互成角度的兩個(gè)平面鏡成像

1、兩個(gè)互成角度的平面鏡成像規(guī)律的研究廣東省珠海市第五中學(xué) 林遂弟內(nèi)容提要：本文運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)的極坐標(biāo)知識(shí)及中學(xué)物理光的反射定律，研究得出任意位置的物體通過互成任意角度的兩個(gè)平面鏡所成的像的位置及個(gè)數(shù)的規(guī)律，并介紹此規(guī)律在教學(xué)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：兩個(gè)平面鏡成像規(guī)律一、 從教學(xué)中引出的問題及思考 高二課外培優(yōu)小組的學(xué)生在學(xué)習(xí)了第七章光的反射和折射后，就兩道兩平面鏡組合成像的問題請(qǐng)教老師。 題1：如圖1，兩平面鏡M、M平行且兩鏡 面相對(duì)，兩鏡間一物點(diǎn)S到M距離3cm，到M距離7cm，求離S點(diǎn)最近的5個(gè)像的位置。 題2：如圖2，兩平面鏡鏡面的夾角為此60°， 兩鏡面間有一物點(diǎn)S，S一共可成幾個(gè)像？

2、上述兩題，均可以通過作圖法分析得出答案。 圖1但是，作圖難免有誤差，因此，作出像點(diǎn)的位置就不很準(zhǔn)確，甚至?xí)棺鲌D得到的成像個(gè)數(shù)與實(shí) 際不符，其次，兩鏡面所成夾角的大小有無數(shù)種 圖情況，不可能對(duì)每一角度都作圖分析，特別是當(dāng)兩鏡面夾角很小時(shí)，所成像的個(gè)數(shù)很多，若采用作圖法更加困難，且不準(zhǔn)確。 圖2 如何通過計(jì)算式確定每一像點(diǎn)的位置，每一像點(diǎn)的位置及成像的個(gè)數(shù)與鏡面夾角有何關(guān)系呢？對(duì)此問題，我查閱課本、教參書及其他有關(guān)資料，都找不到有關(guān)這一問題的論述。因此，我反復(fù)對(duì)這一問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和研究。二、對(duì)兩平面鏡組合成像規(guī)律的研究 通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩鏡面夾角在0°到180°間變化時(shí)，越大，

3、像的個(gè)數(shù)越少。對(duì)此，我曾試圖應(yīng)用平面幾何有關(guān)邊角關(guān)系、利用平面解析幾何知識(shí)，建立平面直角坐標(biāo)系及兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線距離公式、兩直線垂直關(guān)系求垂足坐標(biāo)等方法來研究本問題，結(jié) 果都因?yàn)橛?jì)算太繁雜，無法找出其規(guī)律，于是我改用平面解析幾何中的極坐標(biāo)知識(shí)來討論，比較簡便地得出其規(guī)律，下面介紹其推導(dǎo)過程。 設(shè)兩平面鏡M、M鏡面夾角為（單位為度，本文所述角度均以度為單位，0°180°），兩鏡面間有一物點(diǎn)S，分別通過兩鏡面的直線相交于0點(diǎn)，且使這兩直線及物點(diǎn)S也處于同一平面上，令OSR，OS與M的鏡面夾角為，建立如下極坐標(biāo)系：以O(shè)點(diǎn)為極點(diǎn)，以通過M的射線OM為極軸（如圖3），根據(jù)平

4、面鏡成像的特點(diǎn)，則物點(diǎn)S及各像點(diǎn)S1、S2、S3、S4、.的極坐標(biāo)標(biāo)示如圖（圖中用奇數(shù)下標(biāo)表示的像點(diǎn)S1、S3、S5、S7、為通過平面鏡M所成的像點(diǎn)，用偶數(shù)下標(biāo)表示的像點(diǎn)2、4、6、8、為通過平面鏡所成的像點(diǎn)）。、 各像點(diǎn)的位置由圖可以看到，物點(diǎn)和各像點(diǎn)1、2、3、4、都在以為圓心，半徑為的圓周上，各像點(diǎn)的位置可以用極坐標(biāo)的極徑和極角確定，各像點(diǎn)的極角如下表（表中3，7，11，15，等奇數(shù)）。 且像點(diǎn)n與n-1的極角互為相反數(shù)。像點(diǎn)極角像點(diǎn)極角123（）45（）67（）89（）10n-1n n+1n+2 、成像的個(gè)數(shù) 由圖可以看到，12，3OS4，56，78，91010，其余類推。因此可以得出

