第９章　不等式與不等式組

1、第9課 不等式與不等式組 1 1定義：定義：(1)用用 連接起來(lái)的式子叫做不等式；連接起來(lái)的式子叫做不等式；(2)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做使不等式成立的未知數(shù)的值叫做 ；(3)一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫做做 ；(4)求不等式的解集的過(guò)程或證明不等式無(wú)解的過(guò)求不等式的解集的過(guò)程或證明不等式無(wú)解的過(guò)程，叫做解不等式程，叫做解不等式要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理不等號(hào)不等號(hào)不等式的解不等式的解不等式的解集不等式的解集2不等式的基本性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)： (1)不等式兩邊都不等式兩邊都 同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式， 不等式仍然成立；若不等式仍然成立

2、；若ab，則，則acbc. (2)不等式兩邊都不等式兩邊都 同一個(gè)正數(shù)，不等式仍然同一個(gè)正數(shù)，不等式仍然 成立；若成立；若ab，c0，則，則acbc， . (3)不等式兩邊都不等式兩邊都 同一個(gè)負(fù)數(shù)，改變不等號(hào)同一個(gè)負(fù)數(shù)，改變不等號(hào) 的方向，改變后不等式仍能成立；若的方向，改變后不等式仍能成立；若ab，c0，則，則 acbc， b，得，得acbc B由由ab，得，得2ab，得，得ab D由由ab，得，得a2b，又，又20，得，得2a1在數(shù)軸上表示正確的是在數(shù)軸上表示正確的是() 解析：解析：x1不包括不包括1，可排除，可排除B、D，而，而A表示表示x1，故選，故選C.C3(2011潛江潛江)某

3、不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖，則某不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個(gè)不等式組可能是這個(gè)不等式組可能是() A. B. C. D. 解析：觀察解集在數(shù)軸上的表示，可知解析：觀察解集在數(shù)軸上的表示，可知x2且且x3.B4(2011蘇州蘇州)不等式組不等式組 的所有整數(shù)解之和是的所有整數(shù)解之和是() A9 B12 C13 D15 解析：解析： 解之，得解之，得3x6， 整數(shù)整數(shù)x3或或4或或5，其和為，其和為34512.B5(2011日照日照)若不等式若不等式2x4的解都能使關(guān)于的解都能使關(guān)于x的一次不等式的一次不等式(a1)xa5成立，則成立，則a的取值范圍是的取值范圍是() A1a7 Ba

4、7 Ca1或或a7 Da7 解析：由解析：由2x4得得x2； 由由(a1)xa5，得，得，x0，a1. 又又x2使使(a1)xa5成立，成立， 所以所以2 ，2(a1)a5，a7，故，故1a7.A題型一不等式的性質(zhì)題型一不等式的性質(zhì)【例【例 1】 若若ab0，則下列式子：，則下列式子：a11；abab； 中，正確的有中，正確的有() A1個(gè)個(gè) B2個(gè)個(gè) C3個(gè)個(gè) D4個(gè)個(gè) 解析：解析：ab0，a1b11. 而而ab0， abab. 0. 正確的有正確的有、，應(yīng)選，應(yīng)選C.題型分類(lèi)題型分類(lèi) 深度剖析深度剖析C探究提高探究提高 將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)加上將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)加上(或減去或減去)同一個(gè)

5、數(shù)，不等號(hào)方向同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向肯定不變；將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)乘以肯定不變；將一個(gè)不等式兩邊同時(shí)乘以(或除以或除以)同一個(gè)不確定同一個(gè)不確定的數(shù)，則需要進(jìn)行分類(lèi)討論的數(shù)，則需要進(jìn)行分類(lèi)討論知能遷移知能遷移1(1)若若ab，則下列各式中一定成立的是，則下列各式中一定成立的是() Aa1 Cab Dacbc 解析：解析：ab，a10 Bab0 Cab0 D|a|b|0 解析：解析：b0|a|，ab0正確，應(yīng)選正確，應(yīng)選C.C題型二一元一次不等式解法題型二一元一次不等式解法【例【例 2】解不等式】解不等式5x122(4x3)，并把它的解集在數(shù)軸上，并把它的解集在數(shù)軸上表示出表示出 解：解：5x12

6、2(4x3)， 5x128x6, 5x8x612， 3x6， x2. 在數(shù)軸表示如下：在數(shù)軸表示如下：探究提高探究提高 整個(gè)解一元一次不等式的過(guò)程與解一元一次方程極為相似，整個(gè)解一元一次不等式的過(guò)程與解一元一次方程極為相似，只是最后一步把系數(shù)化為只是最后一步把系數(shù)化為1時(shí)，需要看清未知數(shù)的系數(shù)是正數(shù)時(shí)，需要看清未知數(shù)的系數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是正數(shù)，不等號(hào)方向不變；如果是負(fù)數(shù)，不等還是負(fù)數(shù)，如果是正數(shù)，不等號(hào)方向不變；如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變號(hào)方向改變知能遷移知能遷移2解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)： 1 2x5. 解：解： 1 2x5， 3(x1)2

