對一則教學片斷的反思與改進

1、對一則教學片斷的反思與改進兼談教學中的具體到抽象付 超（重慶市黔江中學）高中數(shù)學課程應努力揭示數(shù)學概念、法則、結論的發(fā)展過程和本質，在學懂數(shù)學的過程中，除了經(jīng)常用到邏輯思維以外，重要的還有從具體現(xiàn)象到數(shù)學的一般抽象以及將一般結論應用到具體情況的思維過程。筆者以聽課時聽到的一則典型案例（“零點存在性定理”）的教學片斷為例具體闡述。一、教學片斷實錄實驗設計：給學生一條直線和一根細線(如圖1)，并記細線的兩個端點為A、B，讓學生動手。觀察在什么情況下一定能夠保證一條細線和給定的直線有交點？學生可以發(fā)現(xiàn)當點A和點B位于直線的兩側時，能夠滿足題意，而當點A和點B位于直線的同側時，有可能有交點，也有可能沒

2、有交點，故不一定有交點。引導學生從數(shù)的角度來分析，從而得到f(a)f(b)<0的結論。教師繼續(xù)問：在剛才的情況下(點A和點B在直線的兩側時)細線與給定直線已經(jīng)有交點了，請問你能設計出方案使他們沒有交點嗎？學生會有兩種方案：將點A和點B移到直線的同側(進一步說明了f(a) f(b)<0的必要性)；只要把細線剪斷即可(說明函數(shù)圖象必須是連續(xù)的)。通過上述探究，讓學生自己概括出零點存在性定理。設計意圖：因為f(a)f(b)<0且圖象在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷是函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上有零點的充分而非必要條件，學生對這點的理解比較困難，所以根據(jù)情況創(chuàng)設簡單明了的數(shù)學實驗，降低學生學習中

3、的難點（抽象性），讓學生直觀感受到函數(shù)零點存在性定理各條件的作用，從實驗的解決中領悟定理的本質。二、反思上述片斷中，教師設計了一個非常好的數(shù)學情境，為學生理解零點存在性定理做了很好的鋪墊，然而，教師并未真正完成從“具體”到“抽象”的過程?？梢园l(fā)現(xiàn)，教學的情境創(chuàng)設仍局限在“知識點”的思考上，淡化了一個重要的轉化，即將“具體實物模型”轉化為“函數(shù)模型”，然后利用“函數(shù)模型”解決具體問題，從而使教學的有效性受到極大影響。1. 從“局部”到“整體”的反思零點存在性判定定理的目的是通過函數(shù)的零點來研究方程的根，進一步突出函數(shù)思想的應用，也為求方程的解的個數(shù)做好知識上和思想上的準備。它起著承上啟下的作用，

4、教學中應突出這一點。第一，承上，應引導學生將具體的“實物形象”轉化為抽象的“函數(shù)圖象”；第二，啟下，應關注例題的教學，即將“求函數(shù)零點的問題”與求“方程的近似解的問題”建立起關聯(lián)性整合。2. 從“內隱”到“外顯”的反思零點存在性判定定理，教材不要求對其給予證明，關鍵在于讓學生通過感知體驗并加以確認。定理的條件和結論是學生學習的難點，因此學生的認識不能僅停留在實驗的操作層面和數(shù)的角度上，教師應提供“從內隱到外顯”的機會，設計“從內隱到外顯”的通道。第一，在具體的“函數(shù)圖象”中得出零點存在的條件。定理的教學，應關注抽象的過程，即將“直線與細線的交點”與“函數(shù)的零點”建立起關聯(lián)性整合，通過引導學生觀

5、察函數(shù)圖象與軸的交點情況，來研究函數(shù)零點的情況。第二，引導學生從正面、反面、側面等不同的角度重新進行審視，如數(shù)圖象不連續(xù)、f(a)f(b)>0、f(a)f(b)<0且函數(shù)在區(qū)間上不單調、f(a)f(b)<0且函數(shù)在區(qū)間上單調等各種情況，加深學生對零點存在性定理的理解。三、改進教學以“實驗操作”為基礎，輔之以“問題驅動”，通過類比分析將歸納方法與嚴密思考相結合，直觀與抽象相結合，使學生思維的發(fā)展是一個清晰的“螺旋上升”的過程?？梢詷嫿ㄈ缦驴蚣埽骸皩嶒炘O計，提出問題”“類比分析，得出結論” “引導觀察、闡述定理” “定理應用、承上啟下”。1. 實驗設計，提出問題給學生一條直線和一

