線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性

1、第3章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性本 章 內(nèi) 容3.1 能控性的定義3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性3.4 離散時間系統(tǒng)的能控性與能觀性3.5 時變系統(tǒng)的能控性與能觀性3.6 能控性與能觀性的對偶關(guān)系3.7 狀態(tài)空間表達(dá)式的能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.9 傳遞函數(shù)陣的實現(xiàn)問題3.1 能控性的定義1. 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性定義對于狀態(tài)方程為的線性定常連續(xù)系統(tǒng)，如果存在一個分段連續(xù)的輸入，能在有限時間區(qū)間內(nèi)，使系統(tǒng)由某一狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終端狀態(tài)，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能（可）

2、控的；或使系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終端狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是能（可）控的。2 線性連續(xù)時變系統(tǒng)的能控性定義線性連續(xù)時變系統(tǒng)：3 離散時間系統(tǒng)只考慮單輸入的n階線性定常離散系統(tǒng)：3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別 線性定常系統(tǒng)能控性判別準(zhǔn)則有兩種形式，一種是先將系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)變換，把狀態(tài)方程化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型，再根據(jù) 陣，確定系統(tǒng)的能控性；另一種方法是直接根據(jù)狀態(tài)方程的 A陣和 B 陣，確定其能控性。3.2.1 具有約旦標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)的能控性判別1 單輸入系統(tǒng)具有約旦標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)矩陣的單輸入系統(tǒng)，狀態(tài)方程為：或式中，n個互異根，下面分別對以下三個系統(tǒng)的能控性進(jìn)行分析：，； 即 ， ，； 即 ， ，； 即 ，

3、結(jié)論：系統(tǒng)矩陣為約旦陣時具有串聯(lián)結(jié)構(gòu)，因狀態(tài)變量之間存在耦合，要保證系統(tǒng)能控，從模擬結(jié)構(gòu)圖來看，必須且只需輸入出發(fā)的信號線 “流向”最前端的狀態(tài)變量；其它狀態(tài)變量將間接受到的控制；對狀態(tài)方程而言，只需每個約旦塊的最后一個方程包含輸入項即可，即每個約旦塊最后一行對應(yīng)的的相應(yīng)行的元素中至少有一個不為零。2.具有一般系統(tǒng)矩陣的多輸入系統(tǒng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別1 能控性矩陣判別準(zhǔn)則：定理 線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)完全可控的充要條件是由陣所構(gòu)成的能控性判別矩陣滿秩，即 式中，是矩陣的維數(shù)。證明 該系統(tǒng)的解為再由能控性的定義，若系統(tǒng)能控，則對于任意初始狀態(tài)向量應(yīng)能找到輸入，使之在有

4、限時間區(qū)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。令，且，即 因為 由凱萊哈密頓定理，得 代入： 所以， 為維矩陣，為維矢量，定積分也為維矢量，其中代入得： 令為維列矢量則分析：上式是具有個變量，個方程的線性非齊次方程組，是維矩陣，其元素已知；是給定的初始狀態(tài)， 個元素已知；是個元素的矢量，其元素待求已知，與控制向量有關(guān)；能控性問題轉(zhuǎn)化成任意給定一個初始狀態(tài)，求在時間內(nèi)將狀態(tài)由的控制向量 ，即給定和系數(shù)矩陣，從該式中求出；由線性方程組解的定理知：有解的充要條件是系數(shù)矩陣 和增廣矩陣的秩相等，即，由于是任意給定的，則必有滿秩，即，稱 為能控性判別矩陣；特例：當(dāng)時，需滿足。例 判別下列系統(tǒng)的能控性解 構(gòu)造并計算能控性判別

