存在性問題歸類

1、存在性問題1、 平行四邊形（2016本溪26） （2017鐵嶺）26、（14分）如圖，拋物線與x軸的兩個交點分別為A（3,0），D（-1,0），與y軸交于點C，點B在y軸正半軸上，且OB=OD。(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，拋物線的頂點為點E，對稱軸交x軸于點M，連接BE，AB，請在拋物線的對稱軸上找一點Q，使QBA=BEM，求出點Q的坐標；(全等三角形、勾股定理、一次函數(shù)）(3)如圖2，過點C作CFx軸，交拋物線于點F，連接BF，點G是x軸上一點，在拋物線上是否存在點N，使以點B，F(xiàn)，G，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由。（1、BF為邊

2、、為對角線；2、抓住一組對邊構(gòu)造全等三角形，其中一個三角形三邊是定值）（2017鞍山）26、（14分）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C。(1)試探究ABC的外接圓的圓心位置，求出圓心坐標；(2)點P是拋物線上一點（不與點A重合），且，求APB的度數(shù)；（面積問題：用鉛垂線段PQ補形，PBC的面積等于兩部分之差，從而把PBC的面積轉(zhuǎn)化為“水平寬”與“鉛垂高”乘積的一半）將求三角形面積問題轉(zhuǎn)化為求水平線段（鉛垂線）的長度(3)在（2）的條件下，點E是x軸上方拋物線上一點，點F是拋物線對稱軸上一點，是否存在這樣的點E和點F，使得以點B，P，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行

3、四邊形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由。（2015葫蘆島）26、（14分）如圖，直線與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線經(jīng)過B，C兩點。（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一個動點，當BEC面積最大時，請求出點E的坐標和BEC面積的最大值？（面積問題：用鉛垂線段EF分割，BEC的面積變成兩部分之和， 從而把BEC的面積轉(zhuǎn)化為“水平寬”與“鉛垂高”乘積的一半）過點E作EFy軸交BC于點F，則 (OC=4)（3）在(2)的結(jié)論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P，Q，A，M

4、為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由。（2016營口）26、（14分）如圖1，已知ABC的三個頂點坐標分別為A（-1,0），B（3,0），C（0,3）直線BE交y軸正半軸于點E。（1）求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線解析式及頂點D的坐標；（2）連接BD，CD，設(shè)，求點E的坐標；(特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定及性質(zhì)）（3）如圖2，在(2)的條件下，動點M從點C出發(fā)以每秒個單位的速度在直線BC上移動（不考慮點M與點C，B重合的情況），點N為拋物線上一點，設(shè)點M移動的時間為t秒，在點M移動的過程中，以E，C，M，N四個點為頂點的四邊形能否成為平行四邊形

5、?若能，直接寫出滿足條件的t值及點M的個數(shù)，若不能，請說明理由。2、 菱形（2014本溪）（2017葫蘆島）如圖，拋物線與x軸、y軸分別交于A，B，C三點，已知點A（-2,0），點C（0，-8），點D是拋物線的頂點。（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將EBP沿直線EP翻折，使點B的對稱點落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；（3）如圖2，設(shè)BC交拋物線的對稱軸于點F，作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面內(nèi)一點，當以點B，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的坐標。(2)軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的

6、性質(zhì)、函數(shù)圖像中交點坐標的求法(3)利用邊長相等構(gòu)造全等三角形，其中一個三角形三邊長是定值；利用垂直平分線的性質(zhì)，找到y(tǒng)軸上的一點與兩端點距離相等，根據(jù)勾股定理用方程法求出交點H的坐標；求出直線GH的解析式，再與直線CD的解析式聯(lián)立方程組求出點M的坐標。（2017營口）26、（14分）如圖，拋物線的對稱軸是直線，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（-2,0），點P為拋物線上的一個動點，過點P作PDx軸于點D，交直線BC于點E。（1）求拋物線的解析式；（2）若點P在第一象限內(nèi)，當OD=4PE時，求四邊形POBE的面積；（3）在(2)的條件下，若點M為直線BC上一點，點N為平面直角

7、坐標系內(nèi)一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由。（2016錦州）26、（14分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A（-1,0）和點B（3,0），且與y軸交于點C，點D為對稱軸與直線BC的交點。（1）求該拋物線的表達式；（2）拋物線上存在點P，使得DPBACB，求點P的坐標；（3）若點Q為點O關(guān)于直線BC的對稱點，點為直線BC上一點，點N為坐標平面內(nèi)一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以Q，B，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由。（2016眉山）已知如圖，在平面

8、直角坐標系xoy中，點A、B、C分別為坐標軸上的三個點，且OA=1，OB=3，OC=4。(1) 求經(jīng)過點A、B、C三點的拋物線的解析式；(2) 在平面直角坐標系xoy中是否存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。(3) 若點M為該拋物線上一動點，在(2)的條件下，請求出當?shù)淖畲笾禃r點M的坐標，并直接寫出的最大值。（3）當點M與點P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系始終小于PA。當點M與點P、A在同一直線上時，當點M、P、A在同一直線上時，的值最大。3、矩形如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C

