微分幾何 陳維桓 第四章講稿

1、目 錄第四章曲面的第二基本形式50§ 4.1 第二基本形式50§ 4.2 法曲率52§ 4.3 Weingarten映射和主曲率55一、Gauss映射和Weingarten變換55二、主曲率和主方向55§ 4.4 主方向和主曲率的計(jì)算57一、Gauss曲率和平均曲率57二、Weingarten變換在自然基底下的矩陣59三、第三基本形式61§ 4.5 Dupin標(biāo)形和曲面參數(shù)方程在一點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)展開(kāi)61§ 4.6 某些特殊曲面64一、Gauss曲率為常數(shù)的旋轉(zhuǎn)曲面65二、旋轉(zhuǎn)極小曲面66第四章 曲面的第二基本形式本章內(nèi)容：第二基本形式，法曲

2、率，Gauss映射和Weingarten變換，主方向與主曲率，Dupin標(biāo)形，某些特殊曲面計(jì)劃學(xué)時(shí)：12學(xué)時(shí)，含習(xí)題課3學(xué)時(shí).難點(diǎn)：主方向與主曲率§4.1 第二基本形式設(shè)為正則曲面，是單位法向量.向量函數(shù)的一階微分為，二階微分為.由于，再微分一次，得.定義二次微分式 (1.6)稱(chēng)為曲面的第二基本形式(second fundamental form)，其中， (1.4-5)稱(chēng)為曲面的第二類(lèi)基本量.第二基本形式的幾何意義：刻劃了曲面偏離切平面的程度，也就是曲面的彎曲程度.圖4.1由微分的形式不變性可知第二基本形式在保持定向的參數(shù)變換下是不變的，而在改變定向的參數(shù)變換下會(huì)相差一個(gè)符號(hào). 但

3、是，在參數(shù)變換下第二類(lèi)基本量一般都會(huì)改變. 第二基本形式與空間坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān). 對(duì)曲面作參數(shù)變換 (1.7)在新的參數(shù)下，.因此. (1.10)當(dāng)時(shí)，從而；當(dāng)時(shí)，從而.在保持定向的參數(shù)變換下，第二類(lèi)基本量有和第一類(lèi)基本量相同的變化規(guī)律. 事實(shí)上，記參數(shù)變換(1.7)的Jacobi矩陣為.則. (1.14)從而，即有. (1.13)例 求平面和圓柱面的第二基本形式.解. (1)對(duì)平面，所以.(2) 對(duì)圓柱面，. 因此，.定理1.1正則曲面是平面(或平面的一部分)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)牡诙拘问?證明“”平面的單位法向量是常向量，故.“” 由，得. 同理有. 所以是常向量.于是. 故.定理1.2正則曲面

4、是球面(或球面的一部分)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)牡诙拘问绞堑谝换拘问降姆橇惚稊?shù)：，其中是非零函數(shù).證明“”不妨設(shè)球心為原點(diǎn)，半徑為. 則，. 從而.“”由條件，(因?yàn)槭仟?dú)立的變量). 所以，.又. 故. (1)同理有. (2)因?yàn)槭侨我陨线B續(xù)可微的，. 于是，即有.由于線(xiàn)性無(wú)關(guān)，. 故是非零常數(shù).由(1)和(2)得，.所以是常向量. 從而上的點(diǎn)滿(mǎn)足球面方程.課外作業(yè)：習(xí)題1(1,4,5)，2(3)，3，6§ 4.2 法曲率設(shè)是曲面上過(guò)點(diǎn)的一條正則曲線(xiàn)，是的弧長(zhǎng)參數(shù)，為點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). 則的單位切向量為. (2.3)根據(jù)Frenet公式，的曲率向量， (2.4)其中是的曲率.設(shè)為的單位法向量

5、，則.定義 函數(shù) (2.6) (2.5)稱(chēng)為曲面在點(diǎn)沿著切方向(即)的法曲率(normal curvature).注 曲面上所有在點(diǎn)相切的曲線(xiàn)在點(diǎn)有相同的法曲率，并且在點(diǎn)這些曲線(xiàn)的曲率中心位于垂直于切方向的平面(的法平面)內(nèi)的一個(gè)直徑為的圓周上：曲率中心為.圖4.2沿著曲線(xiàn)，有. 由于是弧長(zhǎng)參數(shù)，因此在點(diǎn)成立.定義2.1在曲面上對(duì)應(yīng)于參數(shù)的點(diǎn)處，沿著切方向的法曲率為. (2.8)注 法曲率除了與點(diǎn)有關(guān)，還與切方向即比值有關(guān). 但是與切向量的大小無(wú)關(guān). 上面的定義不要求以為切向量的曲線(xiàn)以弧長(zhǎng)為參數(shù).定義 曲面上過(guò)點(diǎn)的一個(gè)切方向與點(diǎn)的法線(xiàn)確定的平面稱(chēng)為由切方向確定的法截面. 法截面與曲面的交線(xiàn)稱(chēng)為