7、x14x10， 3x32x14x10， 3xx4x11032，2x10， x5.題型三一元一次不等式組的解法題型三一元一次不等式組的解法【例【例3】解不等式組】解不等式組 并寫(xiě)出該不等式并寫(xiě)出該不等式組的整數(shù)解組的整數(shù)解 解題示范解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 解：由解：由得得x1， 22分分 由由得得x2， 44分分 2x1，整數(shù)，整數(shù)x1或或0或或1. 55分分 答：原不等式組的整數(shù)解是答：原不等式組的整數(shù)解是1,0,1. 66分分 探究提高探究提高 求不等式組的解集，不管組成這個(gè)不等式組的不等式有幾求不等式組的解集，不管組成這個(gè)不等式組的不等式有幾個(gè)

8、，都要先分別求解每一個(gè)不等式，再利用口訣個(gè)，都要先分別求解每一個(gè)不等式，再利用口訣“兩大取其兩大取其大，兩小取其小，大小取其中，無(wú)中不相容大，兩小取其小，大小取其中，無(wú)中不相容”或利用數(shù)軸求或利用數(shù)軸求出它們的公共解集，還要確定其中的特殊解出它們的公共解集，還要確定其中的特殊解知能遷移知能遷移3 (1)解不等式組解不等式組 并把它的解表示在數(shù)軸集上并把它的解表示在數(shù)軸集上 解：解： 3x2.(2)解不等式：解不等式：1 6. 解：解：1 6， 32x118，22x19，1x9.5.(3)已知關(guān)于已知關(guān)于x的不等式組只有四個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的不等式組只有四個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍 解

9、：原不等式組的解集是解：原不等式組的解集是ax2，四個(gè)整數(shù)解指，四個(gè)整數(shù)解指1,0,1,2, 30. 解：解：x29(x3)(x3)，(x3)(x3)0. 由有理數(shù)的乘法法則由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號(hào)得正兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”，得，得 (1) (2) 解不等式組解不等式組(1)，得，得x3， 解不等式組解不等式組(2)，得，得x0的解集為的解集為x3或或x0的解集為的解集為x3或或x3. 問(wèn)題：求分式不等式問(wèn)題：求分式不等式 0的解集的解集解：解： 0， 或或 解不等式組解不等式組，無(wú)解；解不等式組，無(wú)解；解不等式組得得 x . 即不等式即不等式 0的解集是的解集是 x .探究提高探究提

10、高 本題應(yīng)用有理數(shù)的乘除法法則本題應(yīng)用有理數(shù)的乘除法法則“兩數(shù)相乘除，同號(hào)得正，兩數(shù)相乘除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)異號(hào)得負(fù)”分類(lèi)討論因式、分子、分母的正負(fù)，列出不等分類(lèi)討論因式、分子、分母的正負(fù)，列出不等式組，解出不等式組，即得原不等式的解集這里也體現(xiàn)了式組，解出不等式組，即得原不等式的解集這里也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想知能遷移知能遷移4(1)已知方程組已知方程組 的解滿足不等式的解滿足不等式4x5y9，求，求a的取值范圍的取值范圍 解：解： 又又4x5y9， 4(5a)5(a5)9， 20a5a259, 25a34，a .(2)設(shè)關(guān)于設(shè)關(guān)于x的不等式組的不等式組 無(wú)解，求無(wú)解，求m的取

11、值范圍的取值范圍 解：解： 不等式組無(wú)解，不等式組無(wú)解， ，3(m2)2(2m1)， 3m64m2, 3m4m26， m8，m8.5 5明確不等式組解集的意義明確不等式組解集的意義試題已知關(guān)于試題已知關(guān)于x的不等式組的不等式組 的整數(shù)解共有的整數(shù)解共有5個(gè)，個(gè)，求求a的取值范圍的取值范圍學(xué)生答案展示學(xué)生答案展示 解：由不等式組解：由不等式組 得得 又因?yàn)椴坏仁浇M有又因?yàn)椴坏仁浇M有5個(gè)整數(shù)解，個(gè)整數(shù)解， 所以所以ax2，這，這5個(gè)整數(shù)解應(yīng)是個(gè)整數(shù)解應(yīng)是3,2,1,0,1， 所以所以a3.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示剖析剖析 本題主要考查學(xué)生是否會(huì)利用逆向思維法解決含有待定字母本題主要考查學(xué)生是否會(huì)利用逆向思

12、維法解決含有待定字母的一元一次不等式組的特解，此例錯(cuò)在忽視了在的一元一次不等式組的特解，此例錯(cuò)在忽視了在ax2中有中有5個(gè)個(gè)整數(shù)解時(shí)，整數(shù)解時(shí)，a雖不唯一，但也有一定限制，雖不唯一，但也有一定限制，a的取值范圍在的取值范圍在3與與4之間的任一處，其中包括之間的任一處，其中包括3但不包括但不包括4，所以在確定，所以在確定a的的取值范圍時(shí)擴(kuò)大了解的范圍取值范圍時(shí)擴(kuò)大了解的范圍正解正解 由由 得得 又因不等式組有又因不等式組有5個(gè)整數(shù)解，個(gè)整數(shù)解， 所以所以ax2.則知這則知這5個(gè)整數(shù)解應(yīng)是個(gè)整數(shù)解應(yīng)是3,2,1,0,1， 所以所以a的取值范圍是的取值范圍是4a3.批閱筆記批閱筆記 本題主要考查逆向