5、矩陣可見矩陣第一行和第三行完全相同，故，而，所以該系統(tǒng)不能控。2 約旦（包括對角線）標(biāo)準(zhǔn)化后的能控性判別準(zhǔn)則 非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性 證明：經(jīng)非奇異變換后為式中，變換陣為則變換后能控性判別矩陣由于 ，則 由線性代數(shù)理論可知：任意矩陣用一個非奇異矩陣左乘、右乘后秩不變。從上式說明，非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性。3.3 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能觀性1 能觀性的定義通過有限時間內(nèi)的輸出值，能否觀測系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量。定義： 設(shè)系統(tǒng)齊次狀態(tài)空間表達(dá)式為 如果對任意給定的輸入，在有限觀測時間，使的根據(jù)期間的輸出能唯一地確定系統(tǒng)在初始時刻時的狀態(tài)，則稱狀態(tài)是能（可）觀測的。若系統(tǒng)的每一個狀態(tài)都是能觀測的

6、，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能（可）觀測的，或簡稱是能（可）觀的。說明：定義中把能觀性定義對初始狀態(tài)的確定，因為一旦確定初始狀態(tài)，便可求出各個瞬時狀態(tài)； ，一般 。2 能觀性判別準(zhǔn)則1） 能觀性矩陣判別準(zhǔn)則：定理 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充要條件是其能觀測判別矩陣 滿秩，即。證明 將狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程則輸出為：由凱萊哈密頓定理，得所以 可以寫為：分析： 上式子可看成一個含有個未知量的個方程的線性方程組。當(dāng)時方程無唯一解，為了要唯一地解出個初始狀態(tài)變量，必須由個不同時刻的輸出值組成具有個方程式的線性方程組（注意為維矢量），即 即 式中 為行，列的矩陣；為維矢量；為維矢量。由線性方程組解的定理知，要使的

7、解存在且唯一，其充分必要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同且等于，即 由可以看出，欲使矩陣的秩等于，則要求維矩陣： 滿秩，即或?qū)憺闈M秩 2）約旦（包括對角線）標(biāo)準(zhǔn)化后的能觀性判別準(zhǔn)則定理 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)陣具有互異特征值，則其狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角線標(biāo)準(zhǔn)型中的中所有（各）列元素不全為零。對于重特征值，即使陣呈現(xiàn)對角線標(biāo)準(zhǔn)型，也不能用這個判據(jù)。定理 包含有重特征值的階系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型式中 實例分析：系統(tǒng)1： 解狀態(tài)方程和輸出方程得： 模擬結(jié)構(gòu)圖為分析：由圖中可看出，若滿足系統(tǒng)完全能觀，則中每一列元素不能全為零，即圖中 至少有一個不為零，若它們?nèi)珵?，

8、則輸出中不包含，由于對角線標(biāo)準(zhǔn)型對應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖呈并聯(lián)結(jié)構(gòu)，即間不存在相互影響，則中只能考慮是否直接包含 即可。結(jié)論：、模擬結(jié)構(gòu)圖中所有狀態(tài)變量至少流向的一個分量；、狀態(tài)方程中每個狀態(tài)變量至少在輸出方程出現(xiàn)一次，即 中各列元素不全為零。系統(tǒng)2：狀態(tài)方程的解為 代入輸出方程得 分析：由上式可知，當(dāng)且僅當(dāng) 中第一列元素不全為零時，中總包含， 陣其他列可全為零，故為約旦陣且相同特征值分布在一個約旦塊內(nèi)時，輸出陣中與約旦塊最前一列對應(yīng)的列不全為零。3.4 離散時間系統(tǒng)的能控性與能觀性3.4.1 能控性矩陣 M離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：當(dāng)系統(tǒng)為單輸入系統(tǒng)時，式中為標(biāo)量控制作用控制陣為維列矢量；G為系統(tǒng)

9、矩陣；為狀態(tài)矢量。 3.4.2 能觀性矩陣N離散時間系統(tǒng)的能觀性，是從下述兩個方程出發(fā)的。式中, 為維列矢量；C 為輸出矩陣 根據(jù)能觀性定義，如果知道有限采樣周期內(nèi)的輸出，就能唯一地確定任意初始狀態(tài)矢量 ，則系統(tǒng)是完全能觀的，現(xiàn)根據(jù)此定義推導(dǎo)能觀性條件。有： 若系統(tǒng)能觀，并且已知時，應(yīng)能確定出 ，可得： 有唯一解的充要條件是其系數(shù)矩陣的秩等于 。這個系數(shù)矩陣稱為能觀性矩陣。仿連續(xù)時間系統(tǒng)，記為N。即3.5 時變系統(tǒng)的能控性與能觀性3.5.1 能控性判別1. 有關(guān)線性時變系統(tǒng)能控性的幾點說明1) 定義中的允許控制，在數(shù)學(xué)上要求其元在 區(qū)間是絕對平方可積的，這個限制條件是為了保證系統(tǒng)狀態(tài)方程的解存

