全等三角形講義

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上全等三角形一、全等圖形定義及性質(zhì)1.圖形全等：一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等?！叭取庇帽硎?，讀作“全等于”2.全等三角形的定義：兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，如全等時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，記作。 把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。3. 全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。 例1.下列說法：全等圖形的形狀相同、大小相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的

2、對(duì)應(yīng)角相等；全等三角形的周長、面積分別相等，其中正確的說法為（） A B C D2.如圖,ABDACE,則AB的對(duì)應(yīng)邊是_,BAD的對(duì)應(yīng)角是_3.已知:如圖,ABEACD,B=C,則AEB=_,AE=_4.如圖:ABCDCB,AB和DC是對(duì)應(yīng)邊,A和D是對(duì)應(yīng)角,則其它對(duì)應(yīng)邊是_,對(duì)應(yīng)角是_5.已知:如圖,ABCDEF,BCEF,A=D,BC=EF,則另外兩組對(duì)應(yīng)邊是_,另外兩組對(duì)應(yīng)角是_ 2題3題4題5題 全等三角形的基本圖形大致有以下幾種：1平移型 如圖3，下面幾種圖形屬于平移型，它們可看成有對(duì)應(yīng)邊在一直線上移動(dòng)所構(gòu)成的，故該對(duì)應(yīng)邊的相等關(guān)系一般可由同一直線上的線段和或差而得到圖32對(duì)稱型

3、如圖4，下面幾種圖形屬于對(duì)稱型：圖4 它們的特征是可沿某一直線對(duì)折，直線兩旁的部分能完全重合（軸對(duì)稱圖形），重合的頂點(diǎn)就是全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)型 如圖5，下面幾種圖形屬于旋轉(zhuǎn)型：它們可看成是以三角形的某一頂點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的，故一般有一對(duì)相等的角隱含在對(duì)頂角、某些角的和 或差中 圖5二、全等三角形的判定畫圖思考？1、 全等三角形的判定方法：（SAS）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)邊邊邊（SSS）邊角邊（SAS）角邊角(ASA)角角邊AAS直角邊和斜邊（HL） 三邊對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全

4、等.兩角和及其中一個(gè)角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.有一條斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL）2全等三角形證題的思路：3.全等三角形的隱含條件：公共邊（或公共角）相等 對(duì)頂角相等利用等邊（等角）加（或減）等邊（等角），其和（或差）仍相等 利用平行線的性質(zhì)得出同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等 全等三角形（SSS）【知識(shí)要點(diǎn)】三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”，例1.已知：如圖AB=CD,AD=BC，求證：ADBC。例2.已知：如圖，點(diǎn)A、C、B、D在同一條直線上,AC=BD,AM=CN,BM=DN,求證：AMBCND例3.已知AB=CD，BF=CE，AE=CF，問A

5、BCD嗎？例4.已知：如圖,AB=AE,AC=AD,BC=DE, C,D在BE邊上.求證：CAE=DAB例5.如圖，在中，M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 求證：AM是的角平分線例6.如圖：在ABC中，BA=BC，D是AC的中點(diǎn)。求證：BDAC。例7. 如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：B=C。例8. 如圖，在中,，D、E分別為AC、AB上的點(diǎn)，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求證：DEAB。 例9.已知：如圖，AB=DC，BD=AC，AC，BD交于O求證：AOBDOC例10.如圖，已知：AB=AC，BE=CE ，E為AD上一點(diǎn)，求證：BED=CED。例1

6、1.已知：如圖，A、E、F、B在一條直線上，AC=BD , AE=BF，CF=DE。求證：ADBC例12.已知：如圖 , E是AD上的一點(diǎn) , AB=AC , AE=BD , CE=BD+DE求證：B=CAE課后思考1.工人師傅常用角尺平分任意角，做法如下： 如圖：AOB是一個(gè)任意角，在OA、OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP便是AOB的平分線。你知道這樣做的理由嗎？全等三角形（SAS）【知識(shí)要點(diǎn)】ABCEDF兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”，幾何表示如圖，在和中，例1.如圖，AE=DB,BC=E

