帶通抽樣定理

1、信號(hào)與系統(tǒng)A（2）課程自學(xué)報(bào)告實(shí)施報(bào)告題 目：帶通采樣定理與軟件無線電帶通抽樣定理實(shí)際中遇到的許多信號(hào)是帶通型信號(hào)，這種信號(hào)的帶寬往往遠(yuǎn)小于信號(hào)中心頻率。若帶通信號(hào)的上截止頻率為，下截止頻率為，這時(shí)并不需要抽樣頻率高于兩倍上截止頻率，可按照帶通抽樣定理確定抽樣頻率。定理 帶通抽樣定理：一個(gè)頻帶限制在內(nèi)的時(shí)間連續(xù)信號(hào)，信號(hào)帶寬，令，這里為不大于的最大正整數(shù)。如果抽樣頻率滿足條件，（3.1-9）則可以由抽樣序列無失真的重建原始信號(hào)。對(duì)信號(hào)以頻率抽樣后，得到的采樣信號(hào)的頻譜是的頻譜經(jīng)過周期延拓而成，延拓周期為，如圖3-3所示。為了能夠由抽樣序列無失真的重建原始信號(hào)，必須選擇合適的延拓周期（也就是選擇

2、采樣頻率），使得位于和的頻帶分量不會(huì)和延拓分量出現(xiàn)混疊，這樣使用帶通濾波器就可以由采樣序列重建原始信號(hào)。由于正負(fù)頻率分量的對(duì)稱性，我們僅考慮的頻帶分量不會(huì)出現(xiàn)混疊的條件。在抽樣信號(hào)的頻譜中，在頻帶的兩邊，有著兩個(gè)延拓頻譜分量：和。為了避免混疊，延拓后的頻帶分量應(yīng)滿足（3.1-10）（3.1-11）綜合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到（3.1-12）這里是大于等于零的一個(gè)正數(shù)。如果取零，則上述條件化為（3.1-13）這時(shí)實(shí)際上是把帶通信號(hào)看作低通信號(hào)進(jìn)行采樣。取得越大，則符合式（3.1-12）的采樣頻率會(huì)越低。但是有一個(gè)上限，因?yàn)?，而為了避免混疊，延拓周期要大于兩倍的信號(hào)帶寬，即

3、。因此（3.1-14）由于為不大于的最大正整數(shù)，因此不大于的最大正整數(shù)為，故有綜上所述，要無失真的恢復(fù)原始信號(hào)，采樣頻率應(yīng)滿足， （3.1-15）圖3-3 帶通采樣信號(hào)的頻譜帶通抽樣定理在頻分多路信號(hào)的編碼、數(shù)字接收機(jī)的中頻采樣數(shù)字化中有重要的應(yīng)用。作為一個(gè)特例，我們考慮（）的情況，即上截止頻率為帶寬的整數(shù)倍。若按低通抽樣定理，則要求抽樣頻率，抽樣后信號(hào)各段頻譜間不重疊，采用低通濾波器或帶通濾波器均能無失真的恢復(fù)原始信號(hào)。根據(jù)帶通抽樣，若將抽樣頻率取為（值取為），抽樣后信號(hào)各段頻譜之間仍不會(huì)發(fā)生混疊。采用帶通濾波器仍可無失真地恢復(fù)原始信號(hào)，但此時(shí)抽樣頻率遠(yuǎn)低于低通抽樣定理的要求。圖3-4所示為

4、，時(shí)抽樣信號(hào)的頻譜。圖3-4 ，時(shí)的抽樣頻譜在帶通抽樣定理中，由于，帶通抽樣信號(hào)的抽樣頻率在到之間變化，如圖3-5所示。圖3-5 帶通抽樣定理由以上討論可知，低通信號(hào)的抽樣和恢復(fù)比起帶通信號(hào)來要簡(jiǎn)單。通常，當(dāng)帶通信號(hào)的帶寬大于信號(hào)的最低頻率時(shí)，在抽樣時(shí)把信號(hào)當(dāng)作低通信號(hào)處理，使用低通抽樣定理，而在不滿足上述條件時(shí)則使用帶通抽樣定理。模擬電話信號(hào)經(jīng)限帶后的頻率范圍為300Hz3400Hz，在抽樣時(shí)按低通抽樣定理，抽樣頻率至少為6800Hz。由于在實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)濾波器均有一定寬度的過渡帶，抽樣前的限帶濾波器不能對(duì)3400Hz以上頻率分量完全予以抑制，在恢復(fù)信號(hào)時(shí)也不可能使用理想的低通濾波器，所以對(duì)語音