6、該點(diǎn)的一條法截線(xiàn).定理2.1曲面在點(diǎn)，沿切方向的法曲率等于該切方向確定的法截線(xiàn)在相應(yīng)的有向法截面(以為平面的定向)中的相對(duì)曲率，即有.證明設(shè)該點(diǎn)是，沿切方向的單位切向量為，在點(diǎn)的單位法向量為.則法截面的定向是，從而法截線(xiàn)的弧長(zhǎng)參數(shù)方程為，其中.因?yàn)槭堑那邢蛄浚? 從而. 因此是由確定的切方向.由定義，沿切方向的法曲率.另一方面，法截線(xiàn)在該點(diǎn)的相對(duì)曲率.所以有.例(1)平面的法曲率.在平面上，. 所以在任意點(diǎn)，沿任意切方向，都有法曲率.(2)圓柱面的法曲率.對(duì)圓柱面，由上一節(jié)的例，所以.(3) 球面的法曲率.由定理1.2，. 所以是非零常數(shù).定理2.2 在曲面上任意一點(diǎn)處，法曲率必定在兩個(gè)彼此正

7、交的切方向上分別取到最大值和最小值.證明在固定點(diǎn)，都是常數(shù)，法曲率僅與比值有關(guān). 取點(diǎn)鄰近的正交參數(shù)網(wǎng). 則任意單位切向量，可以寫(xiě)成，其中，即 .沿著切方向的法曲率是上的連續(xù)可微周期函數(shù)，必定在閉區(qū)間上取到最大值和最小值.如果是常值函數(shù)，則在任意兩個(gè)彼此正交的切方向上分別取到最大值和最小值.設(shè)不是常值函數(shù)，則它的最大值和最小值不相等.通過(guò)對(duì)曲面作參數(shù)變換，不妨設(shè)在處取到最大值. 由于，并且，有.所以在處取到最小值.定義2.2在曲面上一個(gè)固定點(diǎn)處，法曲率取最大值和最小值的切方向稱(chēng)為曲面在該點(diǎn)的主方向(principal direction)，相應(yīng)的法曲率稱(chēng)為在該點(diǎn)的主曲率(principal c

8、urvature).注由上面的推導(dǎo)過(guò)程可知，如果在點(diǎn)不是常值函數(shù)，在閉區(qū)間上只有4個(gè)零點(diǎn)，所以在點(diǎn)只有兩個(gè)主曲率，. 于是有下面的Euler公式：，其中，并且.定義2.3(1) 在曲面上一點(diǎn)，使法曲率為零的切方向稱(chēng)為該點(diǎn)的一個(gè)漸近方向(asymptotic direction).(2) 設(shè)是曲面上的一條曲線(xiàn). 若上每一點(diǎn)的切向量都是曲面在該點(diǎn)的漸近方向，則稱(chēng)是曲面上的一條漸近曲線(xiàn)(asymptotic curve).在一點(diǎn)處，漸近方向是二次方程 (2.5)的解.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)漸近方向；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)實(shí)漸近方向；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有實(shí)漸近方向.讓變動(dòng)，則(2.5)就是漸近曲線(xiàn)的微分方程. 如果在曲面上每一

9、點(diǎn)，則曲面上存在兩個(gè)處處線(xiàn)性無(wú)關(guān)的漸近方向向量場(chǎng). 根據(jù)第三章定理4.1，在曲面上有由漸近曲線(xiàn)構(gòu)成的參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng)，稱(chēng)為漸近線(xiàn)網(wǎng).定理2.3參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng)是漸近線(xiàn)網(wǎng)的充分必要條件是：.證明 “” 在-曲線(xiàn)上. 由(2.5)得. 同理可得.“” (2.5)現(xiàn)在成為. 因此-曲線(xiàn)和-曲線(xiàn)都是漸近曲線(xiàn).定理2.4 設(shè)是曲面上的一條曲線(xiàn). 則是漸近線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)是直線(xiàn)，或的密切平面與曲面的切平面重合.證明 由公式可得.課外作業(yè)：習(xí)題1，4，7.§4.3Weingarten映射和主曲率一、Gauss映射和Weingarten變換設(shè)()是一個(gè)正則曲面，是它的單位法向量.向量函數(shù)定義了一個(gè)映射，其中是中的單