7、F,BCEF,求證:ABCDEF例2.已知:如圖,AD是BC上的中線,且DF=DE求證:BECF 例3.如圖，已知，等腰RtOAB中，AOB=90o，等腰RtEOF中，EOF=90o，連結(jié)AE、BF 求證：（1）AE=BF；（2）AEBF例4.如圖，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于點(diǎn)O. 求證：(1) ABCAED； (2) OBOE .例5. 已知：如圖，AB=AC，AD=AE，求證：BE=CD.ADBEC例6. 如圖，已知：點(diǎn)D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，1=2，由此你能得出哪些結(jié)論？給出證明.ABDEC12 DABCE例7.如圖，已知ABC、BD

8、E均為等邊三角形。求證：BDCD=AD。例8.如圖,在中,，分別以AB,AC為邊作兩個(gè)等腰直角ABD和ACE， 使（1）求的度數(shù)；（2）求證： 例9.已知:如圖,AB=AC,AE平分BAC.求證:DBE=DCE例10.已知如圖，B是CE的中點(diǎn)，AD=BC，AB=DCDE交AB于F點(diǎn)。求證：（1）ADBC（2）AF=BF例11.已知：如圖，BE、CF是ABC的高，分別在射線BE與CF上取點(diǎn)P與Q，使BP=AC，CQ=AB。求證：（1）AQ=AP；（2）APAQ例12.已知C為AB上一點(diǎn),ACN和 BCM是正三角形.(1)求證:AM=BN；(2)求AFN的度數(shù).例13.如圖，已知ABC的邊長為1的

9、正三角形，BDC是頂角BDC=1200的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)600角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連MN形成AMN，求證：AMN的周長等于2。例14.五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°，求證：AD平分CDE. 課后思考1.如圖，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四邊形CDEF是正方形，連接AF、BD. (1)觀察圖形，猜想AF與BD之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的猜想； (2)若將正方形CDEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使正方形CDEF的一邊落在ABC的內(nèi)部，請(qǐng)你畫出一個(gè)變換后的圖形，并對(duì)照已知圖形標(biāo)記字母，題(1)中猜想的結(jié)論

10、是否仍然成立？若成立，直接寫出結(jié)論，不必證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.全等三角形（ASA）【知識(shí)要點(diǎn)】兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“AAS”， 全等三角形（AAS）【知識(shí)要點(diǎn)】兩角和它們的鄰邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”， 【典型例題】【例1】如圖，已知中，、分別是及平分線求證：【例2】如圖，在MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQNQ求證：HNPM.【例3】已知：如圖ACCD于C , BDCD于D , M是AB的中點(diǎn) , 連結(jié)CM并延長交BD于點(diǎn)F。求證：AC=BF【例4】如圖，AB=AC，求證：AD=AEABDEC【例3】已知：如圖

11、，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點(diǎn)F，求證：BE=CDACBDEFABCDP1234【例4】已知如圖，點(diǎn)P在AB上，可以得出PC=PD嗎？試證明之例5.如圖，ACB=900，AC=BC，D為AB上一點(diǎn),AECD，BFCD，交CD延長線于F點(diǎn).求證：BF=CE.例6.如圖在ABC中，ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中線，過點(diǎn)C作CFAE于F，過B作BDCB交CF的延長線于點(diǎn)D。（1）求證：AE=CD，（2）若BD=5，求AC的長。例7.如圖：在ABC中，ACB=90°，AC=BC，D是AB上一點(diǎn)，AEGD于E，BFCD交CD的延長線

