專題：函數(shù)定義域的求法及常見(jiàn)題型-(定稿)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題一：函數(shù)定義域的求法及常見(jiàn)題型一、函數(shù)定義域求法（一）常規(guī)函數(shù)函數(shù)解析式確定且已知，求函數(shù)定義域。其解法是根據(jù)解析式有意義所需條件，列出關(guān)于自變量的不等式或不等式組，解此不等式（或組），即得函數(shù)定義域。例1.求函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足由解得 或。 由解得 或 和求交集得且或x>5。故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?11）U(-11,-3 U(5,+ )。注意點(diǎn)：分母、偶次方根被開(kāi)方數(shù)，多條件求交集，定義域?qū)懛ǎ瑑H可寫(xiě)成區(qū)間或集合形式，不能寫(xiě)成不等式。例2.求函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足由解得 由解得 由和求公共部分，得故函數(shù)的定義

2、域?yàn)?-4,- U(0,。提示點(diǎn)：和怎樣求公共部分？（二）抽象函數(shù)1.有關(guān)概念定義域：函數(shù)y=f(x)的自變量x的取值范圍，可以理解為函數(shù)y=f(x)圖象向x軸投影的區(qū)間；凡是函數(shù)的定義域，永遠(yuǎn)是指自變量x的取值范圍；對(duì)應(yīng)法則：通過(guò)“工廠” 或“模具”觀點(diǎn)進(jìn)行類比，以此深入理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則“f”。 把函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則“f”看作“工廠” 或“模具”，把自變量“x”的取值看作“原料”，把相應(yīng)函數(shù)值“y”看作“成品”。該觀點(diǎn)注重“原料”以怎樣的形式組裝成“成品”，而不管“原料”是否為“初級(jí)產(chǎn)品”，從而避免了當(dāng)所給函數(shù)的“原料”不是某個(gè)單一字母的情形時(shí)，找不到或不好找函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則。如（1）已知函數(shù)f

3、(x)的定義域是0,4，求函數(shù)f(2x+1)的定義域；（2）已知函數(shù)f(2x+1)的定義域是0,4，求函數(shù)f(x)的定義域。可以把f(x)看成工廠的生產(chǎn)加工，f是加工工序，x是原料。（1）中f(x)的原料就是初級(jí)產(chǎn)品，所以原料或初級(jí)產(chǎn)品滿足的條件就是0,4；在f(2x+1)中，初級(jí)產(chǎn)品是2x+1，它必須滿足0,4，由此求出f(2x+1)的原料x(chóng)滿足的條件（即自變量）。 因?yàn)?2）中f(2x+1)的定義域是0,4，即原料x(chóng)滿足0,4，變成初步產(chǎn)品2x+1,那么初步產(chǎn)品的限制條件就成了1,9, 所以f(x)的原材料就是 1,9，這樣好不好理解？值 域：函數(shù)y=f(x)的因變量y的取值范圍

4、，可以理解為函數(shù)y=f(x)圖象向y軸投影的區(qū)間；顯函數(shù)：俗稱常見(jiàn)函數(shù)，函數(shù)解析式是明確的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5；隱函數(shù)：俗稱抽象函數(shù)，函數(shù)解析式是不明確的，就用y=f(x)表示，具體f(x)是什么內(nèi)容是隱藏的；復(fù)合函數(shù)：如果說(shuō)y=f(x)是一個(gè)簡(jiǎn)單的抽象函數(shù)，那么把自變量x用一個(gè)函數(shù)g(x)來(lái)代替，就稱y=f(g(x)為復(fù)合的抽象函數(shù)，習(xí)慣上稱y=f(t)是外函數(shù)，t=g(x)為內(nèi)函數(shù)。2.四種類型題型一：已知抽象函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閙,n，如何求復(fù)合抽象函數(shù)y=f(g(x)的定義域？思路分析：本題型是已知y=f(x)的自變量x的范圍，求y=f(g(x)的自變量x的范圍

5、，其中的關(guān)鍵是，后者的g(x)相當(dāng)于前者的x。解決策略：求不等式mg(x)n的解集，即為y=f(g(x)的定義域例題3.已知函數(shù)y=f(x)的定義域0,3，求函數(shù)y=f(3+2x)的定義域解：令t=3+2x，y=f(x)的定義域0,3，y=f(t)的定義域也為0,3，即t=3+2x0,3，說(shuō)明：內(nèi)函數(shù)g(x)=3+2x，通過(guò)令t=3+2x做了一個(gè)換元，此處換元不能寫(xiě)為令x=3+2x。原因是y=f(x)中的x與y=f(3+2x)的x雖然長(zhǎng)得一樣，但是意義不同，如果令x=3+2x，則等號(hào)兩邊的x就是一模一樣了，x只能為-3了。強(qiáng)化訓(xùn)練：1.已知函數(shù)y=f(x)的定義域-1,5，求函數(shù)y=f(3x-

6、5)的定義域；2.已知函數(shù)y=f(x)的定義域1/2,2，求函數(shù)y=f(log2x)的定義域；3.已知的定義域?yàn)?，2，求的定義域。題型二：已知復(fù)合抽象函數(shù)y=f(g(x)定義域m,n，如何求抽象函數(shù)y=f(x)的的定義域？思路分析：本題型是已知y=f(g(x)的自變量x的范圍，求y=f(x)的自變量x的范圍，其中的關(guān)鍵是，前者的g(x)相當(dāng)于后者的x。解決策略：求內(nèi)函數(shù)t=g(x)在區(qū)間m,n的值域（t的取值范圍），即為y=f(x)的定義域例題4.已知函數(shù)y=f(2x-1)的定義域0,3，求函數(shù)y=f(x)的定義域.解：y=f(2x-1)的定義域0,3，0x3，令t=2x-1，t=2x-1-

