六年級數(shù)學上冊組合圖形地周長和面積

1、實用標準文檔六年級數(shù)學上冊組合圖形的周長和面積例1.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：這是最基本的方法： 圓面積減去等腰直角三角形的面積， ×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面積是7平方厘米，求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：這也是一種最基本的方法用正方形的面積減去 圓的面積。設圓的半徑為 r，因為正方形的面積為7平方厘米，所以 =7，所以陰影部分的面積為：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求圖中陰影部分的面積。(單位:厘米)解：最基本的方法之一。用四個 圓組成一個圓，用正方形的面積減去圓的面積，所以陰影部分的面積：2×2-0.86平

2、方厘米。例4.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：同上，正方形面積減去圓面積，16-()=16-4 =3.44平方厘米例5.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：這是一個用最常用的方法解最常見的題，為方便起見，我們把陰影部分的每一個小部分稱為“葉形”，是用兩個圓減去一個正方形，()×2-16=8-16=9.12平方厘米另外：此題還可以看成是1題中陰影部分的8倍。例6.如圖：已知小圓半徑為2厘米，大圓半徑是小圓的3倍，問：空白部分甲比乙的面積多多少厘米？解：兩個空白部分面積之差就是兩圓面積之差（全加上陰影部分）-()=100.48平方厘米 （注：這和兩個圓是否相交、交的情況如何無關(guān)）例7

3、.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：正方形面積可用(對角線長×對角線長÷2，求)正方形面積為：5×5÷2=12.5所以陰影面積為：÷4-12.5=7.125平方厘米 (注:以上幾個題都可以直接用圖形的差來求,無需割、補、增、減變形) 例8.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：右面正方形上部陰影部分的面積，等于左面正方形下部空白部分面積，割補以后為圓，所以陰影部分面積為：()=3.14平方厘米例9.求陰影部分的面積。(單位:厘米) 解：把右面的正方形平移至左邊的正方形部分，則陰影部分合成一個長方形，所以陰影部分面積為：2×3=6平方厘

4、米例10.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：同上，平移左右兩部分至中間部分，則合成一個長方形，所以陰影部分面積為2×1=2平方厘米(注: 8、9、10三題是簡單割、補或平移)例11.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：這種圖形稱為環(huán)形，可以用兩個同心圓的面積差或差的一部分來求。（ -）×=×3.14=3.66平方厘米例12.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：三個部分拼成一個半圓面積()÷14.13平方厘米例13.求陰影部分的面積。(單位:厘米) 解: 連對角線后將"葉形"剪開移到右上面的空白部分,湊成正方形的一半.所以陰影部分面積

5、為：8×8÷2=32平方厘米例14.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：梯形面積減去圓面積，(4+10)×4-=28-4=15.44平方厘米 . 例15.已知直角三角形面積是12平方厘米，求陰影部分的面積。分析: 此題比上面的題有一定難度,這是"葉形"的一個半.解: 設三角形的直角邊長為r，則=12，=6圓面積為：÷2=3。圓內(nèi)三角形的面積為12÷2=6，陰影部分面積為：(3-6)×=5.13平方厘米例16.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解： =(116-36)=40=125.6平方厘米 例17.圖中圓的半徑為5

6、厘米,求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：上面的陰影部分以AB為軸翻轉(zhuǎn)后，整個陰影部分成為梯形減去直角三角形，或兩個小直角三角形AED、BCD面積和。所以陰影部分面積為：5×5÷2+5×10÷2=37.5平方厘米例18.如圖，在邊長為6厘米的等邊三角形中挖去三個同樣的扇形,求陰影部分的周長。解：陰影部分的周長為三個扇形弧，拼在一起為一個半圓弧，所以圓弧周長為：2×3.14×3÷2=9.42厘米例19.正方形邊長為2厘米，求陰影部分的面積。解：右半部分上面部分逆時針，下面部分順時針旋轉(zhuǎn)到左半部分，組成一個矩形。所以面積為：1&