10、在且唯一。2) 定義中的，是系統(tǒng)在允許控制作用下，由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)狀態(tài)(原點)的時刻。3) 根據(jù)能控性定義，可以導(dǎo)出能控狀態(tài)和控制作用之問的關(guān)系式。4) 非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性。5) 如果是能控狀態(tài)，則 也是能控狀態(tài)，是任意非零實數(shù)。6) 如果和是能控狀態(tài)，則 也必定是能控狀態(tài)。7) 由線性代數(shù)關(guān)于線性空間的定義可知，系統(tǒng)中所有的能控狀態(tài)構(gòu)成狀態(tài)空間中的一個子空間。此子空間稱為系統(tǒng)的能控子空間。2 線性連續(xù)時變系統(tǒng)的能控性判別3.5.2 能觀性判別1有關(guān)線性時變系統(tǒng)能觀性的幾點討論 1) 時間區(qū)間是識別初始狀態(tài)所需要的觀測時間，對時變系統(tǒng)來說，這個區(qū)問的大小和初始時刻的選擇有關(guān)。2)

11、對系統(tǒng)作線性非奇異變換，不改變其能觀測性。3)如果是不能觀測的，為任意非零實數(shù)，則也是不能觀測的。4)如果和 都是不能觀的，則也是不能觀的。5)根據(jù)前面分析可以看出，系統(tǒng)的不能觀測狀態(tài)構(gòu)成狀態(tài)空間的一個子空間，稱為不能觀子空間，記為 。只有當(dāng)系統(tǒng)的不能觀子空間。在狀態(tài)空間中是零空間，則該系統(tǒng)才是完全能觀的。2線性連續(xù)時變系統(tǒng)能觀性判別3.6 能控性與能觀性的對偶關(guān)系能控性與能觀性有其內(nèi)在關(guān)系，這種關(guān)系是由卡爾曼提出的對偶原理確定的，利用對偶關(guān)系可以把對系統(tǒng)能控性分析轉(zhuǎn)化為對其對偶系統(tǒng)能觀性的分析。從而也溝通了最優(yōu)控制問題和最優(yōu)估計問題之間的關(guān)系。3.6.1 線性系統(tǒng)的對偶關(guān)系1、 定義對于定常

12、系統(tǒng)和的狀態(tài)空間表達(dá)式分別為 若滿足下列條件：則稱與互為對偶。式中 維狀態(tài)矢量； 分別為與維控制矢量； 分別為與維輸出矢量； 系統(tǒng)矩陣； 分別為與控制矩陣；分別為與輸出矩陣2、 特性1）對偶系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣之間的關(guān)系為矩陣：為矩陣 結(jié)論：對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置。2）對偶系統(tǒng)特征方程之間的關(guān)系結(jié)論：對偶系統(tǒng)的特征方程相同，特征值不變。3.6.2 對偶原理定理 若系統(tǒng)與是互為對偶的兩個系統(tǒng)，則的能控性等價于的能觀性，的能觀性等價于的能控性。證明 3.7 狀態(tài)空間表達(dá)式的能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型（1）同一系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式不唯一，通過非奇異變換，不改變系統(tǒng)的能控/能觀性，通過非奇異變換：化為約旦

