計量學-聯(lián)立方程組模型

1、計量學-聯(lián)立方程組模型 本章簡單介紹聯(lián)立方程組模型計量分析，包括聯(lián)立方程組模型的基本概念、假設、識別性和參數(shù)估計等。2第一節(jié)第一節(jié) 聯(lián)立方程組模型及其假設聯(lián)立方程組模型及其假設第二節(jié)第二節(jié) 聯(lián)立方程組模型的識別性聯(lián)立方程組模型的識別性第三節(jié)第三節(jié) 聯(lián)立方程組模型的參數(shù)估計聯(lián)立方程組模型的參數(shù)估計3第一節(jié)聯(lián)立方程組模型及其假設第一節(jié)聯(lián)立方程組模型及其假設一、聯(lián)立方程組模型的基本概念n聯(lián)立方程組模型是方程組形式的計量經(jīng)濟模型。 n用一個簡單的微觀市場均衡模型說明聯(lián)立方程組模型的基本情況，以及它們所涉及的基本概念。 4n這個微觀市場均衡模型包括一個供給函數(shù)、一個需求函數(shù)、以及一個均衡方程，具體如下：

2、123111232SttttDttttSDttQPPQPYQQ5n稱被決定的 和 為模型的“內(nèi)生變量”。聯(lián)立方程組模型的內(nèi)生變量對應單方程模型中的被解釋變量。n收入變量 為模型的“外生變量”，相當于單方程模型中的解釋變量。n內(nèi)生變量 的一期滯后變量 ，稱“滯后內(nèi)生變量”。n外生變量和滯后內(nèi)生變量統(tǒng)稱為聯(lián)立方程組模型的“前定變量”。tPtQtYtP1tP6n區(qū)分聯(lián)立方程組模型的內(nèi)生變量和前定變量非常重要。因為兩類變量的數(shù)目及構成模型的情況，對聯(lián)立方程組模型是否意義，是否能夠得出唯一確定的參數(shù)估計等都有重要的影響。n通常一個聯(lián)立方程組模型的內(nèi)生變量數(shù)量與方程個數(shù)相等，而且能夠表示成每個內(nèi)生變量被其

3、他變量決定的標準形式。7n“結構式模型”（Structural Model）： 每個方程都代表經(jīng)濟問題和系統(tǒng)的一個方面，每個參數(shù)都有意義，能反映研究問題或經(jīng)濟系統(tǒng)結構和內(nèi)在聯(lián)系的聯(lián)立方程組模型n“簡約式模型”（Reduced Form Model）： 為了參數(shù)估計和分析的需要，常需要把結構式模型變換為各內(nèi)生變量只是前定變量函數(shù)形式的“簡約式模型” 。由于內(nèi)生變量數(shù)與方程的個數(shù)相等，因此這種變換一般是不難做到的。8SDtttQQQ123111232ttttttttQPPQPY22212122232232221122221122322322212111111111ttttttttttPYPPYQ9

4、引進下述記法則模型進一步化為這就是原市場均衡模型的簡約式模型。2221222223232232222211212222112231322321222121111,1,1,11,1,1,1ttttttuuttttttttuPYPuPYQ212322211113121110n引進簡約式模型的根本原因：1、簡約式模型的每個方程都是內(nèi)生變量與前定變量的函數(shù)關系，不存在內(nèi)生變量的交叉決定，因此求解內(nèi)生變量的數(shù)值和進行預測都比較簡單，2、沒有內(nèi)生變量作為解釋變量可避免解釋變量與誤差項存在相關性，并對分析結果有效性的影響。11n簡約式模型的意義比較模糊，不能清晰地反映經(jīng)濟變量的內(nèi)在聯(lián)系，因此不是聯(lián)立方程組模

5、型分析的最終目標，最后必須回到結構式模型。n當然這需要符合一定條件，就是后面要討論的聯(lián)立方程組模型的識別性。12二、聯(lián)立方程組模型的假設二、聯(lián)立方程組模型的假設（一）聯(lián)立方程組模型的一般表示法 一般用 分別表示有g個方程的聯(lián)立方程組模型的g個內(nèi)生變量，用 表示模型的K個前定變量 gYY,1KXX,113模型的結構式表示為：gtKtgKtgtgggtggttKtKtgtgtttKtKtgtgttXXYYYXXYYYXXYYY1111112212121212111111212114（二）聯(lián)立方程組模型的矩陣表示法 向量、矩陣記號如下：12121212111gggg111212122212KKggg