7、#215;2=2平方厘米 例20.如圖，正方形ABCD的面積是36平方厘米，求陰影部分的面積。解：設小圓半徑為r，4=36, r=3，大圓半徑為R，=2=18,將陰影部分通過轉(zhuǎn)動移在一起構(gòu)成半個圓環(huán),所以面積為:(-)÷2=4.5=14.13平方厘米例21.圖中四個圓的半徑都是1厘米，求陰影部分的面積。解：把中間部分分成四等分，分別放在上面圓的四個角上，補成一個正方形，邊長為2厘米，所以面積為：2×2=4平方厘米例22. 如圖，正方形邊長為8厘米，求陰影部分的面積。解法一: 將左邊上面一塊移至右邊上面,補上空白,則左邊為一三角形,右邊一個半圓.陰影部分為一個三角形和一個半圓

8、面積之和. ()÷2+4×4=8+16=41.12平方厘米解法二: 補上兩個空白為一個完整的圓. 所以陰影部分面積為一個圓減去一個葉形,葉形面積為:()÷2-4×4=8-16所以陰影部分的面積為:()-8+16=41.12平方厘米例23.圖中的4個圓的圓心是正方形的4個頂點，它們的公共點是該正方形的中心，如果每個圓的半徑都是1厘米，那么陰影部分的面積是多少？解：面積為個圓減去個葉形，葉形面積為：-1×1=-1所以陰影部分的面積為:4-8(-1)=8平方厘米例24.如圖，有8個半徑為1厘米的小圓，用他們的圓周的一部分連成一個花瓣圖形，圖中的黑點是

9、這些圓的圓心。如果圓周率取3.1416，那么花瓣圖形的的面積是多少平方厘米？分析：連接角上四個小圓的圓心構(gòu)成一個正方形，各個小圓被切去個圓，這四個部分正好合成個整圓，而正方形中的空白部分合成兩個小圓解：陰影部分為大正方形面積與一個小圓面積之和為：4×4+=19.1416平方厘米例25.如圖，四個扇形的半徑相等，求陰影部分的面積。(單位:厘米)分析：四個空白部分可以拼成一個以為半徑的圓所以陰影部分的面積為梯形面積減去圓的面積，4×(4+7)÷2-=22-4=9.44平方厘米 例26.如圖，等腰直角三角形ABC和四分之一圓DEB，AB=5厘米，BE=2厘米，求圖中陰影

10、部分的面積。解: 將三角形CEB以B為圓心，逆時針轉(zhuǎn)動90度，到三角形ABD位置,陰影部分成為三角形ACB面積減去個小圓面積,為: 5×5÷2-÷4=12.25-3.14=9.36平方厘米例27.如圖，正方形ABCD的對角線AC=2厘米，扇形ACB是以AC為直徑的半圓，扇形DAC是以D為圓心，AD為半徑的圓的一部分，求陰影部分的面積。解: 因為2=4，所以=2 以AC為直徑的圓面積減去三角形ABC面積加上弓形AC面積， -2×2÷4+÷4-2 =-1+(-1) =-2=1.14平方厘米例28.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解法一：設

11、AC中點為B,陰影面積為三角形ABD面積加弓形BD的面積, 三角形ABD的面積為:5×5÷2=12.5弓形面積為:÷2-5×5÷2=7.125所以陰影面積為:12.5+7.125=19.625平方厘米解法二：右上面空白部分為小正方形面積減去小圓面積，其值為：5×5-=25-陰影面積為三角形ADC減去空白部分面積，為：10×5÷2-（25-）=19.625平方厘米例29.圖中直角三角形ABC的直角三角形的直角邊AB=4厘米，BC=6厘米，扇形BCD所在圓是以B為圓心，半徑為BC的圓，CBD=，問：陰影部分甲比乙面積小

12、多少？解: 甲、乙兩個部分同補上空白部分的三角形后合成一個扇形BCD，一個成為三角形ABC，此兩部分差即為：××4×65-12=3.7平方厘米例30.如圖，三角形ABC是直角三角形，陰影部分甲比陰影部分乙面積大28平方厘米，AB=40厘米。求BC的長度。 解：兩部分同補上空白部分后為直角三角形ABC，一個為半圓，設BC長為X，則40X÷2-÷2=28 所以40X-400=56 則X=32.8厘米 例31.如圖是一個正方形和半圓所組成的圖形，其中P為半圓周的中點，Q為正方形一邊上的中點，求陰影部分的面積。解：連PD、PC轉(zhuǎn)換為兩個三角形和兩個弓形