13、思維，一定要明確不等式組解集的意義，本題主要考查逆向思維，一定要明確不等式組解集的意義，可畫(huà)數(shù)軸直觀理解，如下圖：可畫(huà)數(shù)軸直觀理解，如下圖： 注意，包括注意，包括4則不等式組有則不等式組有6個(gè)整數(shù)解了個(gè)整數(shù)解了方法與技巧方法與技巧1. 可以對(duì)照一元一次方程來(lái)學(xué)習(xí)一元一次不等式，比較它們之間可以對(duì)照一元一次方程來(lái)學(xué)習(xí)一元一次不等式，比較它們之間的共同點(diǎn)和不同之處有助于準(zhǔn)確掌握概念，有助于花較少的精的共同點(diǎn)和不同之處有助于準(zhǔn)確掌握概念，有助于花較少的精力較好地掌握解題技能力較好地掌握解題技能2. 解一元一次不等式的全部過(guò)程，與解一元一次方程相比，只是解一元一次不等式的全部過(guò)程，與解一元一次方程相比

14、，只是最后一個(gè)步驟上有所變化所以，在熟練了解一元一次方程的最后一個(gè)步驟上有所變化所以，在熟練了解一元一次方程的基礎(chǔ)上，解好一元一次不等式的關(guān)鍵是集中精力，細(xì)心完成好基礎(chǔ)上，解好一元一次不等式的關(guān)鍵是集中精力，細(xì)心完成好最后一步最后一步用未知數(shù)的系數(shù)去除不等式的兩邊在這一步的用未知數(shù)的系數(shù)去除不等式的兩邊在這一步的思考上，應(yīng)分三步：由思考上，應(yīng)分三步：由(未知數(shù)未知數(shù))系數(shù)的正負(fù)，確定原不等號(hào)的方系數(shù)的正負(fù)，確定原不等號(hào)的方向是否改變；由不等號(hào)兩邊的符號(hào)，確定商的符號(hào)；弄清誰(shuí)除向是否改變；由不等號(hào)兩邊的符號(hào)，確定商的符號(hào)；弄清誰(shuí)除誰(shuí)，而不弄錯(cuò)商的絕對(duì)值誰(shuí)，而不弄錯(cuò)商的絕對(duì)值思想方法思想方法 感悟

15、提高感悟提高3. 對(duì)于解得的一元一次不等式對(duì)于解得的一元一次不等式(組組)的解集是否正確，可以用以的解集是否正確，可以用以下方法檢驗(yàn)：第一步，把解集的端點(diǎn)值分別代入原不等式的下方法檢驗(yàn)：第一步，把解集的端點(diǎn)值分別代入原不等式的左邊和右邊，兩邊計(jì)算出來(lái)的數(shù)值應(yīng)當(dāng)相等；第二步，在所左邊和右邊，兩邊計(jì)算出來(lái)的數(shù)值應(yīng)當(dāng)相等；第二步，在所得解集中選一個(gè)，在代入原不等式的左邊或右邊后，計(jì)算比得解集中選一個(gè)，在代入原不等式的左邊或右邊后，計(jì)算比較簡(jiǎn)便的數(shù)，代入原不等式，原不等式應(yīng)當(dāng)成立較簡(jiǎn)便的數(shù)，代入原不等式，原不等式應(yīng)當(dāng)成立失誤與防范失誤與防范1. 解一元一次不等式的一般步驟是：解一元一次不等式的一般步驟是：(1)去分母；去分母；(2)去括號(hào)；去括號(hào)；(3)移移項(xiàng)；項(xiàng)；(4)合并同類(lèi)項(xiàng)；合并同類(lèi)項(xiàng)；(5)系數(shù)化為系數(shù)化為1.首先在去分母時(shí)，容易漏乘首先在去分母時(shí)，容易漏乘了不含分母的項(xiàng)，其次是在最后一步利用不等式性質(zhì)將系數(shù)化了不含分母的項(xiàng)，其次是在最后一步利用不等式性質(zhì)將系數(shù)化為為1時(shí)，不等式的兩邊同時(shí)乘以時(shí)，不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以或除以)了相同的負(fù)數(shù)，不等號(hào)了相同的負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向沒(méi)有改變，這些都是常見(jiàn)的錯(cuò)誤的方向沒(méi)有改變，這些都是常見(jiàn)的錯(cuò)誤2. 解不等式組，需要先解出每一個(gè)不等式的解，最后找出它們的解不等式組，需要先解出每一個(gè)不等式的解，最后找出它們的公共部分解不等式在