懸臂梁在均布荷載作用下有限元分析

1、懸臂梁承受集中荷載作用問(wèn)題的彈塑性分析何方平 鄒里 （湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105）摘要 本文針對(duì)曲桿在水平力作用下的受力性能，結(jié)合彈性力學(xué)基本方程和塑性力學(xué)中Mises屈服條件，得到了彈性階段應(yīng)力、位移之間的關(guān)系，以及材料發(fā)生塑性變形時(shí)，處于臨界狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變值。同時(shí)，利用有限元分析軟件ABAQUS，進(jìn)行了數(shù)值模擬，分析結(jié)果與理論值吻合較好，證明所建立的有限元模型是合理的。關(guān)鍵詞：懸臂梁；集中荷載THE ELASTIC-PLASTIC ANALYSIS OF THE CANTILEVER BEAM UNDER concentrated loadHe Fang-P

2、ing Zhou Li（College of Civil Engineering & Mechanics, XiangTan University, Xiangtan 411105, China）【Abstract】This article in view of the force performance of CANTILEVER BEAM UNDER concentrated load, combined with elastic mechanics basic equations and the plastic mechanics Mises yield conditions, obta

3、ined the elastic stage between stress and displacement, and the relationship between material happen plastic deformation, a critical state points of stress and strain value. At the same time, the finite element analysis software ABAQUS, the numerical simulation and analysis results and a good agreem

4、ent with the theoretical value, show that the established finite element model is reasonable.Keywords: CANTILEVER BEAM concentrated load 題目：試考察應(yīng)力函數(shù)能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不記體力），畫出例題3-2圖所示矩形體邊界上的面力分布（在次要邊界上表示出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問(wèn)題。 圖1 1 彈性力學(xué)解（1）考察相容條件，將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程=0顯然滿足。（2）體力不計(jì)，求得應(yīng)力分量表達(dá)式： （3）由應(yīng)力分量求解應(yīng)變分量（4

5、）邊界條件：a. 在的主要邊界上，應(yīng)該滿足應(yīng)力邊界條件如下： b.在應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件如下： （a） ， (b) (c) 對(duì)于如圖所示矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，由應(yīng)力邊界條件式可知上邊、下邊無(wú)面力；而左邊界上受有鉛直力；右邊界上有按線性變化的水平面合力為一力偶，和鉛直面力。所以，能解決懸臂梁在自由端受集中力作用的問(wèn)題。3 塑性解析解由彈性階段的應(yīng)力、應(yīng)變分量關(guān)系可知，矩形截面偏壓柱中縱向截面中任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)都是相同的。材料為理想彈塑性材料，屈服應(yīng)力為10000MPa。根據(jù)Mises屈服條件，有：當(dāng)構(gòu)件變形進(jìn)入塑性階段后，屈服條件：在平面應(yīng)力狀

6、態(tài)下，有一個(gè)主應(yīng)力為零，假定則Mises屈服條件變?yōu)椋?在直角坐標(biāo)系中：彈性解析解中：=0綜合以上各式，可得：由理想彈塑性模型（見(jiàn)圖3-1），可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。圖2 理想彈塑性模型彈性解析解中： 選取y=-5這一路徑上的點(diǎn)，如該處的應(yīng)力達(dá)到材料的屈服應(yīng)力（），則有當(dāng)x=100時(shí)，得出臨界力F=1.67KN，從而可以得知，在臨界條件下，。理論解與有限元解的比較假定一組數(shù)據(jù)：h=10mm, L=100mm,b=1mm F=1KN，E=210000Mpa，=0.3那么可以得到計(jì)算結(jié)果如下：表1 路徑一的各節(jié)點(diǎn)理論值(固定端)編號(hào)xy/MPa/MPA1100-5600000.028572100-4

7、480054.000.022863100-3360096.000.017144100-22400126.000.011435100-11200144.000.00571610000150.00071001-1200144.00-0.00571481002-2400126.00-0.01142991003-360096.00-0.017143101004-480054.00-0.022857111005-60000-0.028571表2 路徑一的各節(jié)點(diǎn)有限元值編號(hào)xy/MPa/MPA1100-558920.000190.0282292100-44713.652.5960.0221263100-3