13、，兩三角形面積為：APD面積+QPC面積=（5×10+5×5）=37.5兩弓形PC、PD面積為：-5×5所以陰影部分的面積為：37.5+-25=51.75平方厘米 例32.如圖，大正方形的邊長為6厘米，小正方形的邊長為4厘米。求陰影部分的面積。解：三角形DCE的面積為:×4×10=20平方厘米梯形ABCD的面積為:(4+6)×4=20平方厘米 從而知道它們面積相等,則三角形ADF面積等于三角形EBF面積，陰影部分可補成圓ABE的面積，其面積為：    ÷4=9=28.26平方厘米例33

14、.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解:用大圓的面積減去長方形面積再加上一個以2為半徑的圓ABE面積，為 (+)-6=×13-6=4.205平方厘米例34.求陰影部分的面積。(單位:厘米)解：兩個弓形面積為：-3×4÷2=-6陰影部分為兩個半圓面積減去兩個弓形面積，結(jié)果為+-（-6）=（4+-）+6=6平方厘米 例35.如圖，三角形OAB是等腰三角形，OBC是扇形，OB=5厘米，求陰影部分的面積。解：將兩個同樣的圖形拼在一起成為圓減等腰直角三角形÷4-×5×5÷2=（-）÷2=3.5625平方厘米例36.A如圖191

15、0所示，兩圓半徑都是1厘米，且圖中兩個陰影部分的面積相等。求長方形ABO1O的面積。BO1O 解：因為兩圓的半徑相等，所以兩個扇形中的空白部分相等。又因為圖中兩個陰影部分的面積相等，所以扇形的面積等于長方形面積的一半（如圖1910右圖所示）。所以 3.14×12××21.57（平方厘米） 答：長方形長方形ABO1O的面積是1.57平方厘米。例37.如圖1914所示，求陰影部分的面積（單位：厘米）。CII6BDIEBBA4B1914解：我們可以把三角形ABC看成是長方形的一部分，把它還原成長方形后（如右圖所示），因為原大三角形的面積與后加上的三角形面積相等，并且空白

16、部分的兩組三角形面積分別相等，所以I和II的面積相等。 6×424（平方厘米） 答：陰影部分的面積是24平方厘米。例38如圖1918所示，圖中圓的直徑AB是4厘米，平行四邊形ABCD的面積是7平方厘米，ABC30度，求陰影部分的面積（得數(shù)保留兩位小數(shù)）。COBADDCOBA1918解：陰影部分的面積等于平行四邊形的面積減去扇形AOC的面積，再減去三角形BOC的面積。 半徑：4÷22（厘米） 扇形的圓心角：180（18030×2）60（度） 扇形的面積：2×2×3.14×2.09（平方厘米） 三角形BOC的面積：7÷2

17、7;21.75（平方厘米） 7（2.09+1.75）3.16（平方厘米） 答：陰影部分的面積是3.16平方厘米。組合圖形的周長與面積練習題圓的周長和面積(一)【知識要點】：用剪拼移補的方法計算組合圖形的面積1、計算下面圖形中涂色部分的面積。（單位：厘米） 3 15 3 2、求下面圖形中涂色部分的面積。（單位：厘米） 5 5 8 3、下面兩個圓中直角等腰三角形的面積都是5平方厘米，求圓的面積。 O 4、如下圖示，AB4厘米，求涂色部分的面積。 A O B 5.求陰影面積 15厘米6、如下圖所示，一個圓的周長是15.7厘米，求長方形的面積。圓的周長和面積(二)一、關(guān)鍵問題： 對于組合圖形的面積，可

18、以通過把其中的部分圖形進行平移，翻折或旋轉(zhuǎn)，化難為易。二、典型例題：（一）基礎部分：1、例1、將半徑分別是3厘米和2厘米的兩個半圓如圖放置，求陰影部分的周長。2厘米 3厘米O1O222、例2、求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）6663、例3、求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）4o（二）拓展部分：1、例1：兩條細繩各自牢牢地綁住如（甲）（乙）兩圖所示的卷筒紙，每個卷筒紙的半徑是10。請問這兩條細繩的長度分別是幾厘米？（甲） （乙） 三、熱身演練：（一）基礎練習： 1、如圖：正方形的邊長是5厘米，那么陰影部分的周長是多少厘米？5o 245º3o2、求陰影部分的周長。 3、計算下面圖形中陰

