第二章靜電場(chǎng)

1、第二章 靜電場(chǎng)1.一個(gè)半徑為R的電解質(zhì)球，極化強(qiáng)度為，電容率，（1）計(jì)算束縛電荷的體密度和面密度；（2）計(jì)算球外電荷的體密度；（3）計(jì)算球外和球內(nèi)的電勢(shì)；（4）求該帶電介質(zhì)產(chǎn)生的靜電場(chǎng)總能量。解；（1）由,且球外無極化電荷 (2) 由（3）對(duì)于球外電場(chǎng)，由高斯定理可得同理可得球內(nèi)的電場(chǎng)為 （4）由題意得；球外有 , 球內(nèi)有 , 2. 在均勻外電場(chǎng)中放置半徑為的導(dǎo)體球，使用分離變量法求下列兩種情況的電勢(shì)1）導(dǎo)體球上接有電池，求與地保持電勢(shì)差； 2）導(dǎo)體球上帶總電荷Q。解：（1）以球心為圓點(diǎn)，以外電場(chǎng)方向建立球坐標(biāo)系，本題的定解問題為由于此問題具有軸對(duì)稱,從(1)得通解 (R由=得=故， ， +（

2、R）由得 (2) 建立同樣的坐標(biāo)系；定解問題為： 重復(fù)第一問的過程，得到 =+ 由條件（4）得到 = = = 代入上式代替得 =+（R>R）3.均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷，球的電容率,球外為真空，試用分離變量法求空間電勢(shì)，把結(jié)果與用高斯定理結(jié)果相比較。解：解法一：（高斯定理）由電荷分布的對(duì)稱性，由高斯定理可得解法二：（分離變量法）由題意得定解問題對(duì)(1)設(shè) 則， 由（1）（2）解得 由（3）（4）解得 由（5）（6）解得= （7） （8） 對(duì)（7）(8)式，當(dāng)n=0時(shí) 解得當(dāng)n=1時(shí) 解得 同理 4. 均勻帶電體（電容率1）的中心置一電偶極子，球外充滿了另一種電介質(zhì)（電容率2），求空間各

3、點(diǎn)的電勢(shì)和極化電荷的分布。解：如上題，設(shè)，滿足拉普拉斯方程。由題意得定解條件 由（1）（2）解得 由（3）（4）解得 由（5）（6）解得 = （7）= （8）對(duì)（7）（8）式，當(dāng)n=0時(shí)解得當(dāng)n=1時(shí) 解得對(duì)n>1時(shí)解得 = （R<R） 球面上的極化電荷密度球面上無自由電荷，故5. 空心帶電體球殼內(nèi)外半徑為R1和R2，球中心置一偶極子，球殼帶電Q，求空間各點(diǎn)電勢(shì)和電荷分布。解：由題意得定解條件,設(shè) 由（1）（2）解得 由（3）（4）解得 將上式代入再由（5）（6）可解得 于是 6.在均勻外電場(chǎng)中置入一帶電自由電荷的絕緣介質(zhì)球（電容率），求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。解：自由電荷的電場(chǎng)與外電場(chǎng)使

4、介質(zhì)球發(fā)生極化，從而在介質(zhì)球內(nèi)和表面出現(xiàn)極化電荷分布，因此電勢(shì)等于球內(nèi)的電荷產(chǎn)生的電勢(shì)與均勻電場(chǎng)及表面極化電荷的電勢(shì)之和，滿足拉普拉斯方程。可以由高斯定理計(jì)算。球內(nèi)以球心為原點(diǎn)，以外電場(chǎng)方向?yàn)閦軸建立球坐標(biāo)系，設(shè)球的半徑為, 得定解條件 由于已經(jīng)假定介質(zhì)球內(nèi)的為常數(shù)，它的場(chǎng)及其引起的極化電荷產(chǎn)生的場(chǎng)都有球?qū)ΨQ性，由高斯定理，,易得,從而電勢(shì)這樣方程的（1）（2）的通解可寫為將上兩式帶入（3-6）解得當(dāng)n=1時(shí) (R<R） +7.在一個(gè)很大的電介質(zhì)槽中，充滿電導(dǎo)率為2的液體，使其中流著均勻的電流，今在液體中置一電導(dǎo)率為1的小球，求穩(wěn)恒時(shí)，電流分布和面電荷密度分布，討論1遠(yuǎn)小于2，及2遠(yuǎn)小于

5、1兩種情況的電流分布特點(diǎn)。解：由：放入小球前液體為均勻電場(chǎng) 的電勢(shì)由邊界條件得且電勢(shì)連續(xù)所以上分析得定解問題 由（1）（2）解得 由（3）（4）解得 由（5）（6）解得 （7） (8)由（7）（8）解得 故= 由得球面上面電荷密度當(dāng)時(shí) +當(dāng)時(shí)，8半徑為的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)，導(dǎo)體球接地。離球心為a處（a>R） 置一點(diǎn)電荷Q，試用分離變量法求空間各點(diǎn)電勢(shì)，證明所得結(jié)果與鏡像法結(jié)果相同。解：解法一分離變量法，選球心為原點(diǎn)，球心Q的連線方向?yàn)閦軸，設(shè)球外的電勢(shì)為，由題意得定解條件： 由電勢(shì)的對(duì)稱性，電勢(shì)的解可寫為 （4）其中，r是到場(chǎng)點(diǎn)p的距離。將其代入（2）則有 （5）利用代入（4），并