13、標(biāo)準(zhǔn)型-方便狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計算 化為能控標(biāo)準(zhǔn)型-便于實現(xiàn)狀態(tài)反饋 化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型-便于設(shè)計狀態(tài)觀測器（2） 前提：只有系統(tǒng)完全能控/能觀，才能化成相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)型。3.7.1 單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型1） 能控標(biāo)準(zhǔn)型型定理 若線性定常單輸入系統(tǒng) 能控，則存在線性非奇異變換 式中 變換為如下能控標(biāo)準(zhǔn)I型 式中 為特征多項式的各項系數(shù)；是相乘的結(jié)果，即 2） 由能控標(biāo)準(zhǔn)型得求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣3）能控標(biāo)準(zhǔn)II型定理 若線性定常單輸入系統(tǒng) 能控，則存在線性非奇異變換 ,式中，將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為如下能控標(biāo)準(zhǔn)II型 式中 式中的是矩陣特征多項式的各項系數(shù)；式中是相乘的結(jié)果，即 3.7.2 單輸出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)

14、型1)能觀標(biāo)準(zhǔn)I型定理 若線性定常系統(tǒng) 能觀，則存在非奇異變換，（為能觀性判別矩陣），將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為如下能觀標(biāo)準(zhǔn)I型 式中 式中，是矩陣特征多項式的各項系數(shù)；為相乘的結(jié)果，具體計算式和能控標(biāo)準(zhǔn)II型的相應(yīng)計算式相同。2)能觀標(biāo)準(zhǔn)II型定理 若線性定常單輸出系統(tǒng) 能觀，則存在非奇異變換 式中 將狀態(tài)空間表達(dá)式（9.167）變換為如下能觀標(biāo)準(zhǔn)II型 式中 式中，是矩陣特征多項式的各項系數(shù)；為相乘的結(jié)果，具體計算式和能控標(biāo)準(zhǔn)I型的相應(yīng)計算式相同。3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.8.1 按能控性分解設(shè)線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控，其能控性判別矩陣：的秩則存在非奇異變換：將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為：

15、其中 可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式變換后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間就被分解成能控的和不能控的兩部分，其中n維子空間：是能控的，而維子系統(tǒng)：是不能控的。至于非奇異變換陣： 其中n個列矢量可以按如下方法構(gòu)成，前個列矢量 是能控性矩陣M中的n個線性無關(guān)的列，另外的 個列 在確保為非奇異的條件下，完全是任意的。3.8.2 按能觀性分解設(shè)線性定常系統(tǒng)：其狀態(tài)不完全能觀的，其能觀性判別矩陣的秩則存在非奇異變換將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為：其中可見，經(jīng)上述變換后系統(tǒng)分解為能觀的n1維子系統(tǒng)：和不能觀的n-n1維子系統(tǒng)：3.8.3 按能控性和能觀性進(jìn)行分解 1)如果線性系統(tǒng)是不完全能控和不完全能觀的，若對該系統(tǒng)同時按能控性和

16、能觀性進(jìn)行分解，則可以把系統(tǒng)分解成能控且能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四部分。當(dāng)然，并非所有系統(tǒng)都能分解成有這四個部分的。2)變換矩陣R確定之后只需經(jīng)討一次變換便可對系統(tǒng)同時按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解但是R陣的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。3)結(jié)構(gòu)分解的另一種方法：先把待分解的系統(tǒng)化約旦標(biāo)準(zhǔn)型，然后按能空判別法則和能管判別個狀態(tài)變量的能控型和能觀性，最后按能控能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四種類型分類排列，即可組成相應(yīng)的子系統(tǒng)。3.9 傳遞函數(shù)陣的實現(xiàn)問題3.9.1 實現(xiàn)問題的基本概念對于給定傳遞函數(shù)陣 W(s)，若有一狀態(tài)空間表達(dá)式：使之成立則稱該狀態(tài)空間表達(dá)式為傳遞函數(shù)陣W(s)的一個實現(xiàn)。3.9.2 能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)對于一個單輸入單輸出系統(tǒng)，一旦給出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，便可以直接寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)。本節(jié)介紹如何將這些標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)。為此，必須把維的傳遞函數(shù)陣寫成和單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相類似的形式，即式中 為維常數(shù)陣；分母多項式為該傳遞函數(shù)陣的特征多項式。3.9.3最小實現(xiàn)1.最小實現(xiàn)的定義傳遞函數(shù)W(s)的一個實現(xiàn)：如果W(s)不