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文檔簡介

1、插值法生產(chǎn)實踐中常常出現(xiàn)這樣的問題:給出一批離散樣點,要求作出一條通過這些點的光滑曲線,以便滿足設計要求或進行加工。反映在數(shù)學上,即已知函數(shù)在一些點上的值,尋求它的分析表達式。因為由函數(shù)的表格形式不能直接得出表中未列點處的函數(shù)值,也不便于研究函數(shù)的性質(zhì)。此外,有些函數(shù)雖有表達式,但因式子復雜,不容易算其值和進行理論分析,也需要構造一個簡單函數(shù)來近似它。解決這種問題的方法有兩類:一類是給出函數(shù)的一些樣點值,選定一個便于計算的函數(shù)形式,如多項式、分式線性函數(shù)及三角多項式等,要求它通過已知樣點,由此確定函數(shù)作為的近似。這就是插值法。另一類方法在選定近似函數(shù)的形式后,不要求近似函數(shù)過已知樣點,只要求在

2、某種意義下他在這些點上的總偏差最小。這類方法稱為曲線(數(shù)據(jù))擬合法。1、 拉格朗日(Lagrange)插值1. Lagrange插值多項式 先討論只有兩個節(jié)點,的插值多項式。由前所述,插值多項式應設為,且滿足插值條件解此方程組得 ,0所以,兩個節(jié)點的一次插值多項式為 (5-6)這是用過兩點,的直線近似曲線,故這種插值又稱為線性插值。如果將式(5-6)改寫成以下形式 (5-7)式(5-7)中,被表成兩個線性函數(shù)的線性組合。記,顯然,它們滿足,即在對應的插值點處的取值為1,在其他點處取值為0,不難想象,以對應點處的函數(shù)值為系數(shù)對它們作線性組合所得的函數(shù),不僅仍是線性的,且必定滿足插值條件。由此得到

3、啟發(fā),當節(jié)點增多到個時,可以先構造次多項式,它們滿足 (5-8)然后以對應點處的函數(shù)值為系數(shù)作線性組合,即得所要求的插值多項式。下面推導的表達式。由式(5-8),多項式有個根,且,故它必定是以下形式 (5-9)這些函數(shù)稱為Lagrange插值基函數(shù)。利用它們立即得出插值問題的解 (5-10a)事實上,因為每個插值基函數(shù)都是次多項式,故是至多次多項式。由式(5-8)又得即滿足插值條件式(5-2)。式(5-10a)稱為次Lagrange插值多項式。為了以后便于區(qū)別,常用代替,以突出表示這是由Lagrange插值所得到的插值多項式,即 (5-10b)由前面討論的結果,個節(jié)點的次Lagrange插值多

4、項式存在唯一,式(5-5)為插值余項。式(5-10b)形式對稱,容易編制程序。2、牛頓(Newton)插值如果將直線用點斜式方程表示,即把線性插值公式改寫成以下形式 (5-13)由此導出插值多項式的又一種表示形式牛頓插值公式。2.1 差商定義5.1 設有函數(shù)為一系列互不相等的點,稱為關于點的一階差商(也稱均差),記為,即類似于高階導數(shù)的定義,稱一階差商的差商 為關于點的二階差商,記為。一般地,稱為關于點的階差商,記為 (5-14)2.2 Newton插值公式按定義5.1線性插值公式(5-13)可表示成 (5-17)式(5-17)稱為一次Newton插值多項式。一般地,由各階差商的定義,依次可得

5、將以上各式分別乘以1,,然后相加并消去兩邊相等的部分,即得 (5-18)記 (5-19) (5-20)則 顯然,是至多次的多項式。而由 得。這表明滿足插值條件式(5-2),因而它是的次插值多項式。這種形式的插值多項式稱為Newton插值多項式。3、 埃爾米特(Hermite)插值如果對差值函數(shù),不僅要求它在節(jié)點處與函數(shù)同值,而且要求它與函數(shù)有相同的一階、二階甚至更高階的導數(shù)值,這就是Hermite插值問題。3.1 Hermite設已知函數(shù)在個互異節(jié)點上的函數(shù)值和導數(shù)值,要求一個至多次的多項式,使得 (3-1)滿足條件(3-1)的多項式稱為Hermite插值多項式。我們?nèi)圆捎脴嬙觳逯祷瘮?shù)的方法

