有限元法的基本原理

1、第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的離散處理內(nèi)核，又繼承了變分計(jì)算中選擇試探函數(shù)并對(duì)區(qū)域積分的合理方法。有限元法的理論基礎(chǔ)是加權(quán)余量法和變分原理，因此這里首先介紹加權(quán)余量法和變分原理。2.1等效積分形式與加權(quán)余量法加權(quán)余量法的原理是基于微分方程等效積分的提法，同時(shí)它也是求解線性和非線性微分方程近似解的一種有效方法。在有限元分析中，加權(quán)余量法可以被用于建立有限元方程，但加權(quán)余量法本身又是一種獨(dú)立的數(shù)值求解方法。2.1.1 微分方程的等效積分形式工程或物理學(xué)中的許多問(wèn)題，通常是以未知場(chǎng)函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程和邊界條件的形式提出來(lái)的，可以一般地表示為未知函數(shù)應(yīng)滿足微分方程組 （在內(nèi)）

2、（2-1）域可以是體積域、面積域等，如圖2-1所示。同時(shí)未知函數(shù)還應(yīng)滿足邊界條件 （在內(nèi)） （2-2）要求解的未知函數(shù)可以是標(biāo)量場(chǎng)（例如壓力或溫度），也可以是幾個(gè)變量組成的向量場(chǎng)（例如位移、應(yīng)變、應(yīng)力等）。，是表示對(duì)于獨(dú)立變量（例如空間坐標(biāo)、時(shí)間坐標(biāo)等）的微分算子。微分方程數(shù)目應(yīng)和未知場(chǎng)函數(shù)的數(shù)目相對(duì)應(yīng)，因此，上述微分方程可以是單個(gè)的方程，也可以是一組方程。所以在以上兩式中采用了矩陣形式。以二維穩(wěn)態(tài)的熱傳導(dǎo)方程為例，其控制方程和定解條件如下： （在內(nèi)） （2-3） （2-4）這里表示溫度（在滲流問(wèn)題中對(duì)應(yīng)壓力）；是流度或熱傳導(dǎo)系數(shù)（在滲流問(wèn)題中對(duì)應(yīng)流度）；和是邊界上溫度和熱流的給定值（在滲流問(wèn)

3、題中分別對(duì)應(yīng)邊界上的壓力和邊界上的流速）；是有關(guān)邊界的外法線方向；是源密度（在滲流問(wèn)題中對(duì)應(yīng)井的產(chǎn)量）。在上述問(wèn)題中，若和只是空間位置的函數(shù)時(shí)，問(wèn)題是線性的。若和是及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)時(shí)，問(wèn)題則是非線性的。由于微分方程組（2-1）在域中每一點(diǎn)都必須為零，因此就有 （2-5）其中 （2-6）其中是函數(shù)向量，它是一組和微分方程個(gè)數(shù)相等的任意函數(shù)。式（2-5）是與微分方程組（2-1）完全等效的積分形式。我們可以說(shuō)，若積分方程對(duì)于任意的都能成立，則微分方程（2-1）必然在域內(nèi)任一點(diǎn)都得到滿足。同理，假如邊界條件（2-2）亦同時(shí)在邊界上每一點(diǎn)都得到滿足，對(duì)于一組任意函數(shù)，下式應(yīng)當(dāng)成立 因此積分形式 對(duì)于所有的

4、和都成立是等效于滿足微分方程（2-1）和邊界條件（2-2）。我們把（2-7）式稱為微分方程的等效積分形式。2.1.2等效積分的“弱”形式在一般情況下，對(duì)（2-7）式進(jìn)行分部積分得到另一種形式： （2-8）其中，是微分算子，它們中所包含的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)較（2-7）式的低，這樣對(duì)函數(shù)只需要求較低階的連續(xù)性就可以了。在（2-8）式中降低連續(xù)性要求是以提高和的連續(xù)性要求為代價(jià)的，由于原來(lái)對(duì)和（在（2-7）式中）并無(wú)連續(xù)性要求，但是適當(dāng)提高對(duì)其連續(xù)性的要求并不困難，因?yàn)樗鼈兪强梢赃x擇的已知函數(shù)。這種降低對(duì)函數(shù)連續(xù)性要求的作法在近似計(jì)算中，尤其是在有限單元法中是十分重要的。（2-8）式稱為微分方程（2-1）和

