Lagrange插值基函數(shù)。利用它們立即得出插值問題的解 （5-10a）事實(shí)上，因?yàn)槊總€(gè)插值基函數(shù)都是次多項(xiàng)式，故是至多次多項(xiàng)式。由式（5-8）又得即滿足插值條件式（5-2）。式（5-10a）稱為次Lagrange插值多項(xiàng)式。為了以后便于區(qū)別，常用代替，以突出表示這是由Lagrange插值所得到的插值多項(xiàng)式，即 （5-10b）由前面討論的結(jié)果，個(gè)節(jié)點(diǎn)的次Lagrange插值多

4、項(xiàng)式存在唯一，式（5-5）為插值余項(xiàng)。式（5-10b）形式對稱，容易編制程序。2、牛頓（Newton）插值如果將直線用點(diǎn)斜式方程表示，即把線性插值公式改寫成以下形式 （5-13）由此導(dǎo)出插值多項(xiàng)式的又一種表示形式牛頓插值公式。2.1 差商定義5.1 設(shè)有函數(shù)為一系列互不相等的點(diǎn)，稱為關(guān)于點(diǎn)的一階差商（也稱均差），記為，即類似于高階導(dǎo)數(shù)的定義，稱一階差商的差商 為關(guān)于點(diǎn)的二階差商，記為。一般地，稱為關(guān)于點(diǎn)的階差商，記為 （5-14）2.2 Newton插值公式按定義5.1線性插值公式（5-13）可表示成 （5-17）式（5-17）稱為一次Newton插值多項(xiàng)式。一般地，由各階差商的定義，依次可得

5、將以上各式分別乘以1，,然后相加并消去兩邊相等的部分，即得 （5-18）記 （5-19） （5-20）則 顯然，是至多次的多項(xiàng)式。而由 得。這表明滿足插值條件式（5-2），因而它是的次插值多項(xiàng)式。這種形式的插值多項(xiàng)式稱為Newton插值多項(xiàng)式。3、 埃爾米特（Hermite）插值如果對差值函數(shù)，不僅要求它在節(jié)點(diǎn)處與函數(shù)同值，而且要求它與函數(shù)有相同的一階、二階甚至更高階的導(dǎo)數(shù)值，這就是Hermite插值問題。3.1 Hermite設(shè)已知函數(shù)在個(gè)互異節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，要求一個(gè)至多次的多項(xiàng)式，使得 （3-1）滿足條件（3-1）的多項(xiàng)式稱為Hermite插值多項(xiàng)式。我們?nèi)圆捎脴?gòu)造插值基函數(shù)的方法

6、來求Hermite插值多項(xiàng)式?？梢栽O(shè)想，如果有兩組函數(shù)，它們滿足：（1）都是至多次多項(xiàng)式； （2） （3-2） 則多項(xiàng)式 必定滿足插值條件式（3-1），且次數(shù)不超過。按條件式（3-2），在處函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值均為0，故它們應(yīng)含因子，因此可以設(shè)為 （3-3）其中為Lagrange插值基函數(shù)。由條件式（3-2），還應(yīng)滿足 代入式（3-3），得 其解為。所以 （3-4）同理，由于在處的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值均為0，而，故可設(shè) 代入條件式（3-2）得 于是，因此 （3-5）所以Hermite插值多項(xiàng)式為 （3-6）特別地，當(dāng)時(shí)，有 所以，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次Hermite插值多項(xiàng)式為 （3-7）4、 樣條插值許多工程技

7、術(shù)中提出的計(jì)算問題對插值函數(shù)的光滑性有較高要求，如飛機(jī)的機(jī)翼外形，內(nèi)燃機(jī)的進(jìn)、排氣門的凸輪曲線，都要求曲線具有較高的光滑程度，不僅要連續(xù)，而且要有連續(xù)的曲率 ，即二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。這就導(dǎo)致了樣條插值的產(chǎn)生。4.1 三次樣條插值利用樣條函數(shù)進(jìn)行插值，即取插值函數(shù)為樣條函數(shù)，稱為樣條插值。例如，分段線性插值是一次樣條插值。下面只介紹三次樣條插值，即已知函數(shù)在區(qū)間上的個(gè)節(jié)點(diǎn) 上的值，求插值函數(shù)，使得 （1）； （2）在每個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式，記為； （3）在上二階連續(xù)可微，則函數(shù)稱為的三次樣條插值函數(shù)?？梢宰C明，在一定的邊條件下，三次樣條插值問題的解是存在唯一的。下面討論三次樣條插值函數(shù)的求法。由于在

8、每個(gè)小區(qū)間上都是三次多項(xiàng)式，故共有個(gè)參數(shù)。為簡化計(jì)算，取節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值或二階導(dǎo)數(shù)值為參數(shù)，來導(dǎo)出三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式。4.2 以節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值為參數(shù)的三次樣條插值函數(shù)設(shè)。因?yàn)樵谛^(qū)間上是三次多項(xiàng)式，故為線性函數(shù)，由Lagrange插值公式得 （4-1）其中。將上式積分兩次，并代入插值條件，得 （4-2）求導(dǎo)得 （4-3）因?yàn)樵诠?jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，故應(yīng)有 即 化簡得 （4-4）令 （4-5）則式（4-4）改寫成 （4-6）式（4-6）給出了含個(gè)參數(shù)的個(gè)方程，稱為三次樣條的關(guān)系式，或按其力學(xué)意義，稱為三彎矩方程。為完全確定這些參數(shù)，需要根據(jù)問題的具體情況，在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處給出條件，稱為邊

9、界條件。常用的邊界條件有以下三種：（1） 給定兩端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。特別地，當(dāng)時(shí)，樣條曲線在端點(diǎn)處呈水平狀態(tài)。（2） 給定兩端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值。特別地，當(dāng)時(shí)，稱為自然邊界條件。（3） 如果是以為周期的周期函數(shù)，則也應(yīng)是具有同樣周期的周期函數(shù)，在端點(diǎn)處需滿足 將這三種邊界條件中的任意一種與三彎矩方程（4-6）聯(lián)立，即可求出參數(shù)。 如果問題要求滿足邊界條件（1），由式（4-6）得 化簡的 （4-7）式（4-7）和式（4-6）聯(lián)立，即得關(guān)于參數(shù)的階線性方程組，其矩陣形式為 其中。這是三對角方程組，可用追趕法求解。如果問題要求滿足邊界條件（2），即 此時(shí)方程組（4-6）中實(shí)際只有個(gè)未知數(shù)，其矩陣形式的 （4-8）這仍是三