10、位球面. 因?yàn)榭臻g中的點(diǎn)與它的位置向量是一一對(duì)應(yīng)的，映射誘導(dǎo)了映射. (3.1)這個(gè)映射稱(chēng)為Gauss映射.注意Gauss映射的象不一定是的一個(gè)區(qū)域.Gauss映射的切映射是一個(gè)線(xiàn)性映射，滿(mǎn)足，即，. (3.2)特別有，. (3.4)因?yàn)橥瑫r(shí)也是的法向量，在點(diǎn)的切平面與在點(diǎn)的切平面是平行的，從而在自由向量的意義下可將與等同.定義 線(xiàn)性映射稱(chēng)為曲面在點(diǎn)的Weingarten變換(Weingarten transformation).事實(shí)上，因?yàn)?，所? 由定義可知，. (3.5)圖22二、主曲率和主方向定理3.1 .定理3.2 相對(duì)于切空間的內(nèi)積，Weingarten變換是自共軛(對(duì)稱(chēng))的，即，

11、.證明.根據(jù)線(xiàn)性變換理論，Weingarten變換的2個(gè)特征值都是實(shí)的(這2個(gè)特征值可能相等).設(shè)分別是從屬于它們的特征向量，即，. 當(dāng)時(shí)，所確定的切方向和是唯一的，且相互正交. 當(dāng)時(shí)，中的任何非零向量都是特征向量.因此仍然有兩個(gè)相互正交的特征方向. 定理3.3在曲面上任意一點(diǎn)處，的2個(gè)特征值正好是曲面在點(diǎn)的主曲率，對(duì)應(yīng)的特征方向是曲面在點(diǎn)的主方向.證明 取的由的特征向量構(gòu)成的單位正交基，使得， (3.12)并設(shè). 對(duì)任意一個(gè)單位切向量，可設(shè). (3.13)則有. (3.14)于是沿切方向的法曲率為由可知，并且在時(shí)取最大值，在時(shí)取最小值. 所以就是曲面在點(diǎn)的主曲率，相應(yīng)的切方向就是主方向. 注

12、1 由定理可知沿特征方向的法曲率就是對(duì)應(yīng)于特征向量的特征值：.注2 曲面在每一點(diǎn)有2個(gè)主曲率. 當(dāng)時(shí)，只有2個(gè)主方向，它們相互正交.此時(shí)可取2個(gè)單位特征向量.當(dāng)時(shí)，任何方向都是主方向.此時(shí)可任取2個(gè)正交的單位特征向量.定理3.4(Euler公式)設(shè)是點(diǎn)的2個(gè)正交的單位特征向量，對(duì)應(yīng)的主曲率為.則對(duì)任意單位切向量，沿著方向的法曲率為.(3.15)在曲面上一點(diǎn)處，如果，則由Euler公式可知沿任何切方向，都有， (3.16)即.這樣的點(diǎn)稱(chēng)為臍點(diǎn)(umbilical point). 此時(shí)在該點(diǎn)有.(3.17)當(dāng)時(shí)，該點(diǎn)稱(chēng)為平點(diǎn)(planar point)；當(dāng)時(shí)，該點(diǎn)稱(chēng)為圓點(diǎn)(circle point

13、).定理1.1和定理1.2的推論 曲面是平面(或其一部分)，當(dāng)且僅當(dāng)上的點(diǎn)都是平點(diǎn)；曲面是球面(或其一部分)，當(dāng)且僅當(dāng)上的點(diǎn)都是圓點(diǎn).定義3.1設(shè)是曲面上的一條曲線(xiàn). 若上每一點(diǎn)的切向量都是曲面在該點(diǎn)的主方向，則稱(chēng)是曲面上的一條曲率線(xiàn)(curvature line).定理3.5(Rodriques定理)曲面上一條正則曲線(xiàn)是曲率線(xiàn)的充分必要條件是：沿著曲線(xiàn)，即.證明. 由定義，是曲率線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的，是Weingarten變換的特征向量，即，也就是.定理3.6 曲面上一條曲線(xiàn)是曲率線(xiàn)的充分必要條件是：曲面的沿著曲線(xiàn)的法線(xiàn)構(gòu)成可展曲面.證明. 對(duì)曲面上任意一條曲線(xiàn)，曲面的沿著曲線(xiàn)的法線(xiàn)構(gòu)成直紋

