拉普拉斯方程的解

1、拉普拉斯方程的解分離變量法一 拉普拉斯方程的適用條件1 空間處處，自由電荷只分布在某些介質(zhì)（如導(dǎo)體）表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界，可以用拉普拉斯方程。2 在所求區(qū)域介質(zhì)中有自由電荷分布，若這個自由電荷分布在真空中，產(chǎn)生的勢為已知。 若所求區(qū)域為單一均勻介質(zhì)，則介質(zhì)中電勢為真空中電勢 。 若所求區(qū)域為分區(qū)均勻介質(zhì)，則不同介質(zhì)交界面上有束縛面電荷。則區(qū)域V中電勢可表示為兩部分的和 不滿足，但使?jié)M足，仍可用拉普拉斯方程求解。但注意，邊值關(guān)系還要用而不能用。二 拉普拉斯方程在幾種坐標(biāo)系中解的形式1 直角坐標(biāo) 令 一般令 若考慮了某些邊界條件（有限邊界）均與某些正整數(shù)有關(guān)，它們均可取1，2，通解還要求

2、取和后才行。若 與 無關(guān)， 特解 若 ，與 無關(guān)。 2 柱坐標(biāo) 僅討論 與 無關(guān)。令 解： 有兩個線性無關(guān)解 和 。單值性要求 ，只能取整數(shù)，令（正整數(shù)）通解：若 ，。3球坐標(biāo) 締合勒讓德函數(shù)（連帶勒讓德函數(shù)）l 若不依賴于，即具有軸對稱性通解 為勒讓德函數(shù)， l 若與均無關(guān)，即具有球?qū)ΨQ性，則通解為：三解題步驟1 選擇坐標(biāo)系和電勢參考點坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀參考點主要根據(jù)電荷分布是有限還是無限2 分析對稱性，分區(qū)寫出拉普拉斯方程在所選坐標(biāo)系中的通解3 根據(jù)具體條件確定常數(shù)（1） 外邊界條件： 電荷分布有限 邊界條件和邊值關(guān)系是相對的。導(dǎo)體邊界可視為外邊界，給定，或給定總電荷Q，或

3、給定（接地 ）電荷分布無限，一般在均勻場中， （直角坐標(biāo)或柱坐標(biāo)）xyOV（2） 內(nèi)部邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面上 表面無自由電荷。四應(yīng)用實例（習(xí)題課）1 兩無限大平行導(dǎo)體板，相距為，兩板間電勢差為V(與無關(guān))，一板接地，求兩板間的電勢和解：（1）邊界為平面，故應(yīng)選直角坐標(biāo)系下板接地 ，為參考點（2）定性分析：由于在處，常數(shù)，可考慮與無關(guān)。（3） 列出方程并給出解：在區(qū)域，（4） 方程的解：（5）定常數(shù)： (6) 結(jié)果： 顯然滿足和邊界條件xyz 常數(shù)，均勻場2 一對接地半無限大平板，相距為，左端有一極板電勢為V（常數(shù)），求兩平行板之間的電勢解：（1）邊界為平面，選直角坐標(biāo)系上、下兩平板接地，為參考點同樣若或（2）軸平行于兩平板，且與無關(guān)，可設(shè)與無關(guān)。（3）確定常數(shù) A，B，C，D，k（A，B不能全為零，否則與x無關(guān)）。與n有關(guān)，上面解可寫為通解 3半徑a，帶有均勻電荷分布的無限長圓柱導(dǎo)體，求導(dǎo)體柱外空間的電勢和電場。xyzor解：電荷分布在無限遠(yuǎn)，電勢零點應(yīng)選在有限區(qū)域，為簡單可選在導(dǎo)體面r = a處（即）。選柱坐標(biāo)系：對稱性分析： 導(dǎo)體為圓柱，柱上電荷均勻分布，一定與無關(guān)。 柱外無電荷，電力線從面上發(fā)出后，不會終止到面上，只能終止到無窮遠(yuǎn)，且在導(dǎo)體面上電場只沿方向，可認(rèn)為與z無關(guān)， 當(dāng)r = a時， 則 不選擇零點也不影響求場。常數(shù)C的確定：