微分方程及其應用

1、第九章 微分方程及其應用§9.1 微分方程及其相關概念所謂微分方程，就是含有自變量、自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導數(shù)（或微分）的方程。例如，以下各式都是微分方程： . . .只含一個自變量的微分方程,稱為常微分方程,自變量多于一個的稱為偏微分方程。本章只研究常微分方程，因而以后各節(jié)提到微分方程時均指常微分方程。微分方程中所含有的未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)，稱為該微分方程的階。例如，、為一階方程，、為二階方程，而為n階方程。微分方程中可以不含有自變量或未知函數(shù)，但不能不含有導數(shù)，否則就不成為微分方程。微分方程與普通代數(shù)方程有著很大的差別，建立微分方程的目的是尋找未知函數(shù)本身。如果P19

2、6有一個函數(shù)滿足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程變成（對自變量的）恒等式，這個函數(shù)就叫做微分方程的解。例如顯然是的解，因為。若方程解中含有獨立的任意常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)，則稱此解為微分方程的通解，例如就是的通解。從通解中取定任意常數(shù)的一組值所得到的解，稱為微分方程的特解。例如就是的一個特解。用來確定通解中任意常數(shù)值的條件稱為定解條件，當自變量取某個值時，給出未知函數(shù)及其導數(shù)的相應值的條件稱為初始條件。在本章中，我們遇到的用來確定任意常數(shù)值的條件一般為初始條件。例如，如果的初始條件為，則在代入到通解后，可以求得，從而得到特解。一般的，因為階微分方程的通解中含有個獨立的任意常數(shù)。需要

3、有個（一組）定解條件，所以階方程的初始條件為：其中為個給定常數(shù)。微分方程的解所對應的幾何圖形叫做微分方程的積分曲線。通解的幾何圖形是一族積分曲線，特解所對應的幾何圖形是一族積分曲線中的某一條。例如，方程的積分曲線族如圖9所示。其中就是滿足初始條件的特解。§9.2 微分方程的經(jīng)典案例例1 自由落體運動的規(guī)律自由落體運動是指物體在僅受到地球引力的作用下，初速度為零的運動。根據(jù)經(jīng)典力學的牛頓第二定律：物體動量變化的大小與它所受到的外力成正比，其方向與外力的方向一致。當物體的運動速度的絕對值不大（與光速=3km/s相比較）時，其質(zhì)量可以是一恒量。于是這一運動定律能表達成或 （1）其中表示物體

4、所受外力的合力。對于僅受到地球引力作用的自由落體的運動，則有：這里表示重力加速度，其大小一般取為：；表示自由落體運動的路程，其大小以表示之。注意到的方向與的方向一致，將代入式后得到自由落體運動立場大小變化的規(guī)律： 或 （2）運動規(guī)律式表示一個微分方程問題。等式（2）的左端是路程大小的二次微商它的右端是常數(shù)。這里和之間不是普通的函數(shù)關系，而是二微商的關系。例2 單擺運動單擺又稱為鐘擺或數(shù)學擺。所謂單擺運動是指一質(zhì)量為>0的小球，用長度為的柔軟細繩拴住，細繩的一端固定在某點O處。小球在鉛垂平面內(nèi)運動，略去空氣的阻力和細繩在O點處的摩擦力。并且認為細繩的長度不變，僅考慮地球的引力和細繩對小球的

5、拉力（見圖92）。在鉛垂平面內(nèi)引進以O為坐標原點的極坐標系統(tǒng)，由于細繩長度不變且細繩總是直的，所以小球的位置用一個坐標就能表示。這里表示細繩和鉛垂方向之間的夾角。鉛垂方向即是小球的平衡方向，它對應的為零。作用在小球上的地球引力的大小為，其方向鉛垂向下。重力沿細繩方向的分力的大小為，其方向沿細繩指向外。這個力與小球運動所需要的向心力剛好平衡。所以小球沿細繩方向沒有運動。重力在垂直于細繩方向的分力的大小為，它的方向與角增加的方向相反。根據(jù)牛頓第二定律得到單擺運動的規(guī)律為： （3）根據(jù)圓周運動規(guī)律有：于是從式（3）得出： （4）關系式（4）是包含及其二接微商的方程，并且不是線性而是非線性地出現(xiàn)在方程