19、影部分的面積（單位：厘米）6664、計算下面圖形中陰影部分的面積（單位：厘米）44(二)拓展練習：1、有7根直徑都是2分米的圓柱形木棍，想用一根繩子把它們捆成一捆，最短需要多少米長的繩子？（打結(jié)用的繩長不計）2、直徑均為1米的四根管子被一根金屬帶緊緊地捆在一起，（如圖），試求金屬帶的長度。3、求下面圖形中陰影部分的面積（單位：厘米）。6 4、下圖：大圓直徑上的所有小圓的周長之和與大圓的周長有什么關(guān)系？如果小圓的直徑分別是3厘米、1厘米、4厘米、2厘米。請求出大圓直徑上所有小圓的周長之和，以及大圓的周長。5、下圖：小圓的周長是12.56厘米，環(huán)形的寬度是2厘米，請求出環(huán)形的面積。6、下圖：長方形

20、的長是6厘米，寬是3厘米。請求出陰影部分的面積。7、下圖：大正方形的邊長是10厘米，小正方形的邊長是8厘米，請求出陰影部分的面積。8、求出下圖陰影部分的面積。9、 求出下圖陰影部分的面積。10、下圖：正方形的邊長是5厘米，請求出陰影部分的面積。陰影部分占正方形的百分之幾？11、下圖是由兩個邊長是5厘米正方形的拼成長方形，請求出陰影部分的面積。12、下圖正方形的面積是8平方厘米，畫出其對稱軸，并求出陰影部分的面積。13、下面正方形的邊長是5厘米，請求出陰影部分的面積。14、根據(jù)上圖，以及上圖的條件求出陰影部分的面積。15、下圖：圓的周長是25.15厘米，請求出陰影部分的面積。16、下圖：直角三角

21、形的兩直角邊分別是8厘米，6厘米，斜邊是三角形周長的，求出陰影部分的面積。17、下圖：正方形的邊長是5厘米，請求出陰影部分的面積。18、 如圖8，已知EO=8，求陰影部分的周長和面積。 19、 如圖10，求陰影部分的周長和面積。（單位：）20、如圖11，求陰影部分的面積及陰影弧線長的和。（單位：） 21、 如圖12，已經(jīng)半圓的直徑為10，求陰部分的面積及陰影弧線長的和。22、如下圖，已知AB=12厘米，且陰影部分甲的面積比陰影部分乙的面積大12平方厘米。求BC的長是多少厘米？23、如下圖，求出陰影部分的周長和面積。（單位：）24、如下圖，已知AC=CD=DB=2，求陰影部分的周長和面積。25、

22、已經(jīng)半圓的直徑為9，求陰影部分的面積。26、如下圖，求陰影部分的周長與面積。（單位：）C27、如圖所示，圓的周長為12.56厘米，AC兩點把圓分成相等的兩段弧，陰影部分（1）的面積與陰影部分（2）的面積相等，求平行四邊形ABCD的面積。DACB12 ACBD828、如圖所示，直徑BC8厘米，ABAC，D為AC的重點，求陰影部分的面積。 29、 如圖所示，ABBC8厘米，求陰影部分的面積。BcA30、 如圖所示，求四邊形ABCD的面積。（單位：厘米）C3D45BA7C31、 如圖1916所示，BE長5厘米，長方形AEFD面積是38平方厘米。求CD的長度。FD381916BEA32.圖1917是兩

23、個完全一樣的直角三角形重疊在一起，按照圖中的已知條件求陰影部分的面積（單位：厘米）。40305120191733、如圖1919所示，115度，圓的周長位62.8厘米，平行四邊形的面積為100平方厘米。求陰影部分的面積（得數(shù)保留兩位小數(shù)）。34、 如圖1920所示，三角形ABC的面積是31.2平方厘米，圓的直徑AC6厘米，BD：DC3：1。求陰影部分的面積。35、 如圖1921所示，求陰影部分的面積（單位：厘米。得數(shù)保留兩位小數(shù)）。OABDCCA5.23060BO12BA192119201919 三角形面積計算【例題1】已知如圖，三角形ABC的面積為8平方厘米，AEED，BD=2/3BC，求陰影

