回避平面角求二面角的大小

1、回避平面角求二面角的大小劉傳江 求二面角的大小歷來是高考立體幾何部分的考查熱點(diǎn)之一，而找出二面角的平面角往往又是解題的難點(diǎn)。本文以高考題為例，給出回避平面角來求二面角的大小的三種方法。方法一：將二面角的大小化歸為分別與兩個(gè)半平面共面且垂直于棱的兩個(gè)向量所成的角。例1. 如圖1，已知四棱錐P-ABCD，PBAD，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°。圖1（I）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；（II）求面PAB與面CPB所成二面角的大小。解：（I）過點(diǎn)P作底面ABCD的垂線，垂足為E。連結(jié)BE交AD于點(diǎn)F，則BE是PB在底面AB

2、CD內(nèi)的射影。因?yàn)镻BAD，所以由三垂線定理及其逆定理得ADBE，ADPF。于是PFB就是側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角，則PFB=120°，PFE=60°。因?yàn)閭?cè)面PAD是邊長等于2的正三角形，ADPF，所以AF=1，PF=。在RtPEF中，即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為。（II）因PBAD，AD/BC，則PBBC。在等腰三角形PAB中，AP=AB，取邊PB的中點(diǎn)G，則GAPB。向量與所成的角就等于面PAB與面CPB所成二面角的大小。以E為原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則有、，于是。，則。面PAB與面CPB所成二面角的大小為。使用此法時(shí)

3、要注意所選的兩個(gè)向量所成的角與二面角的關(guān)系。方法二：將二面角的大小化歸為兩個(gè)半平面的兩個(gè)法向量所成的角。例2. 如圖2，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1。求二面角C-DE-C1的正切值。圖2解：以A為原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，3，0）、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2）。于是，設(shè)向量與平面垂直，則，其中z>0。取n0=（-1，-1，2），則n0是一個(gè)與平面C1DE垂直的向量。向量與平面CDE垂直n0與所成的角為二面角C-DE-C1的平面角。使用此法時(shí)應(yīng)注意所取的兩個(gè)向量所成的角與二面角的關(guān)系。方法三：利用射影面積公式求解。例3. 同例2。解：由已知可得三角形C1DE在面ABCD內(nèi)的射影是三角形