平面與圓錐面的截線

1、平面與圓錐面的截線一、教學目標：1. 知識與內(nèi)容：（1）通過觀察平面截圓錐面的情境，體會定理2（2）利用Dandelin雙球證明定理2中情況（1）（3）通過探究，得出橢圓的準線和離心率，加深對橢圓結(jié)構(gòu)的理解2. 過程與方法：利用現(xiàn)代計算機技術(shù)，動態(tài)地展現(xiàn)Dandelin兩球的方法，幫助學生利用幾何直觀進行思維，培養(yǎng)學生的幾何直觀能力，重視直覺的培養(yǎng)和訓練，直覺用于發(fā)現(xiàn)，邏輯用于證明。3. 情感態(tài)度價值觀：通過親歷發(fā)現(xiàn)的過程，提高對圖形認識能力，重視合情推理和演繹推理的啟發(fā)、應(yīng)用和培養(yǎng)，讓學生辯證地觀察、分析問題。二、教學重點難點重點：（1）定理2的證明 （2）橢圓準線和離心率的探究難點：橢圓準

2、線和離心率的探究三、教學過程橢圓是生活中常見的圖形，是圓錐曲線中重要的一種。生成橢圓的方法有許多，例如：（1）圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓，如圖1；（2）橢圓的定義（3）平面內(nèi)到定點和定直線的距離之比等于常數(shù)(0<e<1)的點的軌跡（4）一動點到兩個定點連線的斜率之積是一個負常數(shù)生成軌跡是橢圓；xyPD O（5）圓柱形物體的斜截口是橢圓，如圖2圖1如果用一平面去截一個正圓錐，所得截口曲線是橢圓嗎？還有其他情況嗎？讓我們共同來探究平面與圓錐面的截線。 思考：如果用一平面去截一個正圓錐，而且這個平面不通過圓錐的頂點，會出現(xiàn)哪些情況呢？歸納提升： 定理 在空間中，取直線為軸，直線

3、與相交于O點，其夾角為，圍繞旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點，為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸交角為（與平行，記住0），則： （1），平面與圓錐的交線為橢圓；（2），平面與圓錐的交線為拋物線；（3），平面與圓錐的交線為雙曲線。問題：利用Dandelin雙球（這兩個球位于圓錐的內(nèi)部，一個位于平面的上方，一個位于平面的下方，并且與平面及圓錐均相切）證明：，平面與圓錐的交線為橢圓.討論：點A到點F的距離與點A到直線m的距離比小于1）.證明1：利用橢圓第一定義，證明 FA+AE=BA+AC=定值，詳見課本.證明2：上面一個Dandelin球與圓錐面的交線為一個圓，并與圓錐的底面平行，記這個圓所在平面為/；如果平面

4、與平面/的交線為m，在圖中橢圓上任取一點A，該Dandelin球與平面的切點為F，則點A到點F的距離與點A到直線m的距離比是（小于1）.（稱點F為這個橢圓的焦點，直線m為橢圓的準線，常數(shù)為離心率e.）點評：利用可以證明截線為拋物線，雙曲線的情況，以離心率的范圍為準. 拓展：1. 請證明定理2中的結(jié)論（2） 2. 探究雙曲線的準線和離心率 3. 探索定理中（3）的證明，體會當無限接近時平面的極限結(jié)果四、自我檢測練習1.平面截球面和圓柱面所產(chǎn)生的截線形狀是         .分析：聯(lián)想立體幾何及上節(jié)所學，可得結(jié)論，要注

5、意平面截圓柱面所得的截線的不同情況.答案：平面截球面所得的截線為圓；平面截圓柱面所得的截線為圓或橢圓；2.判斷橢圓、雙曲線、拋物線內(nèi)一點到焦點距離與到準線距離之比與1的關(guān)系？分析：首先通過畫圖尋找規(guī)律，然后加以證明.答案：略.五、課外研究材料材料1. 閱讀，和你的同學一起探討文后的問題：運動的天體受向心力和離心力的作用，天體運行的速度不同，它所獲得的合力也不同，這樣就導致形成不同的運行軌道，如人造衛(wèi)星發(fā)射的速度等于或大于7.9km/s（第一宇宙速度即環(huán)繞速度）時，它就在空中沿圓或橢圓軌道運行；當發(fā)射的速度等于或大于11.2 km/s（第二宇宙速度即脫離速度）時，物體可以掙脫地球引力的束縛，成為

6、繞太陽運動的人造行星或飛到其它行星上去；當速度等于或大于16.7 km/s（第三宇宙速度即逃逸速度）時，物體將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的宇宙空間去。例如：人造衛(wèi)星、行星、慧星等由于運動的速度的不同，它們的軌道是圓、橢圓、拋物線或雙曲線。（1）從天體運行的軌跡看，圓錐曲線也存在著統(tǒng)一，難道在冥冥宇宙中，有什么神奇的力量，使天體運行也遵循著一種統(tǒng)一的規(guī)律嗎？（2）邀請你們的物理老師、地理老師，請他們上一節(jié)天體運行課，更深入的理解圓錐曲線材料2. 圓錐截線，是一個平面截正圓錐面而得到的曲線設(shè)圓錐軸截面母線與軸的夾角為，截面和圓錐的軸的夾角為當截面不過頂點時，（1）當時，即截面和一條母線平行時，交線是拋物線；（2）當時，即截面不和母線平行，且只和圓錐面的一葉相交時，交線是橢圓特別地，當，即截面和圓錐面的軸垂直時，交線是圓（3）當0時，即截面不與母線平行，且和圓錐面的兩葉都相交時，交線是雙曲線當截面過頂點時，（1）當時，截面和圓錐面相切，交線退化為兩條重合直線（2）當時，截面和圓錐面只相交于頂點，交線退化為一個點（3）當0時，截面和圓錐面相交于兩條母線，交線退化為兩條相交直線前一類情況中，拋物線、橢圓（包含圓）和雙曲線這三種曲線叫做非退化的圓錐曲線有時，也把拋物線、橢圓和雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線后一類情況，交線是一個點或兩條直線（包括相交與重合），把它們