5、信號(hào)的抽樣頻率取為8kHz。這樣，在抽樣信號(hào)的頻譜之間便可形成一定間隔的保護(hù)帶，既防止頻譜的混疊，又放松了對(duì)低通濾波器的要求。這種以適當(dāng)高于奈奎斯特頻率進(jìn)行抽樣的方法在實(shí)際應(yīng)用中是很常見的。軟件無線電所覆蓋的頻率范圍一般都比較寬 ,只有寬頻段才能具有廣泛的適應(yīng)性 ,這樣寬的頻段號(hào)的頻譜Xs()可表示為 :+ Xs() =1Ts n = -X( -ns)用 Nyquist 低通采樣1 是不現(xiàn)實(shí)的 ,而實(shí)際上軟件無線電中的各種無線電信號(hào)的瞬時(shí)信號(hào)帶寬都比較窄 ,這樣采用帶通采樣將使采樣速率大大降低 。本文重點(diǎn)是通過對(duì)帶通采樣定理進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和論證 ,利用一系列不等式組提出了帶通采樣理論上能達(dá)

6、到的最小采樣速率 。用matlab對(duì)定理進(jìn)行仿真fs=100000; %抽樣頻率N=216;t=(0:N-1)/fs; %t 時(shí)間 W=(0:N-1)*fs/N; %W 頻率 y=cos(1200*2*pi*t)+cos(1250*2*pi*t)+cos(1300*2*pi*t);% y 原始信號(hào) chyang=zeros(1,N); %抽樣信號(hào)T=round(fs/250); %頻率為250HZ for i=1:N if(mod(i,T)=0) chyang(i)=1; endendy2=y.*chyang; %y2為抽樣后的信號(hào)hw=fft(y,N); %快速傅里葉變換 HW=abs(hw

7、); %取幅度值W=(0:N-1)*fs/N; %頻率值 figure(1);subplot(2,1,1);plot(t(1:8000),y(1:8000);grid on;title('濾波前信號(hào)y');xlabel('時(shí)間/s'); % 原始信號(hào)subplot(2,1,2);plot(W(1:N/64),HW(1:N/64); % 查看信號(hào)頻譜grid on;title('濾波前信號(hào)頻譜圖');xlabel('頻率/Hz');ylabel('振幅|H(ejw)|');hwch=fft(chyang,N); HW

8、CH=abs(hwch); %取幅度值W=(0:N-1)*fs/N; %頻率值 figure(2);subplot(2,1,1);stem(t(1:10000),chyang(1:10000);grid on;title('抽樣信號(hào)chyang');xlabel('時(shí)間/s');subplot(2,1,2);plot(W(1:N/64),HWCH(1:N/64);agrid on;title('抽樣信號(hào)頻譜圖');xlabel('頻率/Hz');ylabel('振幅|H(ejw)|');hw2=fft(y2,N);

9、 %快速傅里葉變換 HW2=abs(hw2); %取幅度值W=(0:N-1)*fs/N; %頻率值 figure(3);subplot(2,1,1);plot(t(1:8000),y2(1:8000);grid on;title('采樣之后');xlabel('時(shí)間/s'); subplot(2,1,2);plot(W(1:N/64),HW2(1:N/64);%設(shè)置帶通濾波器ws=1130/fs*2,1370/fs*2; %ws1 ws2 阻帶截止頻率wp=1180/fs*2,1320/fs*2; %wp1 wp2 通帶截止頻率n,wn=buttord(wp,ws,3,15); %求濾波器階數(shù)n與截止頻率wnb,a=butter(n,wn); %求濾波器H(s)的表達(dá)式的分子分母系數(shù)b，ay3=filter(b,a,y2); %y2為y經(jīng)過濾波器之后的函數(shù)hw3=fft(y3,N); HW3=abs(hw3); figure(4); subplot(2,1,1);plot(t(1:8000),y3(1:8000);%axis(0,0.1,-0.02,0.02);grid on;title('濾波后信號(hào)');xlab