有限元平面問題2

1、即： （由i,j,k輪換性知）同理可證：（作業(yè)：證明：）因此 （2-12）即形函數在自己節(jié)點上為1，在其余節(jié)點上為0。2. 在單元上任意一點，三個形函數之和為1，即。證明： （2-13）由此可見，三個形函數中只有2個是獨立的，即第三個可由其余兩個表示。3. ij邊上的形函數與節(jié)點k的坐標無關（i，j, k輪換），即在ij邊上有： （i，j, k輪換） （2-14）證明：設 節(jié)點i 坐標：,節(jié)點j 坐標：。 求：ij 邊的直線方程。 在邊上：由性質2 ：即在i ,j 邊上有： （2-15）證畢。同理知：（輪換）在jk邊上有： 在ki 邊上有： 幾何表示：五、三角形單元位移函數的收斂性（要點提示：

2、單元位移函數的三條收斂準則及意義）下面我們來驗證所設的位移函數 滿足收斂準則（三條）。1、 單元的位移函數解反映單元的剛體位移（包含有）由幾何方程： 尋找物體發(fā)生剛體位移的條件。若物體發(fā)生剛體位移，則有： 由得： 等式兩側分別為x和y的函數，要使其相等只有：積分： 式中為積分常數故位移：即：（不難證明）以上兩項是發(fā)生剛體位移的充要條件。因為這是的情形。故：事實上，將位移函數改變形式為：顯然可看出： （其它系數意義后述）2、 單元位移函數解反映單元的常應變由： 可以得到： 顯然：由此看出，但單元的各應變均為常量。故三角形單元在位移函數：下個典的各個應變量均為常量。故稱為常應變單元。3、 單元的位

3、移函數在單元內部連續(xù)，在邊界與相鄰單元協(xié)調。顯然，設 是單元內部的連續(xù)函數。下面考察下邊界上協(xié)調（一致）的問題。由形函數的第3條性質，我們證明：對于相鄰的兩個單元為公共邊界。ij邊上的N: 分別寫出兩個單元在公共邊上的位移表達式。對于單元，其位移函數為： （*）對于單元，其位移函數為： （*）Ij為單元，的公共邊界。由形函數的性質3我們知道： 僅與節(jié)點 i 有關。因此，對于：對于： 與節(jié)點k,m無關，僅與i, j 節(jié)點坐標及有關。- 已知常數- 節(jié)點位移唯一邊界上x唯一確定u,v由和比較及和比較知：在公共邊界上各點，ij上位移u,v是唯一的。由上知：三角形單元的位移函數 滿足收斂性條件。Not

4、e: 用三角形單元計算則位移是連續(xù)的。而應力、應變是階梯的。位移法（假設位移）的結果位移要好（比應力準確）。2-5 三角形單元的剛度矩陣（單剛）提示：我們已經建立了三角形單元的位移函數；導出了三角形單元的形函數；并用形函數來表示其位移函數；最后，我們證明了三角形單元位移函數的收斂性。下面我們要推導三角形單元的單元剛度矩陣。在推導單剛前我們還有些準備工作要做。一、 三角形單元的應變矩陣B將位移函數寫出來：其中： 把位移函數u,v代入幾何方程：寫成矩陣的形式就是：（單元上任一點的應變） （2-16）或 （2-17）式中： （2-18）或分塊： （2-19）式（2-16）表示單元節(jié)點位移與單元應變的

5、關系。矩陣稱為應變矩陣。式（2-18）表示應變矩陣為常數矩陣，再次證明三節(jié)點三角形單元為常應變單元。二、 三角形單元的應力矩陣由物理方程知： 用矩陣表示： （2-20）或縮寫為：（2-21）其中： （2-22）稱為彈性矩陣（僅與彈性常數有關）。把代入物理方程，得到：令 （2-23）則有： （2-24）式（2-24）表示應力與節(jié)點位移的關系。由式（2-23）給出，稱為三角形單元的應力矩陣。顯然，彈性矩陣及應變矩陣都是常量矩陣。故應力矩陣也是一個常量矩陣。因此三節(jié)點三角形單元的應變和應力都是常量。三、三角形單元的單剛建立了應力與節(jié)點位移的關系式（2-24），我們就可以推導單剛了。我們用虛功原理來推

6、導。一般來說，有限元的單剛最普通的方法是用變分原理來推導。求泛函的變分（functional 泛函的函數）。（在力學上就是最小泛解的變分原理）。由于我們尚未解除變分原理且對于彈力問題，用虛功原理推導就可以了。有人證明了用虛功原理推導和用最小泛解的變分原理來推導單剛，對于彈性力學的問題結果是一致的。下面我們用虛功原理來推導三節(jié)點三角形單元的單剛。1. 單剛的推導（單元是平衡的：對其應用虛功原理）如圖所示，三角形單元的節(jié)點位移和節(jié)點力為：節(jié)點位移：節(jié)點力：給定一組虛位移：（每個單元都可能有虛位移）（虛位移是人為假設的任意位移，其唯一的條件就是約束所允許）產生虛應變： 則單元的外虛功為：（節(jié)點力）單