14、面，其中是的弧長(zhǎng)參數(shù).由于和是相互正交的單位向量，從而是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.是可展曲面.上式兩邊與作內(nèi)積可得，從而上式等價(jià)于，這正好是曲線(xiàn)是曲率線(xiàn)的充分必要條件.例3.1 求旋轉(zhuǎn)面上的曲率線(xiàn). 解 設(shè)旋轉(zhuǎn)面的方程為. 其中，并且是經(jīng)線(xiàn)的弧長(zhǎng)參數(shù)，. 則，. 由于，并且，有，. 所以u(píng)-曲線(xiàn)(緯線(xiàn)圓)和v-曲線(xiàn)(經(jīng)線(xiàn))都是曲率線(xiàn). 當(dāng)時(shí)，這個(gè)旋轉(zhuǎn)面是平面，任何曲線(xiàn)都是曲率線(xiàn). 當(dāng)時(shí)，. 如果是常數(shù)，即經(jīng)線(xiàn)是圓弧，則旋轉(zhuǎn)面是球面.此時(shí)任何曲線(xiàn)都是曲率線(xiàn). 例3.2 求可展曲面上的曲率線(xiàn).解 設(shè)可展曲面方程為. 已經(jīng)知道它的單位法向量與v無(wú)關(guān)，沿著v-曲線(xiàn)(直母線(xiàn))有. 所以v-曲線(xiàn)是它的一族曲率線(xiàn). 于是

15、v-曲線(xiàn)的正交軌線(xiàn)是它的另一族曲率線(xiàn). 如果可展曲面是平面，任何曲線(xiàn)都是曲率線(xiàn). 課外作業(yè)：習(xí)題1，4，5§ 4.4主方向和主曲率的計(jì)算一、Gauss曲率和平均曲率設(shè)曲面的參數(shù)方程為，和分別是的第一、第二類(lèi)基本量.引理設(shè)是點(diǎn)的主曲率，則滿(mǎn)足， (4.4)即是二次方程的根，也就是方程 (4.8)的根，其中，分別稱(chēng)為曲面的平均曲率(或中曲率) (mean curvature)和Gauss曲率(或總曲率)(Gaussian curvature). 換句話(huà)說(shuō)，. (4.9)證明. 設(shè)是對(duì)應(yīng)的主方向. 則有，即.分別用與上式兩邊作內(nèi)積，得，.所以主方向滿(mǎn)足 (4.3)由于不全為零，可得(4.4

16、)式.設(shè)是點(diǎn)的兩個(gè)主曲率.由根與系數(shù)的關(guān)系可得，. (4.6-7)因此，. (4.9)點(diǎn)是臍點(diǎn)的充分必要條件是在點(diǎn)成立.注 方程(4.4)即(4.8)是Weingarten變換的特征方程，在保持定向的參數(shù)變換下保持不變. 事實(shí)上，主曲率在保持定向的參數(shù)變換下不變，在反轉(zhuǎn)定向的參數(shù)變換下相差一個(gè)符號(hào). 因此平均曲率在保持定向的參數(shù)變換下不變，在反轉(zhuǎn)定向的參數(shù)變換下相差一個(gè)符號(hào). 而Gauss曲率在參數(shù)變換下保持不變.定理4.1 假定曲面是次連續(xù)可微的. 則主曲率函數(shù)是連續(xù)的，且在非臍點(diǎn)鄰近是次連續(xù)可微的.在臍點(diǎn)，. 從而由可知，(4.3)中的兩個(gè)方程成為恒等式. 此時(shí)，任何方向都是主方向.在非臍