9、，點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對陳，直線AD與y軸相交于點E。（1）求直線AD的解析式；（2）如圖，直線AD上方的拋物線上有一點F，過點F作FGAD于點G，作FH平行于x軸交直線AD于點H，求FGH的周長的最大值；(求二次函數(shù)最大值)（3）點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一點，點Q是坐標平面內(nèi)一點，以A，M，P，Q為頂點的四邊形是以AM為邊的矩形，若點T和點Q關(guān)于AM所在直線對稱，求點T的坐標。（3）利用矩形中的直角構(gòu)造相似三角形，其中一個三角形三邊一定（2017本溪模擬）如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸交于點A，與y軸交于點B，二次函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D

10、點坐標為（1,0）。(1) 求二次函數(shù)的解析式；(2) 若拋物線上存在點P，使，求出P點坐標（不與已知點重合）；(3) 在x軸上存在點N，平面內(nèi)存在點M，使得B、N、C、M為頂點構(gòu)成矩形，請直接寫出M點坐標。（2） 方法:作鉛垂線段分割計算方法1：作鉛垂線段DF、PG，把BC當?shù)?，高DF=PG列等式計算方法2：分別以DF、PG為底，而高都是點C的縱坐標，即“水平寬”與“鉛垂高”乘積的一半3、 等腰直角三角形（2017本溪26）（2016丹東）26、如圖，拋物線過A（4,0），B（1,3）兩點，點C，B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BHx軸，交x軸于點H。（1）求拋物線的表達式；（2）直接

11、寫出點C的坐標，并求出ABC的面積；（3）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當ABP的面積為6時，求出點P的坐標；（4）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當以點C，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時CMN的面積。(3)面積問題：1、用水平線段PD補形：2、用鉛垂線段PQ補形：（2016玉林）如圖，拋物線L：與x軸交于A，B（3,0）兩點，（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C（0,3），已知對稱軸，（1）求拋物線L的解析式；（2）將拋物線L向下平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在OBC內(nèi)（包括OB的邊界），求h的取值范圍；（3）設(shè)點P是拋物線L上任意一點，點

12、Q在直線上，PBQ能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點P的坐標；若不能，請說明理由。4、 等腰三角形（2013本溪）（2017朝陽）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過兩點A（2,4），B（4,4），交x軸正半軸于點C。（1）求拋物線的解析式；（2）過點B作BD垂直于x軸，垂足為點D，連接AB，AD，將ABD以AD為軸翻折，點B的對應(yīng)點為點E，直線DE交y軸于點P，請判斷點E是否在拋物線上，并說明理由。（3）在(2)的條件下，點Q是線段OC（不包含端點）上一動點，過點Q垂直于x軸的直線分別交直線DP及拋物線于點M，N，連接PN，請?zhí)骄?，是否存在點Q，使PMN是以PM

13、為腰的等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由。（3） 屬于“兩動一定”，適合代數(shù)法：用代數(shù)式分別表示出三邊列方程解方程（檢驗）（2016山西）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線經(jīng)過坐標原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標分別為（-2,0），（6，-8）.（1）求拋物線的函數(shù)表達式，并分別求出點B和點E的坐標；（2）試探究拋物線上是否存在點F，使FOEFCE?若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點P是y軸負半軸上的一個動點，設(shè)其坐標為（0，m），直線PB與直線

14、交于點Q，試探究：當m為何值時，OPQ是等腰三角形。(3)當OPQ三邊無法表示出時，過點E作EFPB，能求出直線EF的解析式，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出直線PB的解析式，從而求出點P的坐標，即m的值。（2016鐵嶺）如圖，拋物線經(jīng)過點A(-1,0)和點B(4,0)，且與y軸相交于點C，點D是線段BC上的一個動點（不與點B,C重合），設(shè)點D的橫坐標為t，過點D作DEy軸交拋物線于點E，點F在DE的延長線上，且EF=DE，過點F作FG直線BC，垂足為點G。（1）求此拋物線的解析式和點C的坐標；（2）設(shè)DFG的周長為L，求L和t的函數(shù)關(guān)系式；(相似三角形的判定和性質(zhì)）（3）直線m經(jīng)過點C，且直線mx軸

15、，點P是直線m上任意一點，過點P分別作PQ直線BC，PRx軸，垂足分別為點Q，R，若以三點P，Q，R為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標。（3）利用全等或相似的判定和性質(zhì) 5、 直角三角形（2015本溪26）（2017年阜新）如圖，拋物線的圖像與x軸交于A（-5,0），B（1,0）兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D。（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，點E（x，y）為拋物線上一點，且，過點E作EFx軸，交拋物線的對稱軸于點F，作EHx軸于點H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周長的最大值；（3）如圖2，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在點P，使以點P，A，C為