8、3535.293.5040.0166974100-22356.8122.7240.0115665100-11178.4140.2560.005834610000145.80.000012571001-1185.6139.968-0.0057881002-2371.2122.472-0.0116891003-3556.893.312-0.01687101004-4742.452.488-0.02229111005-59280.00023-0.02803 圖3 路徑一各點(diǎn)正應(yīng)力理論解與有限元擬合 圖4 路徑一各點(diǎn)剪應(yīng)力理論解與有限元擬合 圖5 路徑一各點(diǎn)正應(yīng)變理論解與有限元擬合表3 路徑二的各節(jié)點(diǎn)

9、理論值(上邊界)編號(hào)xy/MPa/MPA15-530000.00143210-560000.00286320-5120000.00571430-5180000.00857540-5240000.01143650-5300000.01429760-5360000.01714870-5420000.02 980-5480000.022861090-5540000.025711195-5570000.02714 表4 路徑二的各節(jié)點(diǎn)有限元值(上邊界)編號(hào)xy/MPa/MPA15-5296.1-4.52435E-160.00144210-5592.2-3.25815E-160.002896320-51

10、211.76-2.14842E-160.005788430-51817.64-1.05703E-160.008681540-52349.62.90567E-180.011573650-529371.11613E-160.014466760-53524.42.21109E-160.017359870-54176.483.32787E-160.020251 980-54773.124.52772E-160.0231441090-55513.45.59642E-160.0260351195-55819.76.71073E-160.027321圖6 路徑二各點(diǎn)正應(yīng)力理論解與有限元擬合圖7 路徑二各點(diǎn)剪

11、應(yīng)力理論解與有限元擬合圖8 路徑二各點(diǎn)正應(yīng)變理論解與有限元擬合從上圖可以看出，abaqus模擬的結(jié)果與理論結(jié)果比較吻合，通過(guò)表1與表2、表3與表4的數(shù)據(jù)，可以得到路徑一上的的理論值絕對(duì)值平均值為36000，模擬平均值為35460，兩者誤差為0.13%。的理論平均值為90，模擬平均值為87.55636，兩者誤差為2.7%，正應(yīng)變的理論平均值絕對(duì)值為0.015584，有限元模擬值為0.015351，兩者誤差為1.5%。路徑二上的的理論平均值為3000，模擬平均值為2969.722，兩者誤差為1.0%。的理論平均值為0，模擬平均值為1.13919E-16，兩者誤差很小，應(yīng)變的理論平均值為0.0142

12、85，有限元模擬值為0.01445，兩者誤差為1.1%。分析誤差原因可能是因?yàn)橛邢拊治霰緛?lái)就是近似分析帶來(lái)的系統(tǒng)誤差等，但是誤差均在允許范圍之內(nèi)，所以abaqus模擬值是合理的。4 彈塑性有限元分析(1) 定義單元類型：通過(guò)查閱abaqus的單元庫(kù)對(duì)單元的性質(zhì)和應(yīng)用范圍進(jìn)行了解,選擇八結(jié)點(diǎn)雙向二次平面應(yīng)力四邊形單元，縮減積分。(2) 定義材料參數(shù)：主要輸入的是彈性模量，泊松比，假定彈性模量為210GPa，泊松比為0.3。(3) 建立模型：該模型為平面應(yīng)力模型，通過(guò)abaqus建立二維幾何平面應(yīng)力模型，在abaqus中生成有限元模型。 (4) 劃分網(wǎng)格利用abaqus的網(wǎng)格劃分工具，設(shè)置網(wǎng)格，采用結(jié)構(gòu)方式劃分網(wǎng)格，劃分網(wǎng)格后的模型如圖2所示。 有限元網(wǎng)格劃分(5) 加載數(shù)據(jù)在懸臂梁自由端施加一個(gè)大小為1kN的集中力，設(shè)定加載時(shí)間為1秒，分1個(gè)子步，每個(gè)子步1秒。(6) 求解(7) 后處理求解后，abaqus得到了結(jié)構(gòu)在當(dāng)前邊界條件下受力的詳細(xì)情況，如各節(jié)點(diǎn)和單元的應(yīng)力應(yīng)變值，受力后結(jié)構(gòu)的變形情況，等等?，F(xiàn)列舉幾個(gè)重要結(jié)果如下。 應(yīng)力變形變形云圖 應(yīng)變?cè)茍D5總結(jié)通過(guò)對(duì)上述問(wèn)題