17、點(diǎn)，分別用和代入(4.3)，得到相應(yīng)的主方向 (4.10)和. (4.11)將(4.3)改寫(xiě)成 (4.12)由于不全為零，有， (4.14)即.(4.15)上式可寫(xiě)成. (4.16)(4.14)或(4.15)或(4.16)就是曲面上曲率線(xiàn)的微分方程.定理4.2 設(shè)是曲面上一個(gè)固定點(diǎn)，它的曲紋坐標(biāo)為. 則在該點(diǎn)參數(shù)曲線(xiàn)的切方向是相互正交的主方向，當(dāng)且僅當(dāng)在該點(diǎn)有，. 此時(shí)，曲面在該點(diǎn)的兩個(gè)主曲率分別為，.證明 必要性. 在點(diǎn)，-曲線(xiàn)和-曲線(xiàn)相互正交，故. (1)又，是的特征向量，故，.分別用與上面兩式作內(nèi)積得，并且，. (4.17)充分性. 由條件，即，相互正交. 又.因此，即，是的特征向量.下

18、面的兩個(gè)定理是定理4.2的直接推論. 定理4.3參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng)是正交的曲率線(xiàn)網(wǎng)的充分必要條件是，此時(shí).(4.18)定理4.4在非臍點(diǎn)，定理4.3中的參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng)局部總是存在的.注若曲面上沒(méi)有臍點(diǎn)，則可取正交的曲率線(xiàn)網(wǎng)作為參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng).事實(shí)上，此時(shí)由(4.10)和(4.11)可確定兩個(gè)相互正交的主方向和. 從而有兩個(gè)相互正交的非零向量場(chǎng)和，它們是連續(xù)可微的. 根據(jù)第三章定理4.1，這樣的參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng)是存在的.若曲面上的點(diǎn)都是臍點(diǎn)，則曲面上任意曲線(xiàn)都是曲率線(xiàn)，此時(shí)任何正交參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng)都是曲率線(xiàn)網(wǎng). 但是在孤立臍點(diǎn)鄰近，未必有正交的曲率線(xiàn)網(wǎng)作為參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng).二、Weingarten變換在自然基底下的矩陣我們知道是

19、切空間的基，稱(chēng)為的自然基. 在這組基下，設(shè)Weingarten變換的矩陣為，即， (4.19)也就是分別用與上面二式作內(nèi)積得.因此. (4.21)代入(4.19)得. (4.22)我們知道Weingarten變換的特征多項(xiàng)式.其中是單位矩陣.的特征值是特征多項(xiàng)式的根，與基的取法無(wú)關(guān)，從而Gauss曲率和平均曲率與參數(shù)取法無(wú)關(guān)，是曲面的幾何不變量. Gauss曲率的幾何意義：從(4.19)可得.因此曲面上一個(gè)區(qū)域在Gauss映射下的像的面積元素. (4.23)所以的面積.根據(jù)積分中值定理，存在使得.讓區(qū)域收縮到一點(diǎn)，取極限得到.(4.25)這個(gè)公式是曲線(xiàn)論中的一個(gè)推廣,其中是曲線(xiàn)上一段由到的弧在

20、切線(xiàn)像下的弧長(zhǎng). 三、第三基本形式定義 設(shè)是曲面的單位法向量. 二次微分式 (4.27)稱(chēng)為曲面的第三基本形式，其中.(4.28)注 利用Gauss映射，第三基本形式，其中是單位球面的第一基本形式.定理4.5曲面上的三個(gè)基本形式滿(mǎn)足.證明 因?yàn)閃eingarten變換的特征多項(xiàng)式為，所以.其中是單位變換. 于是有同理可得，.課外作業(yè)：習(xí)題2，4，6§4.5Dupin標(biāo)形和曲面參數(shù)方程在一點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)展開(kāi)設(shè)是曲面上一個(gè)固定點(diǎn)，是點(diǎn)的兩個(gè)相互正交的單位主向量(即Weingarten變換的特征向量)，對(duì)應(yīng)的主曲率為. 對(duì)單位切向量 ()，沿該方向的法曲率為. 當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)的切平面中取一點(diǎn)使得.

21、(5.3)點(diǎn)切平面中這樣的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為曲面在點(diǎn)的Dupin標(biāo)形(或標(biāo)線(xiàn)indicatrix).在平面中取直角標(biāo)架, 現(xiàn)在來(lái)導(dǎo)出Dupin標(biāo)線(xiàn)的方程.設(shè)軌跡上的點(diǎn)在此坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為. 則.因此，. (5.4)由Euler公式得到. (5.5)這就是Dupin標(biāo)線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，它是平面中的二次曲線(xiàn). 如果在平面中取極坐標(biāo)系，那么Dupin標(biāo)線(xiàn)的極坐標(biāo)方程可由(5.3)立即得到：. (5.5)當(dāng)點(diǎn)的Gauss曲率時(shí)，同號(hào)，Dupin標(biāo)線(xiàn)(5.5)是一個(gè)橢圓. (5.6)當(dāng)時(shí)，異號(hào)，Dupin標(biāo)線(xiàn)(5.5)是兩對(duì)共軛雙曲線(xiàn). (5.7)它們的公共漸近線(xiàn)的方向正是曲面在點(diǎn)的漸近方向.當(dāng)時(shí)，若，不全為

