微分中值定理導數(shù)的應用

1、第三章微分中值定理導數(shù)的應用教學目的與要求1掌握并會應用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應用。3 用二階導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。4 握用洛必達法則求未定式極限的方法。5 道曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。6 了解方程近似解的二分法及切線法。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒級數(shù)中講）1 羅爾定理如滿足：（1）在連續(xù). （2）在可導. （3） 則至少存在一點 使例 設，則 在區(qū)間（-1，0）內(nèi)

2、，方程 有2個實根；在（-1，1）內(nèi)有2個根例 設在0，1可導，且， 證明存在，使。證： 設在a,b可導， 存在使 即例 設在0，1可導，且, 證明存在 。解: 設，且 由羅爾定理 存在 使 即， 亦即例 習題6 設（復合函數(shù)求導）2、 拉格朗日中值定理如滿足：在a,b連續(xù)；在（a,b）連續(xù)，則存在使。推論： 如果在區(qū)間I上，則 如果在區(qū)間I上， 在單增（減）例對任意滿足的x， 都有設 例 設，證明求導證明作業(yè)：見各章節(jié)課后習題。二、洛必達法則未定形：如下的函數(shù)極限都是未定形。 1、型： 如：型：2、型： 如：3、型： 如：4、型：如：5、 型： 如：6、 型： 如：7、 型： 如：它們的計算

3、不能用函數(shù)極限的四則運算法則，且它們只表示類型，沒有具體意義。 1、 （）型的洛必達法則(同理)定理：對函數(shù)和，如果：（1）, （2）在某個鄰域內(nèi)（后）有導數(shù)和，且；（3）存在（或無窮），則成立：=例：1) 2) 3) 例： 1) 2) 3) (>0)3、其它類型1) 2) 3) 4) 解法同3） 例 ： 1) 2) 3) 4) 三、泰勒公式 一、多項式： 在點的各階導數(shù)： 得：二、泰勒中值定理：如果函數(shù)在含有的某個開區(qū)間有直到階的導數(shù)，則對任一有：1、（N階泰勒公式）稱為余項。（1）（ 在與之間）拉格朗日型余項（2） 皮亞諾余項。2、當?shù)名溈藙诹止剑喝?、常見函?shù)的泰勒展開1) 2)

4、3) 四、函數(shù)的性態(tài)1、極值1）定義：如在鄰域內(nèi)，恒有， ，則稱為函數(shù)的一個極大（?。┲??？赡軜O值點， 不存在的點與的點。（駐點）駐點 極值點2）判別方法、導數(shù)變號。 極小值極大值、，例1、 設滿足關系式，且, ，則在點處 A A、取得極大值 B、取得最小值 C、在某鄰域內(nèi)單增 D、在某鄰域內(nèi)單減例2已知函數(shù)對一切滿足 如，則 A A、 是的極小值B、是的極大值 C、是曲線的拐點D、不是的極值，也不是曲線 的拐點。例3 設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導，則是的極 大 值。2、函數(shù)的最大值與最小值（1）求出內(nèi)可能的極值點，不需判別極大還是極小，求出它們的函數(shù)值，再與端點的函數(shù)值進行比較，其中最大的（?。?/p>

5、最大（?。┲?。（2）在內(nèi)可能極值點唯一，如是極小值則為最小值；如是極大值則為最大值。 （3）如分別為最小, 最大值。（4）實際問題據(jù)題意可不判別。 例1、 在拋物線上的第一象限部分求一點P，過P點作切線，使該切線與坐標軸所圍成的三角形面積最小。 解：設切點為，切線方程為即 三角形面積： ，令 （唯一） 故 為所求點3、曲線的凹凸、拐點及漸近線 在I上可導 如則曲線是凹（凸）的, 在連續(xù)曲線上凹凸部分的分界點稱為曲線的拐點。 可能的拐點和不存在的點例1、 設，試討論的性態(tài)。x(-,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+ )y+0-間斷+0+y-0+y 單調(diào)增上凸極大值 單減上凸單增上凸拐點(1,0) 單增下凸?jié)u近線如 則稱為水平漸近線如 則稱為垂直漸近線漸近線可能沒有，或多條。例2、求漸近線（斜漸近線不討論）解： 為水平漸近線 垂直漸近線例2、 曲線的漸近線有 4 條4證明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函數(shù)單調(diào)性；（3）利用最值；（4）引入輔助函數(shù)把常值不等式變成函數(shù)不等式；（5）利用函數(shù)凹凸性；（6）利用泰勒公式。例1、 當，試即證：證： 設，在連續(xù)，可導，由拉格朗日中值定理 即 例2、設，證明證： 設單增，當 設 單增，當 例3、當證明 證： 令 令得 駐點唯一， 極小 為最小值即 例4、 當 證明 證: 設 令 , 駐點唯一 當 ,