：第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法2

1、自動控制原理講座自動控制原理講座古典控制理論局部古典控制理論局部 主講：黃國宏主講：黃國宏廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院第三章第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法線性系統(tǒng)的時域分析法內(nèi)容提要內(nèi)容提要介紹一階和二階系統(tǒng)時間響應(yīng)的分析和計算；介紹一階和二階系統(tǒng)時間響應(yīng)的分析和計算；討論系統(tǒng)參數(shù)對性能指標的影響，分析改進二討論系統(tǒng)參數(shù)對性能指標的影響，分析改進二階系統(tǒng)性能的措施；階系統(tǒng)性能的措施；介紹高階系統(tǒng)時域分析方法；介紹高階系統(tǒng)時域分析方法；介紹用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，介紹用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，以及計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法。以及計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法。3.4 二階

2、系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析 3.4.1 二階系統(tǒng)的標準形式二階系統(tǒng)的標準形式21221)()(KKssKKsRsC 典型的二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖(a)所示, 它是由一個慣性環(huán)節(jié)和一個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成前向通道的單位負反響系統(tǒng)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 令2n=K1K2/, 1/=2n , 那么可將二階系統(tǒng)化為如下標準形式: 2222)()(nnnsssRsC對應(yīng)的系統(tǒng)微分方程為 )()()(2)(22trtctctcnnn 式中, 稱為阻尼比阻尼比, n稱為無阻尼自振角頻率無阻尼自振角頻率。二階系統(tǒng)的特征方程特征方程為 0222nnss所以, 系統(tǒng)的兩個特征根(極點)為 122, 1nns隨著阻尼比

3、阻尼比的不同的不同, 二階系統(tǒng)特征根二階系統(tǒng)特征根(極點極點)也不相同。也不相同。 欠阻尼欠阻尼 (01)22, 11nnjs 這是一對共軛復(fù)數(shù)根, 如圖(a)所示。 當(dāng)01時, 兩特征根為 臨界阻尼臨界阻尼 ( =1) 當(dāng)=1時, 特征方程有兩個相同的負實根, 即 s1,2=-n此時, s1, s2如圖 (b)所示。 過阻尼過阻尼 ( 1)當(dāng) 1時, 兩特征根為 122, 1nns這是兩個不同的實根, 如圖 (c)所示。 無阻尼無阻尼 ( =0)當(dāng) =0時, 特征方程具有一對共軛純虛數(shù)根, 即 njs2, 1此時, s1, s2如圖 (d)所示。 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

4、 令令r(t)=1(t), 那么有那么有R(s)=1/s，可得二階系，可得二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下輸出信號的拉氏變換統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下輸出信號的拉氏變換為為 ssssCnnn12)(222對上式求拉氏反變換拉氏反變換, 可得二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的過渡過程為 )()(1sCLtc1) 欠阻尼情況欠阻尼情況 (0 1) 2222)()(1)(21)(dnddndnndndnnssssjsjssssC式中, 稱為有阻尼自振角頻率有阻尼自振角頻率。 21nd上式分解為拉氏反變換為)0(sin1cos1sincos1)()(21tttetetesCLtcddtdtdndtnnn上式還可以

5、改寫為 )0()sin(11sincos111)(222ttettetcdtddtnn, ( =arccos) 在欠阻尼情況下, 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是衰減衰減的正弦振蕩曲線的正弦振蕩曲線。 衰減速度衰減速度取決于特征根特征根實部的絕對值實部的絕對值n的大小 振蕩角頻率振蕩角頻率是特征根虛特征根虛部的絕對值部的絕對值, 即有阻尼自振有阻尼自振角頻率角頻率d , 2122nddT 振蕩周期振蕩周期為： 2無阻尼情況無阻尼情況 ( =0) 當(dāng)當(dāng) =0時時, 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 ttcncos1)( 所以, 無阻尼情況下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是等幅正等幅正(余余)弦振蕩曲線弦振蕩曲線

6、, 振蕩角頻率振蕩角頻率是n。 3臨界阻尼情況臨界阻尼情況 (=1) 當(dāng)當(dāng)=1時時, 可得可得 nnnnnssssssC1)(1)()(2222對上式進行拉氏反變換得 )0() 1(1)(tettctnn 所以, 二階系統(tǒng)臨界阻臨界阻尼尼情況下的單位階躍響應(yīng)是一條無超調(diào)無超調(diào)的單調(diào)上升曲單調(diào)上升曲線線。 4過阻尼情況過阻尼情況(1) 這種情況下這種情況下, 系統(tǒng)存在兩個不等的實根系統(tǒng)存在兩個不等的實根, 即即 nnss)1(,)1(2221可得 )1()1(1)()(23221212nnnsAsAsAssssssC式中, )1(121,)1(121, 12232221AAA取上式的拉氏反變換拉