6、K12tttgtYYYY12tttKtXXXX12tttgttttYX15（三）聯(lián)立方程組模型的基本假設如下1、模型由上述結構式線性方程組組成，或者可用向量方程表示。其中有些系數(shù)，即 和 的部分元素可以是0， 中有些元素也可以是0；2、不等于0的 都滿足單方程線性回歸模型誤差項的假設，包括零均值、同方差、誤差序列不相關和正態(tài)分布。ttt21,163、不同方程的同期誤差可以相關，但協(xié)方差與時期t無關，即 不是t的函數(shù)。此外，不同方程的誤差項也不能有跨期相關性，即 當 時必須成立。4、模型的外生變量是確定性變量。5、模型是可識別的。這是聯(lián)立方程組模型特有的重要假設。下一節(jié)將專門討論這個問題。,ij

7、 ts(,)0itjsCov(,)itjtijCov17第二節(jié)第二節(jié) 聯(lián)立方程組模型的識別性聯(lián)立方程組模型的識別性一、識別性問題的意義一、識別性問題的意義n由于聯(lián)立方程組模型中內(nèi)生變量的水平由多個方程的共同作用決定，因此能否根據(jù)所觀測到變量數(shù)據(jù)推測出生成它們的各個經(jīng)濟關系，或者說聯(lián)立方程組模型中的函數(shù)關系是否可以明確辨別或唯一確定，是一個很重要的問題。這就是聯(lián)立方程組模型的識別性問題識別性問題。n聯(lián)立方程組模型的識別性等價于結構式參數(shù)與簡約式參數(shù)之間的對應關系。 18n例如一個最簡單的供給需求均衡模型如下：n如果其中參數(shù)已知，那么很容易根據(jù)這個模型解出均衡價格和銷售量，實際上就是模型的簡約式t

8、tttttPQPQ221121需求函數(shù)：供給函數(shù)：19ttttttttuPuQ22122212222111112222122121111120n供求模型的識別問題供求模型的識別問題 2S)(1211tttPQS)(2211tttQPD2DPtPQtQ21n根據(jù)均衡價格和銷售量數(shù)據(jù)確定供給和需求函數(shù)，實際上就是根據(jù)簡約式推導結構式。由于簡約式中只有兩個參數(shù)，而結構式中有四個參數(shù)，因此根據(jù)兩個方程 是無法從簡約式參數(shù)推導、確定出結構式參數(shù)的。n能否根據(jù)簡約式參數(shù)解出結構式參數(shù)，是識別問題的另一種標準。12111211212222,11 22n為了說明怎樣的聯(lián)立方程組模型是可識別的，我們在需求函數(shù)中

9、引進收入變量，得到如下模型：tttttttYQPPQ232112123解成簡約式為： ttttttttttttuYYPuYYQ222212221222322211112112222122322212111111124S1D2DP2PQ2Q3P1P3Q1Q3D1D25n也可以根據(jù)簡約式和結構式之間的關系，論證供給函數(shù)可識別和需求函數(shù)不可識別。n結構式參數(shù)和簡約式參數(shù)之間有下列四個關系式2312111122222311221222222,11,11 23321222222211 26n還可以通過考察結構式供給函數(shù)和需求函數(shù)的形式是否統(tǒng)一，是否能通過兩個方程的線性組合產(chǎn)生其他形式的供給函數(shù)和需求函數(shù)

10、，判斷它們的識別性問題。27n如果要市場均衡模型的兩個方程都可識別，只需在供給函數(shù)中再引進一個變量，如 ，也就是下面的形式：1tPttttttttYQPPPQ232111321ttttttttuPYPuPYQ212322211113121128 其中結構式和簡約式系數(shù)的關系為：2223232232222211212231322321222121111,1,11,1,129n需要注意的是，并不是聯(lián)立方程組模型引進越多的變量，方程或整個模型的識別性越強越好。n例如若在上面的供給函數(shù)中再加入一個認為與這種產(chǎn)品的供給有關的氣溫變量 作解釋變量，那么模型的結構式變?yōu)閠TtttttttttYQPTPPQ2

11、32114132130tttttttttuTPYPuTPYQ22412322211141131211222424222323223222221121224142231322321222121111,1,1,11,1,1,131通過簡約式采納述可以導出兩個的 值。這時候我們稱 所在的需求函數(shù)為“過度可識別”的。22242224142422232223132311112232n當存在過度可識別的方程時，實際上也意味著模型化為簡約式后，簡約式的參數(shù)不是完全獨立的，如本例的n相對上述過度可識別的情況，如果一個方程的結構式參數(shù)可通過簡約式參數(shù)得到唯一的值，則稱為“恰好可識別”的。/p>