6、根細線，并記細線的兩個端點為A、B。問題1：觀察在什么樣的情況下能夠保證這條細線和給定的直線：(1)一定有交點；(2)不一定有交點；(3)沒有交點。問題2：觀察圖2，這是某地在12月份幾天內的一張氣溫變化模擬函數(shù)圖(即一個連續(xù)函數(shù)圖象)片斷，圖象中有一段被墨水污染了。(1)將4日到8日之間的函數(shù)圖象補充完整。(2)現(xiàn)在有人想了解一下4日至8日之間是否有某天的溫度為0，你能幫他嗎？2. 類比分析，得出結論問題3：兩個問題有什么共同的地方？能具體解釋嗎？生：兩者很相似。將直線看做x軸，將細線看做函數(shù)圖象，那么直線和細線的交點的橫坐標就是函數(shù)的零點。師：很好，直線給了我們x軸的印象，細線給了我們函數(shù)

7、圖象的印象，直線和細線的交點給了我們函數(shù)零點的印象。那么“某時刻的溫度為0”的問題，就可以看做是求什么？生：求函數(shù)零點的問題。師：結合實物操作和你所畫的圖象，再進一步思考函數(shù)存在零點需滿足什么條件？生：區(qū)間兩個端點的函數(shù)值應異號。師：能結合問題說明嗎？生：當點A和點B在直線的兩側時，將直線看作x軸，將細線看做函數(shù)圖象，A、B兩點的函數(shù)值為一正一負，此時細線和直線一定有交點。師：很好，你觀察得非常仔細，更可貴的是你對零點的定義的理解，其他同學有補充的嗎？生：我認為還應滿足一個條件，函數(shù)在給定的區(qū)間上應該是連續(xù)不斷的。師：能說明理由嗎？生：如圖2，函數(shù)在區(qū)間4，8上的兩個端點的值已互為異號，若中間

8、部分不定義，就不會有零點。師：也就是說，我們還應該考慮一個問題，即不是連續(xù)函數(shù)結論不成立（結合y=+2的圖象說明。）師：還有補充嗎？ 生：我覺得函數(shù)在區(qū)間4,8上的零點可以有兩個。師：不錯，提出了一個很好的問題，但這是另外一個問題了，我們可以先放一下，待會兒解決，還有其他補充嗎？師：也就是說，函數(shù)要有零點，有兩個條件缺一不可：(1)函數(shù)圖象是連續(xù)的；(2)f(a) f(b)<0。(給出零點存在性定理。) 3. 引導觀察，闡述定理問題4：f(a)f(b)>0，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上一定沒有零點嗎？問題5：若f(a)f(b)<0，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a.b上只有一個零點

9、嗎？可能有幾個？問題6：f(a)f(b)<0時，增加什么條件可確定y=f(x)在a,b上只有一個零點？結合y=x4+2x3-2x2-2x的圖象說明問題。4. 定理應用，承上啟下例 求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點的個數(shù)。 問題7：能否確定一個區(qū)間使函數(shù)在該區(qū)間上有零點。生：用“試值法”，發(fā)現(xiàn)f(2)<0，f(3)>0，因此，區(qū)間(2,3)上有零點(教師補充“圖象法”，如圖3。) 問題8：該函數(shù)有幾個零點？為什么？ 生：一個。因為f(x)=lnx是增函數(shù)，f(x)=2x-6是增函數(shù)，所以f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間 (2,3)內單調遞增。 問題9：剛才問題3中有同學提出了一個好問題，我們一起看看，函數(shù)在區(qū)間4,8上的零點可能有兩個嗎？ 生：要具體問題具體分析。假如此時函數(shù)是單調遞增函數(shù)，則零點為一個；假如函數(shù)不是單調遞增函數(shù)，則零點可能為多個。 數(shù)學是思維的體操。源于抽象性是數(shù)學的特征之一，教學在表達上需要確切，結論的正確性只能靠邏輯的演繹證明，然而任何抽象的數(shù)學概念