7、1,5故，函數(shù)y=f(t)的定義域?yàn)閠-1,5，故，函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閤-1,5說(shuō)明：函數(shù)y=f(x)與y=f(t)是同一個(gè)函數(shù)，與單個(gè)自變量是x還是t無(wú)關(guān)。另外，題型二是題型一的逆向題目。強(qiáng)化訓(xùn)練：1.已知函數(shù)y=f(x2-2x+2)的定義域0,3，求函數(shù)y=f(x)的定義域.2.已知函數(shù)y=flg(x+1)的定義域0,9，求函數(shù)y=f(x)的定義域.題型三：已知復(fù)合抽象函數(shù)y=f(g(x)定義域m,n，如何求復(fù)合抽象函數(shù)y=f(h(x)定義域的定義域？思路分析：本題型是已知y=f(g(x)的自變量x的范圍，求y=f(h(x)的自變量x的范圍，其中的關(guān)鍵是，前者的g(x)相當(dāng)于后者的

8、h(x)，故先求出“橋梁”函數(shù)y=f(x)的定義域。解決策略：用題型二的方法根據(jù)y=f(g(x)定義域求y=f(x)的定義域，用題型一的方法根據(jù)y=f(x)的定義域求y=f(h(x)的定義域例題5.已知函數(shù)y=f(2x-1)的定義域0,3，求函數(shù)y=f(3+x)的定義域.解：y=f(2x-1)的定義域0,3，0x3，令t=2x-1，t=2x-1-1,5故，函數(shù)y=f(t)的定義域?yàn)閠-1,5，故，函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閤-1,5令t=3+x，則t=3+x-1,5故，函數(shù)y=f(3+x)定義域?yàn)?4,2說(shuō)明：題型三其實(shí)是題型一與題型二的綜合而已，會(huì)了前兩個(gè)題型，第三個(gè)題型自然就會(huì)了。強(qiáng)化訓(xùn)練

9、：1.已知函數(shù)y=f(x+1)的定義域-2,3，求函數(shù)y=f(2x-1)的定義域.2.已知函數(shù)y=f(2x)的定義域-1,1，求函數(shù)y=f(log2x)的定義域.3. 已知f(x+1)的定義域?yàn)?1/2，2，求f(x2)定義域。題型四：已知f(x)的定義域，求與f(x)相關(guān)四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域。思路分析：若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集。解題策略：先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集。例6.已知f(x)的定義域?yàn)?3，5，求（x）=f(-x)+f(2x+5)定義域。強(qiáng)化訓(xùn)練：1.已知f(x)的定義域?yàn)椋?，5，求g(x)=f(x+a)f(x-a)定義

10、域，其中-1a0。二、與函數(shù)定義域相關(guān)的變形題型（一）逆向型即已知所給函數(shù)的定義域求解析式中參數(shù)的取值范圍。特別是對(duì)于已知定義域?yàn)镽，求參數(shù)的范圍問(wèn)題通常是轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題來(lái)解決。例7.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析：函數(shù)的定義域?yàn)镽，表明，使一切xR都成立，由項(xiàng)的系數(shù)是m，所以應(yīng)分m=0或進(jìn)行討論。解：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)镽；當(dāng)時(shí)，是二次不等式，其對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件是綜上可知。評(píng)注：不少學(xué)生容易忽略m=0的情況，希望通過(guò)此例解決問(wèn)題。例8.已知函數(shù)的定義域是R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解：要使函數(shù)有意義，則必須0恒成立，因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，即無(wú)實(shí)數(shù)當(dāng)k0時(shí)，恒成立，

11、解得；當(dāng)k=0時(shí)，方程左邊=30恒成立。綜上k的取值范圍是。定義域非實(shí)數(shù)，求法。（二）參數(shù)型對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)，求定義域時(shí)，必須對(duì)分母分類討論。例9.已知的定義域?yàn)?，1，求函數(shù)的定義域。解：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，1，即。故函數(shù)的定義域?yàn)橄铝胁坏仁浇M的解集：，即即兩個(gè)區(qū)間a，1a與a，1+a的交集，比較兩個(gè)區(qū)間左、右端點(diǎn)，知（1）當(dāng)時(shí)，F(xiàn)（x）的定義域?yàn)?；?）當(dāng)時(shí)，F(xiàn)（x）的定義域?yàn)?；?）當(dāng)或時(shí)，上述兩區(qū)間的交集為空集，此時(shí)F（x）不能構(gòu)成函數(shù)。（三）隱含型有些問(wèn)題從表面上看并不求定義域，但是不注意定義域，往往導(dǎo)致錯(cuò)解，事實(shí)上定義域隱含在問(wèn)題中，例如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集。因此，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求定義域。例10.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：由，即，解得。即函數(shù)y的定義域?yàn)椋?，3）。函數(shù)是由函數(shù)復(fù)合而成的。，對(duì)稱軸x=1，由二次函數(shù)的單調(diào)性，可知t在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)，而在其定義域上單調(diào)增；，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)。（四）實(shí)際問(wèn)題型這里函數(shù)的定義域除滿足解析式外，還要注意問(wèn)題的實(shí)際意義對(duì)自變量的限制，這點(diǎn)要加倍注意，并形成意識(shí)。例11.將長(zhǎng)為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長(zhǎng)x的函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的定義域。解：設(shè)矩形一邊為x，則另一邊長(zhǎng)為于是可得矩形面積。由問(wèn)題的實(shí)際意義，