5、：當(dāng)兩平面鏡鏡面夾角為°（0°180°）時(shí)，物點(diǎn)經(jīng)兩平面鏡所成的像的個(gè)數(shù)為 2×360°÷2 即360÷對(duì)上式，有幾點(diǎn)必須說明：（1）.當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，成像個(gè)數(shù)為m，但最后兩個(gè)像重合于同一點(diǎn)，且在SO直線上，該點(diǎn)與O點(diǎn)距離等于OS，所以實(shí)際看到的像是（m）個(gè)。例如，當(dāng)60°時(shí)，成個(gè)像，而實(shí)際看到的像是個(gè)（如圖）。 圖4 圖5（）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，成像個(gè)數(shù)與實(shí)際看到的像的個(gè)數(shù)都為。例如當(dāng)°時(shí)，所成的像和實(shí)際看到的像都是個(gè)（如圖）。（）當(dāng)為非整數(shù)時(shí)，成像個(gè)數(shù)與看到的像的個(gè)數(shù)一致，但可能是小于的最大整數(shù)，也可能是大于的

6、最小整數(shù)（不能采用四舍五入的規(guī)則），這要根據(jù)物點(diǎn)的位置而定。例如，當(dāng)50°時(shí)，7.2，即成像可能是個(gè)也可能是個(gè)，當(dāng)25°時(shí)，成個(gè)像（如圖），當(dāng)10°時(shí)，成個(gè)像（如圖）。（）當(dāng)°時(shí)，成像為無限多個(gè)。（）當(dāng)180°時(shí)，即成像為個(gè)，實(shí)際看到的像是個(gè)，相當(dāng)于單塊平面鏡成像的情況。（） 當(dāng)兩鏡面的夾角大于180°時(shí)， 當(dāng)物點(diǎn)在兩鏡背面的夾角的對(duì)角范圍內(nèi)時(shí)則成兩個(gè)像（否則只是單個(gè)平面鏡成像），因?yàn)榇藭r(shí)從物點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)其中一平面鏡反射后不能再射到另一平面鏡上(如圖8)。 圖三、兩平面鏡組合成像規(guī)律在教學(xué)中的應(yīng)用得出上述規(guī)律之后，我為培優(yōu)小組的學(xué)生講解這個(gè)規(guī)律及推導(dǎo)過程，他們對(duì)這個(gè)規(guī)律表現(xiàn)出濃厚的興趣，并應(yīng)用這個(gè)規(guī)律來解決課外練習(xí)上的同類問題。例如，學(xué)生在末掌握兩平面鏡組合成像的規(guī)律之前采用作圖法討論兩鏡面成30°角時(shí)的成像個(gè)數(shù)，有的成10個(gè)像，有的成11個(gè)像，有的成12個(gè)像（最后兩個(gè)像不重合），到底應(yīng)成多少個(gè)像呢？學(xué)生覺得不可思議，當(dāng)學(xué)生掌握這一成像規(guī)律后，就輕易地解決了這一問題。對(duì)此，學(xué)生的體會(huì)是：把作圖法和計(jì)算法結(jié)合起來，解答這類問題便更加簡單、準(zhǔn)確。由此，我深深體會(huì)到，教師在教學(xué)中不但要幫助學(xué)生理解和掌握教材中已經(jīng)得出的規(guī)律，而且要善于歸納和推導(dǎo)教材中沒有給出的規(guī)律，以指導(dǎo)和幫助學(xué)生解決有關(guān)的問題，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生