12、二、判斷識別性的一般方法二、判斷識別性的一般方法n根據(jù)前述分析可知識別性有兩種等價的定義方式，1、能否通過簡約式的參數(shù)確定或唯一確定結構式方程的參數(shù)；2、各個結構式方程是否具有唯一確定的形式。n在其他方程作為條件或約束的前提下，模型的某個或某些方程沒有唯一確定的形式，正是無法從簡約式參數(shù)唯一地解出結構式參數(shù)的根源。34n判別每個方程識別性的基本準則： 聯(lián)立方程組的每一個方程是否具有唯一確定的形式。即如果所考察的聯(lián)立方程組模型的一個方程，不能用模型中其他方程的線性組合產(chǎn)生其他形式，該方程是可識別的，否則是不可識別的。35n根據(jù)上述判別法則可進一步推出下述結論：如果在聯(lián)立方程組模型中存在一個，或可

13、以用其他方程的線性組合得到一個，所有變量都已包含在所考察方程中的方程，那么所考察的方程是不可識別的。n該結論的一個直接推論是，如果聯(lián)立方程組模型中的某個方程包含了模型中所有的變量，那么該方程是不可識別的。 36一般聯(lián)立方程組模型方程識別性的一般判別法則的推導n設討論的是有g個方程的聯(lián)立方程組模型中某個方程的識別性問題。設這個方程中有M個變量，此外這個方程中沒有出現(xiàn)，但在模型其他方程中出現(xiàn)的有N個變量。n把所考察方程以外的其余g-1個模型方程，表示為向量方程：tttWSZRZ2137n根據(jù)前面的結論，如果這其余g-1個方程的一個線性組合，能夠產(chǎn)生一個不包含沒有在考察方程中出現(xiàn)的變量的方程，相當于

14、存在一個非零向量 ，左乘上述向量方程能夠使得 ，從而得到的方程中不包含 ，如：那么所考察的方程是不可識別的。反過來如果不存在上述非零向量 ，則所考察方程是可識別的。11(,)g0St2Z1ttRZW38n要滿足 ，即：的條件是S矩陣的秩rank(S)g-10S0S00, 12, 11 , 1222211121111NgggNNgSSSSSSSSS39n“秩條件秩條件”（Rank Condition） rank(S)g-1是聯(lián)立方程組模型方程識別性的關鍵條件：n當rank(S)g-1時所考察方程是不可識別的；n當rank(S)g-1時所考察方程是可識別的。40n識別性的識別性的“階條件階條件”(

15、Order Condition) 因為S矩陣的列數(shù)，也就是沒有出現(xiàn)在考察方程中變量的個數(shù)，Ng-1是rank(S)g-1的先決條件，因此Ng-1是識別性的先決條件。n只有S矩陣同時滿足階條件和秩條件，所考察的方程才是可識別的。不滿足階條件時肯定不可識別，這有利于簡化判斷識別性的工作。41n兩種不同的滿足可識別的階條件和秩條件的情況：1、N=g-1 沒有出現(xiàn)在考察方程中模型變量的個數(shù)正好等于其他方程的個數(shù)。這時候?qū)嶋H上就是該方程的結構式參數(shù)，可由簡約式參數(shù)唯一確定的情況，也就是恰好可識別的情況。 422、Ng-1 沒有出現(xiàn)在考察方程中的模型變量數(shù)大于其他方程的個數(shù)。這時候若用簡約式參數(shù)推導該方程

16、的結構式參數(shù)，會出現(xiàn)信息過多，參數(shù)有約束關系的情況，就是過度可識別的情況。43n聯(lián)立方程組模型識別問題的補充： 會計恒等式都是可識別的，因為它們的參數(shù)都是已知常數(shù)，不存在方程、變量關系無法確定的問題。44例例討論下列宏觀經(jīng)濟模型的識別性問題。tttttttttttttttGICYYTiYITYC31022110121045n考慮到判斷識別性的方便，可把每個方程寫成誤差項以外的各項都在等式左邊的形式：0,310221101210tttttttttttttttGICYYTiYITYC46n第一個方程的識別性 S矩陣： 1001000001211SttttGiYI47n假設經(jīng)過分析，認為模型的第三個方程可以刪去，即可用模型ttttttttttttGICYiYITYC22110121048n第一個方程的識別性 S矩陣變?yōu)椋?00101211SttttGiYI49n第二個方程的識別性 S矩陣： 10110121SttttGTYC50三、識別性的擴展討論三、識別性的擴展討論（一）誤差項協(xié)方差矩陣的約束和識別性（一）誤差項協(xié)方差矩陣的約束和識別性下