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1、第十四章整式的乘法與因式分解14.1整式的乘法題型一:整式乘法與整式加減的綜合例1:計(jì)算:(1)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b) (2)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)變式訓(xùn)練:(1)(x+3)(x+4)-x(x+2)-5 (2)(3a-2b)(b-3a)-(2a-b)(3a+b)題型二:整式乘法與方程的綜合例2:解方程(3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1)變式訓(xùn)練:解方程2x(x-1)-(x+1)(2x-5)=12題型三:整式乘法與表達(dá)不等式的綜合例3:解不等式(3x+4)(3x-4)9(x-2)(x+3)變式訓(xùn)練:解不等式(2x-1)(2x-1)(2x
2、+5)(2x-5)-2題型四:整式的化簡(jiǎn)求值例4:先化簡(jiǎn),再求值(-2a4x2+4a3x3 -a2x4)(-a2x3),其中a=,x=-4.。變式訓(xùn)練:已知2x-y=10,求代數(shù)式(x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)4y的值。題型五:整式乘法的實(shí)際應(yīng)用例5:西紅柿豐收了,為了方便運(yùn)輸,小紅的爸爸把一根長(zhǎng)方形為a cm,寬為a cm的長(zhǎng)方形鐵板做成了一個(gè)有底無(wú)蓋的盒子。在長(zhǎng)方形鐵板的四個(gè)角上各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為b cm的小正方形(2ba),然后沿虛線折起即可,如圖14-1所示,現(xiàn)在要將盒子的外部表面貼上彩色花紙,小花任務(wù)至少需要彩色紙花的面積實(shí)際就是小盒子外部的表面積,可以用以下兩種方法求得
3、:直接法,小盒子外部表面的面積=四個(gè)側(cè)面的面積+底面的面積=2(a-2b)b+(a-2b)b+(a-2b)(a-2b);間接法,小盒子外部表面的面積=原長(zhǎng)方形的面積-四個(gè)小正方形的面積=aa-4b2 。請(qǐng)你就是一下這兩種方法的結(jié)果是否一樣。變式訓(xùn)練:如圖所示,有正方形卡片A類(lèi)、B類(lèi)和長(zhǎng)方形卡片C類(lèi)各若干張,若干要拼一個(gè)長(zhǎng)為(a+2b),寬為(a+b)的大長(zhǎng)方形,那么需要C類(lèi)卡片多少?gòu)垼款}型六:逆用冪的運(yùn)算法則例6:已知2x=m,2y=n,2z=mn,求證x+y=z變式訓(xùn)練:已知10m=5,10n=6,求102m+3n的值。題型七:逆用積的乘方運(yùn)算法則簡(jiǎn)化計(jì)算例7:計(jì)算:變式訓(xùn)練:計(jì)算:-820
4、17(-.0125)2016+0.25326題型八:運(yùn)用冪的運(yùn)算法則比較大小例8:比較大?。海?)1625與290 (2)2100與375變式訓(xùn)練:比較大小:255,344,433題型九:多小時(shí)整除問(wèn)題例9:已知一個(gè)多項(xiàng)式初一多項(xiàng)式a2+4a-3所得的商式是2a+1,余式是2a+8,求這個(gè)多項(xiàng)式。變式訓(xùn)練:已知多項(xiàng)式x3+ax2+bx+c能夠被x2+3x-4整式。(1)求4a+c的值;(2)求2a-2b-c的值;(3)若a,b,c均為整數(shù),且ca1,試確定a,b,c的大小關(guān)系。題型十:利用整式乘法求字母的值例10:如果(x+q)(x+)的結(jié)果中不含x的一次項(xiàng),那么q=變式訓(xùn)練:已知(-2x2)
5、(3x2-ax-6)-3 x3+ x2中含x的三次項(xiàng),則a=題型十一:利用整式的乘法探索規(guī)律例11:先探索規(guī)律,再用所得規(guī)律計(jì)算。(1)根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算并填空:(x-3)(x+4)=(x+2)(x+3)=(x+7)(x-1)=(x-5)(x-2)=(2)觀察積中一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)與乘法算式中兩個(gè)常數(shù)之間的關(guān)系,得出規(guī)律,用式子表示為(x+p)(x+q)=(3)利用所得規(guī)律計(jì)算:(x+1)(x-5);(x-3)(x+7);(a-2)(a-1)變式訓(xùn)練:觀察下列各式:(x-1)(x+1)=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3-1(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1.(1)根據(jù)觀