7、氏反變換可得過阻尼情況下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 ttnneetc)1(22)1(2222)1(121)1( 1211)(t0) 顯然, 這時系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)包含兩個衰減的指數(shù)項, 其過渡過程曲線如以下圖所示。 此時的二階系統(tǒng)就是兩個慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。 有關(guān)分析說明, 當(dāng)2時, 兩極點s1和s2與虛軸的距離相差很大, 此時靠近虛軸的極點所對應(yīng)的慣性環(huán)節(jié)的時間響應(yīng)與原二階系統(tǒng)非常接近, 可以用該慣性環(huán)節(jié)來代替原來的二階系統(tǒng)。 在欠阻尼的狀態(tài)下, 當(dāng)時, 過渡過程時間過渡過程時間比臨界阻尼時更短比臨界阻尼時更短, 而且振蕩也不嚴重而且振蕩也不嚴重。 因此在控制工程中, 除了那些不允許產(chǎn)生超調(diào)和振蕩

8、的情況外, 通常都希望二階系統(tǒng)工作在的欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)。 3、二階系統(tǒng)的性能指標、二階系統(tǒng)的性能指標 在許多實際情況中, 評價控制系統(tǒng)動態(tài)性能動態(tài)性能的好壞是通過系統(tǒng)反映單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)的過渡過程的特過渡過程的特征量征量來表示的。 在一般情況下, 希望二階系統(tǒng)工作在的欠阻尼狀態(tài)下。a 上升時間上升時間tr 根據(jù)定義根據(jù)定義, 上升時間滿足上升時間滿足 1sin1cos1)(2rdrdtrttetcrn所以有 0sin1cos2rdrdtt或 21tanrdtb峰值時間峰值時間tp 將輸出對時間求導(dǎo)將輸出對時間求導(dǎo), 并令其為零并令其為零, 即即 0)(pttdttdc得 0)cos

9、()sin(pdtdpdtntetepnpn整理、變換得 tan1)tan(2pdt根據(jù)三角函數(shù)的周期性, 上式成立需滿足:dtp=0, ,2, 3， 由于峰值時間是過渡過程到達第一個峰值所對應(yīng)的時間, 因此應(yīng)取 pdt即二階系統(tǒng)過渡過程峰值時間為二階系統(tǒng)過渡過程峰值時間為 dddpTt21221 c最大超調(diào)量最大超調(diào)量p 由最大超調(diào)量的定義和系統(tǒng)的階躍響應(yīng)可由最大超調(diào)量的定義和系統(tǒng)的階躍響應(yīng)可得得 %100%100sin1cos%100sin1cos%100)()()(22pnpnpnttpdpdtppeettecctc即 %10021ep d過渡過程時間過渡過程時間ts 欠阻尼二階系統(tǒng)的單

10、位階躍響應(yīng)曲線欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線c(t)位位于一對曲線于一對曲線 211)(tnety之內(nèi), 這對曲線稱為響應(yīng)曲響應(yīng)曲線的包絡(luò)線線的包絡(luò)線。 因此，可以采用包絡(luò)線代替實際響應(yīng)曲線估算過渡過程時間ts, 所得結(jié)果一般略偏大。21tne解得 2111111nntns 假設(shè)允許誤差帶是, 那么可以認為ts就是包絡(luò)線衰減到區(qū)域所需的時間, 那么有若取若取=5%, 并忽略 時, 則得 )9 . 00(1112nnst3若取若取=2%, 并忽略 時, 則得 2111n (00.9)nst4例例 設(shè)一個帶速度反響的伺服系統(tǒng)設(shè)一個帶速度反響的伺服系統(tǒng), 其結(jié)構(gòu)圖如下圖。其結(jié)構(gòu)圖如下圖。要求系統(tǒng)的

11、性能指標為要求系統(tǒng)的性能指標為p=20%, tp=1s，試確定系統(tǒng)的，試確定系統(tǒng)的K和和KA值值, 并計算性能指標并計算性能指標tr、ts和和N。 ) 1( ssKR(s)C(s)1 KAs解解 首先, 根據(jù)要求的p求取相應(yīng)的阻尼比: 61. 111121/2ppne解得。 其次, 由條件tp=1s和已求出的=0.456 求無阻尼自振頻率n, 即 21npt解得n。22222)1 ()()(nnnAssKsKKsKsRsC比較上式兩端, 得 AnnKKK12,2所以K=12.5, KA。 將此二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)與標準形式比較, 求K和KA值。最后計算tr、ts和N: rad1 . 11arctan2%)2(2 . 12,48. 24%)5(93. 02,86. 1365. 012次次psnspsnsnrttNstttNststAAKssKs55 .345)(25 .34252nAnKAAnKK525 .345)5.34(5)(ssKsGA已知某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為： 設(shè)系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù)，試計算放大器的增益KA=200時，系統(tǒng)輸出響應(yīng)的動態(tài)性能指標。若KA增大到1500或減小到13.5時，求系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。解：解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為stnp12. 012stns174. 03%13%21/e1. KA=200時，代入上式求得：n31.5rad/s；