7、元的內力虛功為：由虛功原理知： 我們設法把等式右側的應力和虛應變換成位移和虛位移表示：代入虛功方程右側：及都與x,y無關。在有限元中當我們研究一個單元時單元內的任一點位移可由節(jié)點位移表示，是x,y及節(jié)點位移的函數節(jié)點位移我們認為是已知量。故有： 可能是x,y的函數令： （2-25）則： （2-26）式（2-25）為三角形單元的單剛。式（2-26）為三角形單元的單元剛度方程。由于均為常數矩陣。故有： （2-27）書上P72已將各項展開。（把）大家可看一下。2. 單剛的物理意義把單剛分塊，則單元剛度方程可寫成： （2-28）展開得： 顯然：表示當時在i 節(jié)點產生的節(jié)點力 表示當時在i 節(jié)點產生的節(jié)

8、點力3. 單元的性質（與外力無關）1）是的對稱矩陣，即 （互等定理）且主元非負，且02）是奇異矩陣：（最簡單的想法，最笨的做法是證明|=0）是方陣，我們這樣做： 把1）、3）、5）三個加在一起。（見P123）看第一列相加的結果： 同理可證： 是奇異的。3）的影響因素A. 單元的幾何參數：大?。ㄆ骄忂^渡問題），厚度，方位（節(jié)點坐標差）B. 單元的材料特性：至此，我們已經推出了單剛，并對進行了討論。有了單剛后我們就可以利用平衡條件建立總剛了。36 結構剛度矩陣總剛提示：推導出單元的剛度矩陣，就意味著我們有了單元上節(jié)點力與節(jié)點位移的關系。與一維的問題相同，我們下一步工作就是要找到結構的總剛度矩陣。建

9、立以結構節(jié)點位移為未知數的結構剛度方程。一、節(jié)點的平衡方程（內力與外力的平衡）我們仍然用一個簡單的直觀的例子來推導總剛度方程，然后不失一般性的推廣到一般的結構。結構離散如圖所示，取出節(jié)點3來研究節(jié)點的平衡。首先寫出各單元的單元剛度方程。單元（1）單元（2）單元（3）單元（4）對節(jié)點3列出平衡方程外力：內力： 由平衡條件： 平衡方程二、總剛的形成（先寫方程，再定義總剛）結構的總剛度矩陣可由結構全部節(jié)點的平衡方程寫出。我們僅以例中的結構，第3 節(jié)點的平衡方程說明如何建立該結構的第三個方程（子塊）按節(jié)點形式展開節(jié)點3 的平衡方程：注意到： 則（按節(jié)點重排）：把該結構的總剛中第3個子塊寫出：在總剛度方

10、程中，總剛矩陣的第3行（子塊）的元素為第3 個節(jié)點全部相關單元的單剛中對應下標的元素（子塊）之和。（相關節(jié)點若i,j 同屬于e 則i ,j 為相關節(jié)點；相關單元與節(jié)點i 相連的單元為i 的相關單元）同理，由結構其余節(jié)點的平衡方程，可以得到總剛的全部內容：桿系結構的總剛中只解來自某一單剛。而平面問題可能來自兩個單剛。更一般地，對于一個結構，若將其離散為m 個單元，n 節(jié)點則有：其子塊 ； 或者寫為：總剛形成方法：1.對角線子塊為：節(jié)點i 相關單元（）的單剛中求和。即=2.非對角線子塊:因此，通俗一點就是：實際上，程序是按單剛中對應下標求和進行的。三、總剛度矩陣的性質1. 總剛k為對稱矩陣。（子塊

11、）可由單剛對稱性及總剛形成的方法看總剛是一個奇異矩陣明確的物理解釋總剛是一個稀疏矩陣必然的有許多非相關節(jié)點有條件的：帶狀稀疏（節(jié)點編號滿足螺旋法則）總剛度矩陣是奇異的，要進行約束處理（代入已知的邊界條件）荷載是節(jié)點載荷，不具一般性約束處理結構總剛度方程中，是奇異的，無法直接求解，需要進行約束處理處理方法與一維問題相同載荷處理（載荷移置）等效節(jié)點載荷一、問題的提出在有限元法中，結構離散后，單元之間的聯系及單元間力的傳遞都是通過節(jié)點實現的。在我們推導單元剛度方程及結構總剛方程時，我們也都隱含了一個假設，那就是：作用于單元上及結構上的載荷為節(jié)點載荷。那么到目前為止，對于一個彈性力學的平面問題，如果作用于結構上的所有荷載都是節(jié)點載荷（集中力），我們已經可以用有限元法求解問題了。但是，在實際的工程問題中，作用一個結構上的載荷是多種多樣的，也是比較復雜的。我們只有對任何種類的荷載都能用節(jié)點荷載來表示，有限元法才有生命力。對于一維桿系結構，它只是非常簡單的一種情況，我們用求解單跨超靜定梁的桿端力的辦法，就可以進行荷載處理了。但二維以上的問題（彈力）就不能作類似的簡單處理。例子如下（圖