6、察以上規(guī)律,則(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=(2)你能否由此歸納出一般性規(guī)律:(x-1)(xn+xn-1+x+1)=(3)根據(jù)求出:1+2+22+234+235的結(jié)果。題型十二:有關(guān)整式乘法的探索題例12:新知識(shí)一般有兩類(lèi):第一類(lèi)是不依賴(lài)于其他知識(shí)的新知識(shí),如“數(shù)” “字母表示數(shù)”這樣的初始性的知識(shí);第二類(lèi)是在某些舊知識(shí)的基礎(chǔ)上通過(guò)聯(lián)系、拓廣等方式產(chǎn)生的知識(shí),大多數(shù)知識(shí)是這樣的知識(shí)。(1) 多項(xiàng)式成多項(xiàng)式的法則, 是第幾類(lèi)知識(shí)?(2) 在學(xué)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式之前,你已擁有的有關(guān)知識(shí)是哪些?(寫(xiě)出兩條即可)(3) 請(qǐng)你用已擁有的有關(guān)知識(shí),通過(guò)數(shù)和形兩個(gè)方面說(shuō)明多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法
7、則是如何獲得的。(用(a+b)(c+d)來(lái)說(shuō)明)變式訓(xùn)練:我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列,其中“楊輝三角”就是一例,如圖所示,這個(gè)三角形的構(gòu)造法則是:兩腰上的數(shù)都是1,其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩書(shū)之和,他給出了(a+b)n(n為整數(shù))的展開(kāi)式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律。例如,在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1,2,1,恰好對(duì)應(yīng)(a+b)2=a2+2ab+b2展開(kāi)式中的系數(shù);第四行的四個(gè)數(shù)1,3,3,1,恰好對(duì)應(yīng)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展開(kāi)式中的系數(shù)。(1) 根據(jù)上面的規(guī)律:寫(xiě)出(a+b)5展開(kāi)式:(2) 利用上面的規(guī)律計(jì)算:25-524+1023-1022+
8、52-1=14.2乘法公式題型一:平方差公式的重復(fù)運(yùn)用例1:計(jì)算:(1) (2)(2x+1)(4x2+1)(2x-1)(16x4+1)變式訓(xùn)練:計(jì)算:(1)(2+1)(22+1)(24+1); (2)題型二:運(yùn)用乘法公式簡(jiǎn)算例2:運(yùn)用乘法公式簡(jiǎn)算:(1)10298; (2)1022; (3)992變式訓(xùn)練:用簡(jiǎn)便方法簡(jiǎn)算:(1)982; (2)99101題型三:乘法公式的靈活運(yùn)用例3:計(jì)算:(1)(x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b+c)2; (3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)變式訓(xùn)練:計(jì)算:(1)(a+b+c)(a+b-1);(2)(2a-3b+1)(2a+3b-
9、1) (3)(x-2y+3z)2題型四:整式的混合運(yùn)算例4:計(jì)算:(1)(3m-4n)(4n+3m)-(2m-n)(2m+3n); (2)3(a+1)2-5(a-1)(a+1)2(a-1)(3)2x2-(x+y)(x-y)(2-x)(2+x)+(-y-2)(2-y) (4)(2x+y)2(2x-y)2+(x2+y2)2-2(2x2+xy)(2x2-xy)變式訓(xùn)練:計(jì)算:(1)(x+2)2+(2x+1)(2x-1)-4x(x+1)(2)(x+y)(x-y)+(x-y)2-(6x2y-2xy2)2y題型五:乘法公式變形的應(yīng)用例5:已知(a+b)2=7, (a-b)2=4,求a2+b2和ab值。變式
10、訓(xùn)練:(1)已知實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足=3,則的值為(2)若x+y=5,x-y=1,則xy=。題型六:整式的化簡(jiǎn)求值例6:先化簡(jiǎn),再求值:(x+1)(x-1)+x(3-x),其中x=2.變式訓(xùn)練:求值:已知4x=3y,求代數(shù)式(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2題型七:乘法公式與方程結(jié)合例7:解方程:2(x-2)+x2=(x+1)(x-1)+3x變式訓(xùn)練:解方程:2(x-2)+x2=(x+1)(x-1)+x題型八:乘法公式與不等式(組)結(jié)合例8:解不等式x(x-3)(x+7)(x-7)變式訓(xùn)練:解不等式組: (x+3)(x-3)-x(x-2)1 (2x-5)(-2x-5)4x(1-x)題型九:完全