12、于F。求證：AE=EF+BF。例8.如圖，已知在中，AD是角平分線，CFAD交AB于F，垂足為M，CEAD交BA的延長線于E，求證：AC=AE=AF。例9.如圖，ABC中，BAC=900，AB=AC，BD是ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長線于F求證：BD=2CE10.如圖：在ABC中，AB=AC，AD和BE都是高，它們相交于點(diǎn)H，且AH=2BD.求證：AE=BE.11.已知:如圖,四邊形 ABCD中,ADBC,F是AB的中點(diǎn),DF交CB延長線于E , CE=CD.求證：ADE=EDC12.如圖，ABC中，D是AC上一點(diǎn)，BEAC，BE=AD，AE分別交B

13、D、BC于點(diǎn)F、G 圖中有全等三角形嗎？請(qǐng)找出來，并證明你的結(jié)論 若連結(jié)DE，則DE與AB有什么關(guān)系？并說明理由 13.已知:如圖,ABCD,1=2,O是AD的中點(diǎn),EF、AD交于O求證：O也是EF的中點(diǎn) 12.已知：如圖,AE=BF , ADBC , AD=BC.AB、CD交于O點(diǎn)求證：OE=OF能力提高：1.已知:如圖，AD=DC,ADC=DEB=B=90°,四邊形ABCD的面積為16,則DE的長為（ ） A.5 B.4 C.3 D.23.已知：如圖，在ABC 中，AD是BAC的角平分線，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且EDF+EAF=180°。求證：DEDF。4.在等

14、邊三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P點(diǎn)，BQAD于Q求證：BP=2PQ5.如圖，點(diǎn)M為正ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)B除外)，作，射線MN與DBA外角的平分線交于點(diǎn)N，DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?課后思考：?jiǎn)栴}：一塊三角形玻璃碎成如圖形狀4塊，配一塊與原來一樣的三角形玻璃DBCA（1）要不要4塊都帶去？（2）帶哪一塊呢？（3）帶D塊，帶去了三角形的幾個(gè)元素？另外幾快呢？全等三角形（HL）【知識(shí)要點(diǎn)】直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫成“HL”【典型例題】例1.如圖，有一個(gè)直角ABC，C=90°，AC=10，BC=5，一條線段PQ=AB，P.Q兩點(diǎn)分別在

15、AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AP= 時(shí),才能使ABC與PQA全等.例2.如圖，ABBC于B，ADDC于D，且CB=CD求證：ABD=ADB.3、如圖，ABCD，DEAC，BFAC，E，F(xiàn)是垂足，求證：ADECBF4、已知：BECD，BEDE，BCDA，求證： BECDAE；DFBCBCDEFA5、如圖：在ABC中，C=90°，AC=BC，過點(diǎn)C在ABC外作直線MN，AMMN于M，BNMN于N。（1）求證：MN=AM+BN。6.已知：如圖，AD為ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD，求證：BEAC。7.已知：RtABC中，ACB是直角，

16、D是AB上一點(diǎn)，BD=BC，過D作AB的垂線交AC于E，求證：CDBE.8.已知：如圖 , AE , FC都垂直于BD , 垂足為E、F , AD=BC , BE=DF求證：OA=OC.9.已知：如圖，DN=EM，且DNAB于D，EMAC于E，BM=CN求證：B=C.10.已知：如圖 , BC是ABC和DCB 的公共邊 , AB=DC , AC=DB , AE、DF分別垂直BC于E , F 求證：AE=DF11.如圖，已知：ACB和ADB都是直角，BC=BD，E是AB上任一點(diǎn)，求證：CE=DE12.已知在RtABC中，C90°，ACBC，AD為BAC的平分線，DEAB，垂足為C求證：DBE的周長等于AB13.如圖,ABC中,ACB=90°,CEAB于E,AD=AC,AF平分CAE交CE于F求證:FDCB。課后思考：1.證明:在直角三角形中，300所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。2.如圖，A、E、F、C在一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DEAC，BFAC，若AB=CD。 請(qǐng)回答下列問題：（1）BD平分EF；（2）若將DEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)變?yōu)閳D2時(shí)其余條件不變，上述結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由。 能力提高：1.已知：AOB=90°，