壓軸題解題策略梯形的存在性問題

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略 梯形的存在性問題解題策略 2015年9月23日星期三 專題攻略解梯形的存在性問題一般分三步：第一步分類，第二步畫圖，第三步計算一般是已知三角形的三個頂點，在某個圖象上求第四個點，使得四個點圍成梯形過三角形的每個頂點畫對邊的平行線，這條直線與圖象的交點就是要探尋的梯形的頂點因為梯形有一組對邊平行，因此根據(jù)同位角或內(nèi)錯角，一定可以構(gòu)造一組相等的角，然后根據(jù)相似比列方程，可以使得解題簡便例題解析例 如圖1-1，四邊形ABCD是直角梯形，AD/BC，B90°，AD24cm，BC28cm點P從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向

2、點B運動，其中一個動點到達終點時，另一個點也隨之停止運動從運動開始，經(jīng)過多長時間，四邊形PQCD成為平行四邊形？成為等腰梯形？圖1-1【解析】這道題目中蘊含了一個經(jīng)典的判斷題：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形嗎？回答是否定的可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，區(qū)別在于另一組對邊是否平行如圖1-2，如果四邊形PQCD是平行四邊形，那么PDQC所以24t3t解得t6如圖1-3，如果四邊形PQCD是等腰梯形，作PMBC，DNBC，垂足分別為M、N，那么QMCN所以t(283t)4解得t8圖1-2 圖1-3例 如圖2-1，在RtABC中，C90°，AC3，AB5點P從點C出發(fā)

3、沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動；同時點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動當(dāng)點P到達點A時停止運動，點Q也隨之停止伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，DE交BC于點E設(shè)P、Q運動的時間是t秒（t0），在運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由圖2-1【解析】在四邊形QBED中，B是確定的銳角，QDE是直角如果要成為梯形，存在DE/QB和DQ/EB兩種情況站在梯形的外部看梯形，問題就迎刃而解如圖2-2，當(dāng)DE/QB時，DQB90°，此時AQP是直角三角形如圖2-3，當(dāng)DQ/EB時，四邊形DECP是矩形，AQP

4、是直角三角形這樣就轉(zhuǎn)化為解RtAQP了已知AP，AQt，如圖2-2，時，解得如圖2-3，時，解得 解題時，只需要畫出圖2-4和圖2-5這樣的示意圖就好了圖2-2 圖2-3 圖2-4 圖2-5例如圖，已知A、B是雙曲線上的兩個點，A、B的橫坐標(biāo)分別為2和1，BCx軸，垂足為C在雙曲線上是否存在點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是梯形？如果存在，求出點D的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由圖3-1【解析】ABC是確定的，過每個頂點畫對邊的平行線，與雙曲線的交點就是要求的點D已知A(2,1)，B(1,2)，C(1,0)設(shè)如圖3-2，過點A作BC的平行線，不存在點D如圖3-3，當(dāng)BD/AC時，ACED

5、BF，所以解方程，得x1或x6此時如圖3-4，當(dāng)CD/AB時，ABNDCM，所以解方程，得x1或x2此時D(1,2)或(2,1)圖3-2 圖3-3 圖3-4從上面的解題過程我們可以感受到：畫圖可以快速找到目標(biāo)，計算可以準(zhǔn)確定位根據(jù)等角的正切值相等列方程比較簡便在圖3-4中，解方程還達到了“一石二鳥”的目的例如圖4-1，已知拋物線與x軸的交點為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點為C，設(shè)點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖4-1【解析】過ABC的三個頂點分別畫對邊的平行線，與拋物線的交點

6、就是點P易知A(4, 0)，D(2, 0)，C(0,3)，B(2,3)設(shè)P如圖4-2，當(dāng)AP/BC時，點P就是點D，此時P(2, 0)如圖4-3，當(dāng)CP/BA時，作PEBC，AFBC，垂足分別為E、F根據(jù)，得解得x6此時P(6, 6)如圖4-4，假設(shè)BP/AC，那么所以解得x2此時點P與點B重合，梯形不存在圖4-2 圖4-3 圖4-4例 如圖5-1，把兩個全等的RtAOB和RtCOD分別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊OB、OD在x軸上已知點A(1，2)拋物線yax2bxc經(jīng)過O、A、C三點（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）點P為線段OC上的一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交x軸

7、于點N，問是否存在這樣的點P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 圖5-1【解析】在等腰梯形中，構(gòu)造輔助線常見的方法，就是把等腰梯形分割為一個矩形和兩個全等的直角三角形如圖5-2，圖5-3，在坐標(biāo)平面內(nèi)，如果梯形的兩底與坐標(biāo)軸平行，一般根據(jù)BEFC列方程在圖5-2中，xAxBxCxD；在圖5-3中，yByAyDyC（1）拋物線的解析式為（2）如圖5-4，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AMBP，因此yAyMyPyB直線OC的解析式為，設(shè)點P的坐標(biāo)為，那么解方程，得，x2的幾何意義是P與C重合，此時梯形不存在所以事實上，我們事先并不知道點M（或點P）的準(zhǔn)確位置在哪里？甚至不知道點M（或點P）在AB的右側(cè)還是左側(cè)？但這不影響我們解題，先假設(shè)，再列方程，然后根據(jù)方程的解驗證位置圖5-2 圖5-3 圖5-4例 如圖6-1，在矩形ABCD中，AB3，BC4，動點P從點D出發(fā)沿DA向終點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)沿對角線AC向終點C運動過點P作PE/DC，交AC于點E，動點P、Q的運動速度都是每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到點A時，P、Q兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為x秒，當(dāng)x為何值時，四邊形PQBE為梯形？