6、利用（2）可確定出系數(shù)。 解法二（由鏡像法解題）：以假想的像電荷代替導(dǎo)體球與介質(zhì)分界面的感應(yīng)電荷及極化電荷的貢獻(xiàn)，像電荷置于球內(nèi)z=b處，電荷量為，于是球外任意一點(diǎn)的電勢(shì)可寫為由=常數(shù)得由得故：9接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為,在球內(nèi)離球心為a()處置一點(diǎn)電荷Q，用鏡像法求電勢(shì)，導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分布在內(nèi)表面還是外表面？解:設(shè)B處有電荷來代替球殼上感應(yīng)電荷，在球內(nèi)產(chǎn)生的場(chǎng)所以 =由于球殼及球外電勢(shì)為零，感應(yīng)電荷只能分布于內(nèi)表面，因?yàn)閰^(qū)域電場(chǎng)為零故由高斯定理 所以 10上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帶總電荷或使其優(yōu)電勢(shì)又問和是何關(guān)系?解：由上題可知若在球外放置電荷，則球面上電勢(shì)為零若在球心上放

7、置則球殼電勢(shì)由零變?yōu)橛汕驗(yàn)榈葎?shì)體，球外電勢(shì)為球?qū)ΨQ分布有高斯定理球內(nèi)電勢(shì)升高由前題結(jié)果得若球有確定電勢(shì)則 當(dāng)兩情況的解相等。11在接地的導(dǎo)體平面上，有一半徑為a的半球凸部，半球的球心在平面上，點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上，并與平面相距為b(b>a) ，試用電像法求空間電勢(shì)。 解：選取像電荷-Q放在（0，0，b）處使導(dǎo)體平面電勢(shì)為零然后選取和像電荷，使之與Q和-Q所成的電勢(shì)在球面為零，由9題結(jié)果得 則上半空間的電勢(shì)就是這四種電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加 12. 有一點(diǎn)電荷Q位于兩個(gè)相互垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為a和b，求空間電勢(shì)。解：像電荷選取如圖： 13設(shè)有兩平面

8、圍成的直角形無窮容器，其內(nèi)充滿電導(dǎo)率為的液體，取該兩平面為XZ和YZ，在()和()兩點(diǎn)分別放正負(fù)電極并通以電流I求導(dǎo)電液體中的電勢(shì)。 解：設(shè)容器兩邊界分別為x=o和y=o平面作一包圍正電極的高斯面，有 其中為導(dǎo)線的電導(dǎo)率設(shè)則同理在負(fù)電極上在容器邊界由所以即 對(duì)于以平面為保證，選取鏡像位置上放置同號(hào)電荷項(xiàng)電荷放置在x>0,Y>0空間上電勢(shì)就是這8個(gè)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)疊加14畫出函數(shù)的圖，說明是一個(gè)位于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。解：處于原點(diǎn)的偶極子可以表示為因?yàn)樗?5證明：（1) (a>0) (若a<0，結(jié)果如何) （2）x=0證明：（1） 由得利用函數(shù)的定義及其偶函數(shù)性質(zhì)，

9、（2） 又 所以x=016.一塊極化介質(zhì)的極化矢量為，根據(jù)偶極子靜電勢(shì)的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢(shì)為 另外，根據(jù)極化電荷公式及極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢(shì)又可表示為 證明以上兩表達(dá)式是等同的。證明： = = = 17證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢(shì)和電場(chǎng)的變化（1）在面電荷兩側(cè)。電勢(shì)法向微商有越變，而電勢(shì)是連續(xù)的；（2）在面偶極層兩側(cè)電勢(shì)有越變 而電勢(shì)的法相微商是連續(xù)的。解：（1）對(duì)面電荷作高斯面有即=-跨過面電荷取微小路經(jīng)電勢(shì)法向微商有越變 兩邊取極限右邊第一項(xiàng)是有限值， 也是有限值所以極限為零，即=0（2）對(duì)面電荷作高斯面，有即=0由圖，顯然有 18一半徑為的球面，在球坐標(biāo)的半球面上

10、電勢(shì)為 ，在的半球面上電勢(shì)為，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。 解：以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為z軸，球內(nèi)電勢(shì)為，球外電勢(shì)為，由題意得定解問題 由（3）（4）得 函數(shù)在區(qū)間，(即)用泰勒多項(xiàng)式展開 對(duì)于級(jí)數(shù)，由條件（5）有，由勒讓德多項(xiàng)式的遞推關(guān)系當(dāng)n為任意整數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，故即將上式的n改寫為2n+1，因而對(duì)任意整數(shù)n有同樣將，兩式中的n改寫為2n+1，并由處，得的系數(shù)為最終可得球內(nèi)外兩區(qū)域的電勢(shì)為 其中。19 上題能用格林函數(shù)方法求解嗎?結(jié)果如何？解：該問題給定的邊界條件是球面S的電勢(shì)，故應(yīng)選擇第一類邊值問題的格林函數(shù)，即在球面S上。球外空間格林函數(shù)為 （1）滿足處，其中，是場(chǎng)點(diǎn)位矢與單位點(diǎn)源位矢之間的夾角。 （2）其中與分別是場(chǎng)點(diǎn)與點(diǎn)源的坐標(biāo)。因?yàn)榍騼?nèi)的電荷的體密度為0，則球內(nèi)任意一點(diǎn)的電勢(shì)可由積分 （3）給出