5、邊界條件（2-2）式的等效積分“弱”形式。值得指出的是，從形式上看“弱”形式對(duì)函數(shù)的連續(xù)性要求降低了，但對(duì)實(shí)際的物理問(wèn)題卻常常較原始的微分方程更逼近真正解，因?yàn)樵嘉⒎址匠掏鶎?duì)解提出了過(guò)分“平滑”的要求。2.1.3 加權(quán)余量法在求解域中，若場(chǎng)函數(shù)是精確解，則在域中任一點(diǎn)都滿足微分方程（2-1）式，同時(shí)在邊界 上任一點(diǎn)都滿足邊界條件（2-2）式，此時(shí)等效積分形式（2-7）式或（2-8）式必然嚴(yán)格地得到滿足。但是對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，這樣的精確解往往是很難找到的，因此人們需要設(shè)法找到具有一定精度的近似解。對(duì)于微分方程（2-1）式和邊界條件（2-2）式所表達(dá)的物理問(wèn)題，未知場(chǎng)函數(shù)可以采用近似函數(shù)來(lái)表

6、示。近似函數(shù)是一族帶有待定參數(shù)的已知函數(shù)，一般形式是 （2-9）其中，是待定參數(shù)；是試探函數(shù)（或稱基函數(shù)、形函數(shù)），為已知函數(shù)，它取自完全的函數(shù)序列，是線性獨(dú)立的。所謂完全的函數(shù)系列是指任一函數(shù)都可以用此序列表示。近似解通常選擇使之滿足強(qiáng)制邊界條件和連續(xù)性的要求。例如當(dāng)未知函數(shù)是壓力時(shí)，可取近似解 其中是待定參數(shù)，共有個(gè)。顯然，在通常取有限項(xiàng)數(shù)的情況下近似解是不能精確滿足微分方程（2-1）式和邊界條件（2-2）的，它們將產(chǎn)生殘差及 殘差及亦稱為余量。在（2-7）式中我們用個(gè)規(guī)定的函數(shù)來(lái)代替任意函數(shù)及，即 可以得到近似的等效積分形式 （2-10）亦可以寫(xiě)成余量的形式 （2-11）（2-10）式或

7、（2-11）式的意義是通過(guò)選擇待定系數(shù)，強(qiáng)迫余量在某種平均意義下等于零。和稱為權(quán)函數(shù)。余量的加權(quán)積分為零就得到了一組求解方程，用以求解近似解的待定系數(shù)，從而得到原問(wèn)題的近似解答。求解方程（2-10）的展開(kāi)形式是 其中若微分方程組的個(gè)數(shù)為，邊界條件的個(gè)數(shù)為，則權(quán)函數(shù)是階的函數(shù)列陣，是階的函數(shù)列陣。當(dāng)近似函數(shù)所取試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多，近似解的精度將越高。當(dāng)項(xiàng)數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，近似解將收斂于精確解。對(duì)應(yīng)于等效積分“弱”形式（2-8）式，同樣可以得到它的近似形式 （2-12）采用使余量的加權(quán)積分為零來(lái)求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。加權(quán)余量法是求微分方程近似解的一處種有效方法。常用的權(quán)函數(shù)的選擇有以

8、下幾種：（1）配點(diǎn)法，這種方法相當(dāng)于簡(jiǎn)單地強(qiáng)迫余量在域內(nèi)個(gè)點(diǎn)上等于零；（2）子域法，該方法的實(shí)質(zhì)是強(qiáng)迫余量在個(gè)子域的積分為零；（3）最小二乘法，此方法實(shí)質(zhì)是使得近似解和權(quán)函數(shù)組成的泛函取最小值；（4）力矩法，該方法是強(qiáng)迫余量的各次矩等于零，通常又稱此法為積分法；（5）伽遼金法（Galerkin）。加權(quán)余量法可以用于廣泛的方程類(lèi)型，選擇不同的權(quán)函數(shù)，可以產(chǎn)生不同的加權(quán)余量法；通過(guò)采用等效積分的“弱”形式，可以降低對(duì)近似函數(shù)連續(xù)性要求當(dāng)近似函數(shù)滿足連續(xù)性和完備性要求、試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)不斷增加時(shí)，近似解可趨近于精確解。由于Galerkin具有廣泛的適用性，因此，下面簡(jiǎn)單介紹其基本原理：取，在邊界上，即