11、平方公式的變形應(yīng)用例9:已知a+b=5,ab=7,求a2+b2,a2-ab+b2的值。變式訓(xùn)練:(x+y)2=9,(x-y)2=5,求x2+y2級(jí)xy的值。題型十:應(yīng)用完全平方公式求字母的值例10:二次三項(xiàng)式x2-kx+9是一個(gè)完全平方式,則k的值是變式訓(xùn)練:若x2+(m-3)x+4是完全平方式,求m的值。 題型十一:出發(fā)公式在復(fù)雜計(jì)算中的應(yīng)用例11:計(jì)算(2+1)(22+1)(24+1).(22n+1)變式訓(xùn)練:計(jì)算14.3因式分解題型一:提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用例1:分解因式:ax2-ay2=變式訓(xùn)練:分解因式:a2b-2ab+b=題型二:利用因式分解整體代換求值例2:已知a+b=2,
12、ab=1,則a2b+ab2的值為變式訓(xùn)練:若a=2,a-2b=3,則2a2-4ab的值為題型三:因式分解與三角形知識(shí)的結(jié)合例3:若a,b,c是三角形的三邊,且滿(mǎn)足關(guān)系式a2-2bc=c2-2ab,試判斷這個(gè)三角形的形狀。變式訓(xùn)練:已知三角形三邊長(zhǎng)為a,b,c,且滿(mǎn)足a2+b2+c2=ab+bc+ac,試判斷三角形的形狀。題型四:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式例4:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:x2y-3y=變式訓(xùn)練:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:x3-6x=題型五:分解因式:(1)(p-4)(p+1)+3p (2)64m2n2-(m2+16n2)2(3)a4-2a2b2+b4 (4)16(a-b)2-9(a+b)2變式
13、訓(xùn)練:(1)(x+y)(x-1)-xy-y2 (2)(ax+by)2+(bx-ay)2題型六:平方差公式的靈活運(yùn)用例6:計(jì)算變式訓(xùn)練:若248-1能被60與70直徑的兩個(gè)整數(shù)整除,求這兩個(gè)數(shù)。題型七:完全平方公式的靈活運(yùn)用例7:已知a2+b2-4a-6b+13=0,求a+b的值。變式訓(xùn)練:求證:當(dāng)x表示整數(shù)時(shí),(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一個(gè)整數(shù)的完全平方數(shù)。題型八:開(kāi)放型問(wèn)題例8:多項(xiàng)式9x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后,能成為一個(gè)完全平方式,那么加上的單項(xiàng)式可能是什么?(把符合要求的都寫(xiě)出來(lái))變式訓(xùn)練:給出三個(gè)多項(xiàng)式:2x2+4x-4;2x2+12x+4;2x2-4x,請(qǐng)你把其中任意兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加法運(yùn)算(寫(xiě)出所有可能的結(jié)果),并把每個(gè)結(jié)果因式分解。題型九:x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解例9:閱讀下列材料,你能得到什么結(jié)論?并利用(1)的酒類(lèi)分解因式。(1) 形如x2+(p+q)x+pq型的二次三項(xiàng)式,有以下特點(diǎn):二次項(xiàng)系數(shù)是1;常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積;一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因式之和,把這個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式,可以這樣來(lái)解:x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq =(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p) =(x+
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