6、中（以這種非線性形式）。從方程（4）來求出隨著時間變化規(guī)律的分析表達式是困難的。當比較小時，對微分方程（4）能夠進行線性化出處理，即用代替，或者說，用來近似。這樣得到式（4）的線性化微分方程： 在相同初始條件下服從微分方程求得的隨時間變化的規(guī)律是單擺運動的近似規(guī)律。通常將式寫成如下的規(guī)范形式： （5）其中 。例3 真空中的拋射體運動在真空中運動的拋射體，它的運動規(guī)律十分復雜。這里僅考慮在真空中拋射體的運動規(guī)律。即忽略拋射體所受的空氣阻力，而僅考慮質(zhì)量為的拋射體受地球引力作用而引起的運動。取一直角坐標系，軸沿水平方向；軸垂直于軸；軸垂直于平面，并與軸、軸一起組成右手坐標系。依牛頓第二定律，拋射體

7、的運動規(guī)律為： （6）拋射體的初始狀態(tài)取為： 其中是拋射體的初始速度，位于平面內(nèi)，表示的大??；表示與水平方向（即軸）之間的夾角（見圖9-4）。例4 深水炸彈的水下運動一質(zhì)量為的深水炸彈，從高為處自由下落到海中。這里不考慮深水炸彈在水平方向的運動，而僅考慮它在鉛直方向的運動。由經(jīng)典力學知：物體由高為處自由下落至海平面時，其鉛垂方向的速度為：這里為重力加速度。按如下方式取定坐標系：坐標原點取在海平面上某處， 軸沿鉛垂向下，（見圖9-5）。深水炸彈自高度為處自由下落至海平面的時間為。于是深水炸彈的初始狀態(tài)為： 深水炸彈在海中運動時，我們不考慮海水對它的浮力，這時炸彈受到兩個力的作用，：一是地球引力，

8、其方向鉛垂向下；另一個是海水對炸彈的摩擦力。這個摩擦力是很復雜的，它和炸彈的形狀、速度等因素有關，這里近似的認為摩擦力的大小和炸彈的速度成正比，比例系數(shù)即摩擦系數(shù)為常數(shù)。摩擦力的方向與炸彈的速度方向相反，因而是鉛垂向上的。于是摩擦力能表示為： 根據(jù)牛頓第二定律知深水炸彈在水下運動的規(guī)律為：或 （7）例5 放射性元素的衰變放射性元素鈾由于不斷的有原子放射出微粒子而變成其他元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學知道，鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量成正比。已知時鈾的含量為，求在衰變過程中鈾含量隨時間變化的規(guī)律。解 鈾的衰變速度就是對時間的導數(shù)，由于鈾的衰變速度與其含量成正比，

9、故得微分方程 其中是常數(shù)，叫做衰變系數(shù)。前置符號是由于當增加時單調(diào)減少，即的緣故。按題意，初始條件為 例6 指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）英國人口學家馬爾薩斯（Malthus，1766-1834）根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計資料，于1798年提出了著名的人口指數(shù)增長模型。這個模型的基本假設是：人口的增長率是常數(shù)，或者說，單位時間內(nèi)人口的增長量與當時的人口成正比。記時刻的人口為，當考察一個國家或一個很大地區(qū)的人口時，是很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學工具，將視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時刻的人口為，人口增長率為r，r是單位時間內(nèi)的增量與的比例系數(shù)。于是，滿足如下的微分方程： 表明人口將按指數(shù)規(guī)律無限增長。例7 阻滯增長模型（Logistic模型）例6中的指數(shù)增長模型在19世紀前比較符合人口增長情況，但從19世紀以后，就與人口事實上的增長情況產(chǎn)生了較大的差異。產(chǎn)生上述現(xiàn)象的主要原因是，隨著人口的增加，自然資源，環(huán)境條件等因素對人口繼續(xù)增長的阻滯作用越來越顯著。如果當人口較少時（相對于資源而言）人口增長率還可以看作常數(shù)的話，那么當人口增加到一定數(shù)量后，增長率就會隨著人口的繼續(xù)增加而逐漸減少。為了使人口預報特別是長期預報更好的符合實際情況，必須修改指數(shù)增長模型關于人口