24、部分的面積。【思路導航】陰影部分為兩個三角形，但三角形AEF的面積無法直接計算。由于AE=ED,連接DF，可知SAEF=SEDF（等底等高），采用移補的方法，將所求陰影部分轉(zhuǎn)化為求三角形BDF的面積。因為BD=2/3BC，所以SBDF2SDCF。又因為AEED，所以SABFSBDF2SDCF。因此，SABC5 SDCF。由于SABC8平方厘米，所以SDCF8÷51.6（平方厘米），則陰影部分的面積為1.6×23.2（平方厘米）。練習1：1如圖，AEED，BC=3BD，SABC30平方厘米。求陰影部分的面積。2如圖所示，AE=ED，DC1/3BD，SABC21平方厘米。求陰影

25、部分的面積。3如圖所示，DE1/2AE，BD2DC，SEBD5平方厘米。求三角形ABC的面積?！纠}2】兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形，如圖所示，已知兩個三角形的面積，求另兩個三角形的面積各是多少？【思路導航】已知SBOC是SDOC的2倍，且高相等，可知：BO2DO；從SABD與SACD相等（等底等高）可知：SABO等于6，而ABO與AOD的高相等，底是AOD的2倍。所以AOD的面積為6÷23。因為SABD與SACD等底等高 所以SABO6因為SBOC是SDOC的2倍 所以ABO是AOD的2倍所以AOD6÷23。答：AOD的面積是3。練習2：1兩條對角線把梯形AB

26、CD分割成四個三角形，（如圖所示），已知兩個三角形的面積，求另兩個三角形的面積是多少？2已知AO1/3OC，求梯形ABCD的面積（如圖所示）。      3已知三角形AOB的面積為15平方厘米，線段OB的長度為OD的3倍。求梯形ABCD的面積。（如圖所示）。【例題3】四邊形ABCD的對角線BD被E、F兩點三等分，且四邊形AECF的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖所示）?！舅悸穼Ш健坑捎贓、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它們的面積相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面積也相等。由此可知，三角形ABD

27、的面積是三角形AEF面積的3倍，三角形BCD的面積是三角形CEF面積的3倍，從而得出四邊形ABCD的面積是四邊形AECF面積的3倍。15×345（平方厘米）答：四邊形ABCD的面積為45平方厘米。練習3：1四邊形ABCD的對角線BD被E、F、G三點四等分，且四邊形AECG的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖）。2已知四邊形ABCD的對角線被E、F、G三點四等分，且陰影部分面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖所示）。    3如圖所示，求陰影部分的面積（ABCD為正方形）?！纠}4】如圖所示，BO2DO，陰影部分的面積是

28、4平方厘米。那么，梯形ABCD的面積是多少平方厘米？【思路導航】因為BO2DO，取BO中點E，連接AE。根據(jù)三角形等底等高面積相等的性質(zhì)，可知SDBCSCDA；SCOBSDOA4，類推可得每個三角形的面積。所以，SCDO4÷22（平方厘米） SDAB4×312平方厘米S梯形ABCD12+4+218（平方厘米）答：梯形ABCD的面積是18平方厘米。練習4：1如圖所示，陰影部分面積是4平方厘米，OC2AO。求梯形面積。2已知OC2AO，SBOC14平方厘米。求梯形的面積（如圖所示）。   3已知SAOB6平方厘米。OC3AO，求梯形的面積（如圖所示）。

29、60;      【例題5】如圖所示，長方形ADEF的面積是16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，求三角形ABC的面積。【思路導航】連接AE。仔細觀察添加輔助線AE后，使問題可有如下解法。由圖上看出：三角形ADE的面積等于長方形面積的一半（16÷2）8。用8減去3得到三角形ABE的面積為5。同理，用8減去4得到三角形AEC的面積也為4。因此可知三角形AEC與三角形ACF等底等高，C為EF的中點，而三角形ABE與三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面積為5÷22.5，所以，三角形ABC的面積