22、零，Dupin標(biāo)線(xiàn)(5.5)是兩條平行直線(xiàn)() 或 (). (5.8)當(dāng)點(diǎn)為平點(diǎn)，即時(shí)，Dupin標(biāo)線(xiàn)不存在.圖4.4定義. 設(shè)，若，則稱(chēng)點(diǎn)為曲面上的橢圓點(diǎn)；若，則稱(chēng)點(diǎn)為曲面上的雙曲點(diǎn)；若，則稱(chēng)點(diǎn)為曲面上的拋物點(diǎn).下面考察曲面在一點(diǎn)鄰近的形狀. 在點(diǎn)鄰近取正交參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng)，使得點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，且，是點(diǎn)的兩個(gè)單位主向量. 則，且在點(diǎn)有，. (5.9)以標(biāo)架建立的坐標(biāo)系. 根據(jù)Taylor公式，, (5.10)其中. 由于， ， (5.11)(5.10)可化為. (5.12)(5.12)稱(chēng)為曲面在點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)展開(kāi).當(dāng)充分小時(shí)，我們得到的近似曲面，在標(biāo)架下，的參數(shù)方程為，顯式方程為. (5.14)直接計(jì)算

23、可知近似曲面與原曲面在點(diǎn)相切(即它們的切平面相同). 并且沿著點(diǎn)切空間的任何相同的切方向，兩者有相同的法曲率，即在點(diǎn)具有公共切方向的法截線(xiàn)有相同的曲率和相同的彎曲方向.在橢圓點(diǎn)，近似曲面是橢圓拋物面.在點(diǎn)是凸的.在雙曲點(diǎn)，是雙曲拋物面.在點(diǎn)不是凸的，且點(diǎn)的切平面與相交成兩條直線(xiàn)，它們是上過(guò)點(diǎn)的兩條漸近曲線(xiàn).在非平點(diǎn)的拋物點(diǎn)，是拋物柱面，點(diǎn)的切平面與相交成一條直線(xiàn)，是上過(guò)點(diǎn)的漸近曲線(xiàn).在平點(diǎn)，是平面. 此時(shí)，要考察曲面的近似形狀，需要將Taylor展式(5.10)展開(kāi)到更高階的項(xiàng). 見(jiàn)例5.2.用平面去截近似曲面，再投影到點(diǎn)的切平面上，就得到點(diǎn)的Dupin標(biāo)線(xiàn).圖4.6例5.1考察圓環(huán)面，上各種

24、類(lèi)型點(diǎn)的分布，其中常數(shù)滿(mǎn)足.解，. ，. 所以?xún)蓚€(gè)主曲率為. Gauss曲率和平均曲率分別為. 當(dāng)時(shí)，這些點(diǎn)是拋物點(diǎn)，但不是平點(diǎn). 它們構(gòu)成圓環(huán)面的上下兩個(gè)圓.當(dāng)時(shí)，這些點(diǎn)是雙曲點(diǎn)，布滿(mǎn)圓環(huán)面的內(nèi)側(cè).當(dāng)時(shí)，這些點(diǎn)是橢圓點(diǎn)，布滿(mǎn)圓環(huán)面的外側(cè).圖4.7例5.2(1) 猴鞍面. (2).課外作業(yè)：習(xí)題3§4.6某些特殊曲面將平面上一條曲線(xiàn)繞著軸旋轉(zhuǎn)，得到旋轉(zhuǎn)曲面. 它的參數(shù)方程為， (6.1)其中.它的母線(xiàn)是平面上的曲線(xiàn)：.則由，.，.可得， (6.2)，. (6.3)因此參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng)是正交的曲率線(xiàn)網(wǎng). 由定理4.2，主曲率為， .于是Gauss曲率和平均曲率分別為，. (6.4)一、Gauss曲率為常數(shù)的旋轉(zhuǎn)曲面如果是常數(shù)，則函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足.(6.5)積分得到， (6.6)其中為積分常數(shù).即有.于是. (6.7)1.若，則，其中，為積