9、簡(jiǎn)單地利用近似解的試探函數(shù)序列作為權(quán)函數(shù)。近似積分形式可以寫(xiě)成 （2-13）由（2-9）式，可以定義近似解的變分為 其中是完全任意的。（2-13）式可更簡(jiǎn)潔地表示為 對(duì)于近似積分的“弱”形式（2-12）式則有 我們將會(huì)看到，在很多情況下，采用伽遼金法得到的求解方程的系數(shù)矩陣是對(duì)稱的，這是在用加權(quán)余量法建立有限元格式時(shí)幾乎毫無(wú)例外地采用伽遼金法的主要原因，而且當(dāng)存在相應(yīng)的泛函時(shí)，伽遼金法與變分法往往導(dǎo)致同樣的結(jié)果。2.2變分原理討論一個(gè)連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題的變分原理首先要建立一個(gè)標(biāo)量泛函，它由積分形式確定 （2-14）其中，是未知函數(shù)，和是特定的算子，是求解域，是的邊界。稱為未知函數(shù)的泛函，它隨函數(shù)的變

10、化而變化。連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題的解使泛函對(duì)于微小的變化取駐值，即泛函的“變化”等于零 （2-15）這種求得連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題解的方法稱為變分原理或變分法。如前所述，連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題中經(jīng)常存在著和微分方程及邊界條件不同的，但卻是等價(jià)的表達(dá)形式，變分原理是另一種表達(dá)連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題的積分表達(dá)形式。在用微分公式表達(dá)時(shí)，問(wèn)題的求解過(guò)程是對(duì)具有已知邊界條件的微分方程或微分方程組進(jìn)行積分。在經(jīng)典的變分原理表達(dá)中，問(wèn)題的求解過(guò)程是尋求使得具有一定已知邊界條件的泛函（或泛函系）取駐值的未知函數(shù)（或函數(shù)系）。這兩種表達(dá)形式是等價(jià)的，一方面滿足微分方程及邊界條件的函數(shù)將使泛函取極值或駐值，另一方面從變分的角度來(lái)看，使泛函取極值或駐值的

11、函數(shù)正是滿足問(wèn)題的控制微分方程和邊界條件的解。應(yīng)注意到，經(jīng)常有些物理問(wèn)題可以直接用變分原理的形式來(lái)敘述，如表述力學(xué)體系平衡問(wèn)題的最小位能原理和最小余能原理等，但是并非所有以微分方程表達(dá)的連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題都存在這種變分原理。研究表明，原問(wèn)題等效積分的Galerkin提法等效于它的變分原理，即原問(wèn)題的微分方程和邊界條件等效于泛函的變分等于零，亦即泛函取駐值。反之，如果泛函取駐值則等效于滿足問(wèn)題的微分方程和邊界條件，而泛函可以通過(guò)原問(wèn)題的等效積分的Galerkin提法而得到。Galerkin法的適用性比變分原理要強(qiáng)，原因是對(duì)于有的微分方程很難找到。對(duì)應(yīng)的泛函或根本找不到泛函，這時(shí)變分原理不適用，但Gal

12、erkin法仍然適用。如前所述，無(wú)論是加權(quán)余量法還是變分原理，雖然可以得到微分程的近似解，但是由于它是在全求解域中定義近似函數(shù)，因此實(shí)際應(yīng)用中會(huì)遇到兩方面的困難（1）在求解域比較復(fù)雜的情況下，選取滿足邊界條件的試探函數(shù)，往往會(huì)產(chǎn)生難以克制的困難，甚至有時(shí)做不到。（2）為了提高近似解的精度，需要增加待定參數(shù)，即增加試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，這就增加了求解的繁雜性。而且由于試探函數(shù)定義于全域，因此不可能根據(jù)問(wèn)題的要求，在求解域的不同部位對(duì)試探函數(shù)提出不同精度的要求，往往由于局部精度的要求使整個(gè)問(wèn)題的求解增加許多困難。變分有限元法和加權(quán)余量有限元法就是分別以變分原理和加權(quán)余量法為理論基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行單