30、為16342.56.5。練習5：1如圖所示，長方形ABCD的面積是20平方厘米，三角形ADF的面積為5平方厘米，三角形ABE的面積為7平方厘米，求三角形AEF的面積。2如圖所示，長方形ABCD的面積為20平方厘米，SABE4平方厘米，SAFD6平方厘米，求三角形AEF的面積。3如圖所示，長方形ABCD的面積為24平方厘米，三角形ABE、AFD的面積均為4平方厘米，求三角形AEF的面積。        簡單幾何體的表面積與體積的計算一、四種常見幾何體的平面展開圖1.正方體沿正方體的某些棱將正方體剪開鋪平，就可以得到它的平面展開

31、圖，這一展開圖是由六個全等的正方形組成的，見圖61。圖6l只是正方體平面展開圖的一種畫法，還有別的畫法（從略）。2.長方體沿長方體的某些棱將長方體剪開鋪平，就可以得到它的平面展開圖。這一展開圖是六個兩兩彼此全等的長方形組成的，見圖62。圖62只是長方體平面展開圖的一種畫法，還有別的畫法（從略）。3.（直）圓柱體沿圓柱的一條母線和側(cè)面與上、下底面的交線將圓柱剪開鋪平，就得到圓柱體的平面展開圖。它由一個長方形和兩個全等的圓組成，這個長方形的長是圓柱底面圓的周長，寬是圓柱體的高。這個長方形又叫圓柱的側(cè)面展開圖。圖63就是圓柱的平面展開圖。4.（直）圓錐體沿圓錐體的一條母線和側(cè)面與下底面圓的交線將圓錐

32、體剪開鋪平，就得到圓錐的平面展開圖。它是由一個半徑為圓錐體的母線長，弧長等于圓錐體底面圓的周長的扇形和一個圓組成的，這個扇形又叫圓錐的側(cè)面展開圖。具體圖形見圖64。二、四種常見幾何體表面積與體積公式1.長方體長方體的表面積=2×（a×b+b×c+c×a）長方體的體積=a×b×c（這里a、b、c分別表示長方體的長、寬、高）。2.正方體正方體的表面積=6×a2正方體的體積=a3（這里a為正方體的棱長）。3.圓柱體圓柱體的側(cè)面積=2Rh圓柱體的全面積=2Rh+2R2=2R（h+R）圓柱體的體積=R2h（這里R表示圓柱體底面圓的半徑

33、，h表示圓柱的高）。4.圓錐體圓錐體的側(cè)面積=Rl圓錐體的全面積=Rl+R2母線長與高）。三、例題選講例1 圖65中的幾何體是一個正方體，圖66是這個正方體的一個平面展開圖，圖67（a）、（b）、（c）也是這個正方體的平面展開圖，但每一展開圖上都有四個面上的圖案沒畫出來，請你給補上。分析與解：從圖65和圖66中可知： 與；與；與互相處于相對面的位置上。只要在圖67（a）、（b）、（c）三個展開圖中，判定誰與誰處在互為對面的位置上，則標有數(shù)字的四個空白面上的圖案便可以補上。先看圖67中的（a），仔細觀察可知，1與4，3與處在互為對面的位置上。再看圖67中的（b），同上，1與3，2與處在互為對面的

34、位置上。最后再看圖67中的（c），同上，1與，2與4處在互為對面的位置上。圖67（a）、（b）、（c）標有數(shù)字的空白面上的圖案見圖68中的（a）、（b）、（c）。例2 圖69中的幾何體是一個長方體，四邊形APQC是長方體的一個截面（即過長方體上四點A、P、Q、C的平面與長方體相交所得到的圖形），P、Q分別為棱A1B1、B1C1的中點，請在此長方體的平面展圖上，標出線段AC、CQ、QP、PA來。分析與解：只要能正確畫出圖69中長方體的平面展開圖，問題便能迎刃而解。圖610中的粗實線，就是題目中所要標出的線段AC、CQ、QP、PA。 例3 在圖611中，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點，若從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N，沿怎么樣的路線路程最短？分析與解：沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開鋪平，得出圓柱的側(cè)面展開圖，見圖612，從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N點。實際上是從側(cè)面展開圖的長方形的一個頂點M到達不相鄰的另一個頂點N。而兩點間以線段的長度最短。所以最短路線就是側(cè)面展開圖中長方形的一條對角線，見圖612和圖613。例4 圖614