大學高數(shù)期末考試題及答案

1、第一學期高等數(shù)學期末考試試卷答案一計算題（本題滿分35分，共有5道小題，每道小題7分）， 1求極限 解： 2設時，與是等價無窮小，與等價無窮小，求常數(shù)與 解： 由于當時，與等價無窮小，所以而 所以，因此， 3如果不定積分中不含有對數(shù)函數(shù)，求常數(shù)與應滿足的條件 解： 將化為部分分式，有 ，因此不定積分中不含有對數(shù)函數(shù)的充分必要條件是上式中的待定系數(shù)即所以，有比較上式兩端的系數(shù)，有所以，得 5計算定積分 解： 所以， 5設曲線的極坐標方程為，求曲線的全長 解： 曲線一周的定義域為，即因此曲線的全長為 二（本題滿分45分，共有5道小題，每道小題9分）， 6求出函數(shù)的所有間斷點，并指出這些間斷點的類型

2、 解： 因此與是函數(shù)的間斷點 ，因此是函數(shù)的第一類可去型間斷點 ，因此是函數(shù)的第一類可去型間斷點 7設是函數(shù)在區(qū)間上使用Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，求極限 解： 在區(qū)間上應用Lagrange中值定理，知存在，使得所以，因此， 令，則有 所以， 8設，求 解： 在方程中，令，得 再在方程兩端對求導，得，因此， 9研究方程在區(qū)間內(nèi)實根的個數(shù) 解： 設函數(shù)， 令，得函數(shù)的駐點由于，所以 ， 因此，得函數(shù)的性態(tài) 若，即時，函數(shù)在、內(nèi)各有一個零點，即方程在內(nèi)有3個實根 若，即時，函數(shù)在、內(nèi)各有一個零點，即方程在內(nèi)有2個實根 若，即時，函數(shù)在有一個零點，即方程在內(nèi)有1個實根 10設函

3、數(shù)可導，且滿足，試求函數(shù)的極值 解： 在方程中令，得，即在方程組中消去，得積分，注意，得即 由得函數(shù)的駐點而所以， ，所以，是函數(shù)極小值；是函數(shù)極大值三應用題與證明題（本題滿分20分，共有2道小題，每道小題10分）， 11求曲線的一條切線，使得該曲線與切線及直線和所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積為最小 解： 設切點坐標為，由，可知曲線在處的切線方程為，或因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 所以，得駐點，舍去由于 ，因而函數(shù)在處達到極小值，而且也是最小值因此所求切線方程為 12設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且，證明：至少存在一點，使得 解： 因為在閉區(qū)間上連續(xù)，所以由積分中值定理，知存在，使得由于

4、，所以，再由，得作函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導所以由Rolle中值定理，存在，使得而 所以存在，使得 由于，所以，即一個處處像別人表明自己優(yōu)秀的，恰恰證明了他（她）并不優(yōu)秀，或者說缺什么，便炫耀什么。真正的優(yōu)秀，并不是指一個人完美無缺，偶像般的光芒四射。而是要真實地活著，真實地愛著。對生活飽有熱情，滿足與一些小確幸，也要經(jīng)得起誘惑，耐得住寂寞，內(nèi)心始終如孩童般的純真。要知道，你走的每一步，都是為了遇見更好的自己，都是為了不辜負所有的好年華。一個真實的人，一定也是個有擔當?shù)?。不論身處何地，居于何種逆境，他（她）們都不會畏懼坎坷和暴風雨的襲擊。因為知道活著的意義，就是真實的直面風浪。生而

5、為人，我們可以失敗，卻不能敗的沒有風骨，甚至連挑戰(zhàn)的資格都不敢有。人當如玉，無骨不去其身。生于塵，立于世，便該有一顆寬厚仁德之心，便有一份容天下之事的氣度。一個真實的人，但是又不會過于執(zhí)著。因為懂得，水至清則無魚，人至察則無徒的道理。完美主義者最大的悲哀，就是活得不真實，不知道審時度勢，適可而止。一扇窗，推開是艷陽天，關閉，也要安暖向陽。不煩不憂，該來的就用心珍惜，坦然以對；要走的就隨它去，無怨無悔。人活著，就是在修行，最大的樂趣，就是從痛苦中尋找快樂。以積極的狀態(tài)，過好每一天，生活不完美，我們也要向美而生。一個真實的人，一定是懂愛的。時光的旅途中，大多數(shù)都是匆匆擦肩的過客。只有那么微乎其微的人，才可以相遇，結(jié)伴同行。而這樣的結(jié)伴一定又是基于志趣相投，心性相近的品性。最好的愛，不是在于共富貴，而是可以共患難，就像一對翅膀，只有相互擁抱著才能飛翔。愛似琉璃，正是因為純粹干凈，不沾染俗世的美。懂愛的人，一定是真實的人。正是因為懂得真愛的不易，所以更是以真面目面對彼此，十指緊扣，甘愿與愛的人把世間各種風景都看透，無論風雨，安暖相伴。一個真實的人，定然是有著大智慧的。人生在世，什么都追求好，追求完美，雖然這是一種積極的思想，卻會很累，不僅自己累，身邊人也會因為你而累。到最后就會在疲于奔命中，喪失自我。“蘭居幽谷，雖孤獨亦芬芳；梅開偏隅，雖寂靜亦流香