13、元剖分，把整個(gè)的求解區(qū)域剖分成有限的小區(qū)域子域，然后在子域內(nèi)定義近似函數(shù)（近似解），因此稱為變分有限元法和加權(quán)余量有限元法。變分有限元法和加權(quán)余量有限元法雖然在本質(zhì)上與變分法和加權(quán)余量法是類(lèi)似的，但由于近似函數(shù)在子域（單元）上定義，因此可以克服上述兩方面的困難，并由于和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合，使得有限元法成為對(duì)物理、力學(xué)以及其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域問(wèn)題進(jìn)行分析、求解的有效工具。2.3 有限元方法的一般步驟在有限元法中，把所研究的連續(xù)介質(zhì)表示為一些小部分（稱為有限元）的集合。這些單元可認(rèn)為是一些稱為結(jié)點(diǎn)的指定結(jié)合點(diǎn)處彼此連接的。這些結(jié)點(diǎn)通常是置于單元的邊界上，并認(rèn)為相鄰單元就是在這些邊界上與它相連接的。由

14、于不知道連續(xù)介質(zhì)內(nèi)部的場(chǎng)變量（在固體力學(xué)中如位移、應(yīng)力，在滲流問(wèn)題中如壓力、飽和度）真實(shí)的變化，因此，我們假設(shè)有限元內(nèi)場(chǎng)變量的變化可以用一種簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似。這些近似函數(shù)（也稱為插值模式）可由場(chǎng)變量在結(jié)點(diǎn)處的值確定。當(dāng)對(duì)整個(gè)連續(xù)介質(zhì)寫(xiě)出場(chǎng)方程組（如平衡方程組）時(shí)，新的未知量就是場(chǎng)變量的結(jié)點(diǎn)值。求解場(chǎng)方程組（通常以矩陣方程形式表示），即得到場(chǎng)變量的結(jié)點(diǎn)值。一旦知道了這些結(jié)點(diǎn)值，則可由近似函數(shù)確定整個(gè)單元集合體的場(chǎng)變量。有限元法求解一般的連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題時(shí)，總是依次逐步進(jìn)行的。以與時(shí)間無(wú)關(guān)的物理問(wèn)題為例，說(shuō)明有限元法的基本步驟見(jiàn)圖2-2。（1）結(jié)構(gòu)或求解域的離散化。有限元法的第一步，是把求解域分割成許

15、多小部分或稱為單元，因而對(duì)于一個(gè)具體的有限元分析問(wèn)題，首先要用適當(dāng)?shù)挠邢拊呀Y(jié)構(gòu)進(jìn)行剖分，并確定單元的數(shù)量、類(lèi)型、大小和布置。（2）選擇適當(dāng)?shù)牟逯的Ｊ?。由于在任意給定的約束作用下，問(wèn)題的準(zhǔn)確解為未知，因此，我們假設(shè)用單元內(nèi)的一些適當(dāng)解來(lái)近似未知解。從計(jì)算的觀點(diǎn)看，假設(shè)的解必須簡(jiǎn)單，而且應(yīng)當(dāng)滿足一定的收斂性要求。通常，把解的插值模式取為多項(xiàng)式形式。（3）單元分析。即進(jìn)行單元?jiǎng)偠染仃嚭洼d荷向量的推導(dǎo)。根據(jù)假設(shè)的插值模式，利用平衡條件或適當(dāng)?shù)淖兎衷?，就可以推?dǎo)出單元的剛度矩陣和載荷向量，形成單元平衡方程。 （4）總體合成。集合各單元方程以得到總的平衡方程（組）。由于結(jié)構(gòu)是由若干個(gè)有限元組成的，因此，應(yīng)當(dāng)把各個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚭洼d荷向量按適當(dāng)方式進(jìn)行集合，從而建立如下形式的總的平衡方程： 其中，稱為集合剛度矩陣，或稱總體剛度矩陣；是整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)參數(shù)向量，是它的結(jié)點(diǎn)載荷向量。在不同領(lǐng)域的問(wèn)題中，所代表的物理量含意不同，如在固體力學(xué)問(wèn)題中代表結(jié)點(diǎn)處的位移，在滲流力學(xué)問(wèn)題中代表結(jié)點(diǎn)處的壓力，在熱學(xué)問(wèn)題中代表結(jié)點(diǎn)處的溫度。單位剖分單位分析總體合成引入邊界條件求解