16、點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由。（2015本溪）如圖，拋物線經(jīng)過點A（2,0）、點B（3,3）。BCx軸于點C，連接OB，等腰直角三角形DEF的斜邊EF在x軸上，點E的坐標為（-4,0），點F與原點重合。(1) 求拋物線的解析式并直接寫出它的坐標；(2) DEF以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向移動，運動時間為t秒，當點D落在BC邊上時停止運動。設(shè)DEF與OBC的重疊部分的面積為s，求出s與t的函數(shù)解析式；(3) 點P是拋物線對稱軸上一點，當ABP是直角三角形時，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標。6、 三角形相似問題（2015鐵嶺）如圖，在平面直

17、角坐標系中，拋物線與x軸交于A（-3,0），B（1,0）兩點，與y軸交于點C，點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對陳。（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點D的坐標；（2）如圖1，點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB勻速運動，到達點B時停止運動。以AP為邊作等邊APQ（點Q在x軸上方），設(shè)點P在運動過程中，APQ與四邊形AOCD重疊部分的面積為S，點P的運動時間為t秒，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，連接AC，在第二象限內(nèi)存在點M，使得以M，O，A為頂點的三角形與AOC相似。請直接寫出所有符合條件的點M的坐標。（2016連云港）如圖，在平面直角坐標系x0y中，拋物線經(jīng)過兩點A（-1,

18、1），B（2,2），過點B作BCx軸，交拋物線于點C，交y軸于點D。（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式及點C的坐標；（2）若拋物線上存在點M，使得BCM的面積為，求出點M的坐標；（3）連接OA、OB、OC、AC，在坐標平面內(nèi)，求使得AOC與OBN相似（邊OA與邊OB對應(yīng)）的點N的坐標。（2015朝陽市）如圖，已知經(jīng)過點D（2，）的拋物線（m為常數(shù)，且m>0）與x軸交于點A，B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C。（1）填空：m的值為 ，點A的坐標為 ；（2）根據(jù)下列描述，用尺規(guī)完成作圖（保留卓圖痕跡，不寫作法）：連接AD，在x軸上方作射線AE，使BAE=BAD，過點D作x軸的垂線交射線A

19、E于點E；（3）動點M、N分別在射線AB、AE上，求MEMN的最小值；（4）是過點A平行于y軸的直線，P是拋物線上一點，過點P作的垂線，垂足為點G。請你探究：是否存在點P，使以P、G、A為頂點的三角形與ABD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。7、 與面積有關(guān)的問題:（2017鞍山）（2015葫蘆島）（2016丹東）(2017本溪模擬）(割補法用水平線段或鉛垂線段來割補三角形）(2017撫順模擬)如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點，拋物線經(jīng)過A、B兩點，M是射線BA上一個動點，MNy軸交拋物線于點N。(1) 求拋物線的解析式；(2) 連接AN、BN，設(shè)ABN的面積為S，點M在

20、線段AB上運動，在點M的運動過程中，S是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由。(3) 點M從點B出發(fā)，沿射線BA方向以每秒5個單位長度的速度勻速運動，設(shè)運動時間為ts，當t為何值時，MB=MN，請直接寫出所有符合條件的t值。OA=4，則MN值最大，ABN面積最大面積最值本質(zhì)上就是線段的最值，面積最值與線段最值之間可以互相轉(zhuǎn)化(2018本溪模擬一）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A（6,0），B（-2,0），C（0,4）（1） 求二次函數(shù)的表達式；（2） 點P在第一象限的拋物線上，且能夠使ACP的面積最大，求點P的坐標；（3） 在（2）的前提下，在拋物線的對

21、稱軸上是否存在點Q，使得APQ為直角三角形，若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由。面積求法：作鉛垂線段PD，把ACP的面積分割成兩部分的和，所以PD最大， 則ACP的面積最大。（2016撫順）已知拋物線經(jīng)過點A（-3,0），點C（0,4）。（1）求拋物線的解析式；（2）作CDx軸交拋物線于點D，作DEx軸，垂足為點E，動點M從點E出發(fā)在線段EA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時動點N從點A出發(fā)在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒。如圖1，當MNDE時，求t值；如圖2，設(shè)DMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系

22、式；在點M和點N運動過程中，是否存在某一時刻，使MNAD？若存在，直接寫出此時t的值；若不存在，請說明理由。 8、重疊部分的面積問題（2015年中考本溪、鐵嶺、營口、遼陽） 二、線段和、差最值問題（2016本溪）題型1：兩定一動（作對稱，連定點）（兩點之間線段最短）1、 如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM等于2，N是AC上一動點，則DNMN的最小值為多少？題型二：兩動一定（作對稱，作垂直）（垂線段最短）1、 正方形ABCD的邊長是8，DAC的角平分線AE交DC于點E，若點PQ分別是AD和AE上的動點，則DQPQ的最小值？2、 若ABC中，BAC=300,AB=BC=2，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN得值最小，則這個最小值為？題型三：做雙對稱（轉(zhuǎn)化成線段即兩對稱點之間的距離）1、已知AOB=300,點P為AOB內(nèi)一點，且OP=5cm，點M、N分別在OA、OB上運動，求PMN的周長的最小值。2、在直角坐標系中