6、來求Hermite插值多項式??梢栽O想,如果有兩組函數(shù),它們滿足:(1)都是至多次多項式; (2) (3-2) 則多項式 必定滿足插值條件式(3-1),且次數(shù)不超過。按條件式(3-2),在處函數(shù)值與導數(shù)值均為0,故它們應含因子,因此可以設為 (3-3)其中為Lagrange插值基函數(shù)。由條件式(3-2),還應滿足 代入式(3-3),得 其解為。所以 (3-4)同理,由于在處的函數(shù)值與導數(shù)值均為0,而,故可設 代入條件式(3-2)得 于是,因此 (3-5)所以Hermite插值多項式為 (3-6)特別地,當時,有 所以,兩個節(jié)點的三次Hermite插值多項式為 (3-7)4、 樣條插值許多工程技

7、術中提出的計算問題對插值函數(shù)的光滑性有較高要求,如飛機的機翼外形,內(nèi)燃機的進、排氣門的凸輪曲線,都要求曲線具有較高的光滑程度,不僅要連續(xù),而且要有連續(xù)的曲率 ,即二階導數(shù)連續(xù)。這就導致了樣條插值的產(chǎn)生。4.1 三次樣條插值利用樣條函數(shù)進行插值,即取插值函數(shù)為樣條函數(shù),稱為樣條插值。例如,分段線性插值是一次樣條插值。下面只介紹三次樣條插值,即已知函數(shù)在區(qū)間上的個節(jié)點 上的值,求插值函數(shù),使得 (1); (2)在每個小區(qū)間上是三次多項式,記為; (3)在上二階連續(xù)可微,則函數(shù)稱為的三次樣條插值函數(shù)??梢宰C明,在一定的邊條件下,三次樣條插值問題的解是存在唯一的。下面討論三次樣條插值函數(shù)的求法。由于在

8、每個小區(qū)間上都是三次多項式,故共有個參數(shù)。為簡化計算,取節(jié)點上的導數(shù)值或二階導數(shù)值為參數(shù),來導出三次樣條插值函數(shù)的表達式。4.2 以節(jié)點處的二階導數(shù)值為參數(shù)的三次樣條插值函數(shù)設。因為在小區(qū)間上是三次多項式,故為線性函數(shù),由Lagrange插值公式得 (4-1)其中。將上式積分兩次,并代入插值條件,得 (4-2)求導得 (4-3)因為在節(jié)點處一階導數(shù)連續(xù),故應有 即 化簡得 (4-4)令 (4-5)則式(4-4)改寫成 (4-6)式(4-6)給出了含個參數(shù)的個方程,稱為三次樣條的關系式,或按其力學意義,稱為三彎矩方程。為完全確定這些參數(shù),需要根據(jù)問題的具體情況,在區(qū)間的兩個端點處給出條件,稱為邊

9、界條件。常用的邊界條件有以下三種:(1) 給定兩端點處的導數(shù)值。特別地,當時,樣條曲線在端點處呈水平狀態(tài)。(2) 給定兩端點處的二階導數(shù)值。特別地,當時,稱為自然邊界條件。(3) 如果是以為周期的周期函數(shù),則也應是具有同樣周期的周期函數(shù),在端點處需滿足 將這三種邊界條件中的任意一種與三彎矩方程(4-6)聯(lián)立,即可求出參數(shù)。 如果問題要求滿足邊界條件(1),由式(4-6)得 化簡的 (4-7)式(4-7)和式(4-6)聯(lián)立,即得關于參數(shù)的階線性方程組,其矩陣形式為 其中。這是三對角方程組,可用追趕法求解。如果問題要求滿足邊界條件(2),即 此時方程組(4-6)中實際只有個未知數(shù),其矩陣形式的 (4-8)這仍是三

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