期末點差法求中點弦

1、利用點差法求解圓錐曲線中點弦問題例1：求弦中點的軌跡方程已知點是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程。解：設直線與橢圓交點為，則有，兩式相減，得：，因為為中點，所以有： ，所以，故所求直線的方程為，即 。變式訓練1、過橢圓內一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。 （。）例2、存在性問題 已知雙曲線，經過點能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點是線段的中點。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。策略：這是一道探索性習題，一般方法是假設存在這樣的直線，然后驗證它是否滿足題設的條件。本題屬于中點弦問題，應考慮點差法或韋達定理。解：設存在被點平分的弦，且、則，兩式相減

2、，得故直線由消去，得這說明直線與雙曲線不相交，故被點平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。變式訓練2：已知雙曲線，過能否作直線，使與雙曲線交于，兩點，且是線段的中點，這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由. （直線不存在）例3平行弦中點軌跡，過定點弦中點軌跡已知橢圓，求斜率為的平行弦中點的軌跡方程.解：設弦的兩個端點分別為，的中點為.則，（1），（2）得：，.又，.弦中點軌跡在已知橢圓內，所求弦中點的軌跡方程為（在已知橢圓內）.變式訓練3-1已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程。3-2直線（是參數）與拋物線的相交弦是，則弦的中點軌跡方程是 .(.)3-3過橢圓上一點P（-8

3、，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程。（ （） ）例4求曲線方程已知橢圓的一條準線方程是，有一條傾斜角為的直線交橢圓于兩點，若的中點為，求橢圓方程.解：設，則，且，（1），（2）得：，（3）又，（4）而，（5）由（3），（4），（5）可得，所求橢圓方程為.變式訓練4.已知的三個頂點都在拋物線上，其中，且的重心是拋物線的焦點，求直線的方程.（.）例5求直線斜率已知橢圓上不同的三點與焦點的距離成等差數列.（1）求證：；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點為，求直線的斜率.（1）證略.（2）解：，設線段的中點為.又在橢圓上，（1），（2）得：，.直線的斜率，直線的方程為.令，得，即，直線的斜

4、率例6、圓錐曲線上兩點關于某直線對稱問題已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點關于該直線對稱。解：設，為橢圓上關于直線的對稱兩點，為弦的中點，則，兩式相減得，即，這就是弦中點軌跡方程。它與直線的交點必須在橢圓內聯立，得則必須滿足，即，解得變式訓練6 若拋物線上存在不同的兩點關于直線對稱，求實數的取值范圍. 綜合性問題例7、已知中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，求橢圓的方程。解：設橢圓的方程為，則設弦端點、，弦的中點，則， ，又，兩式相減得即 聯立解得，所求橢圓的方程是例8已知是橢圓不垂直于軸的任意一條弦，是的中點，為橢圓的中心.求證：直線和直線的斜率之積是定值.證明：設且，則，（1），（2）得：，.又，（定值）例9.已知橢圓C:經過M，是橢圓C的兩個焦點，且,O為橢圓C的中心。（1）求橢圓 C的方程（2）設P,Q是橢圓C上不同的兩點，且O為的重心，試求的面積此題請學生講解，這種方法不僅可以吸引學生聽講，也可增強學生數學表達能力。解：（1）由橢圓的定義知