華羅庚金杯數(shù)學邀請賽決賽初二組練習題(含答案)

1、第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題 (初中二年級組) 總分第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題（初中二年級組·練習用）一、填空題（每小題 10 分, 共 80 分）2019 2 2 1009 2 2018+ + + =1.計算1+ 2 + 2018.2. 一塊正三角形草坪邊長為 12 米，三個頂點處都安有噴水裝置，每個噴水裝置都可以從三角形的一邊到另一邊旋轉 60º來回噴水假定三個噴水裝置的射程相等，要使草坪上所有區(qū)域都可以被噴水覆蓋，那么被重復噴水的最小面積是 平方米3. 從 -2，- 3，- 4，- 5 這四個數(shù)中，任取兩個數(shù) p,q( p ¹

2、q) ，構成函數(shù) y = px + 2 和y = -x + q ，如果這兩個函數(shù)圖象的交點在直線 x = 2 的左側，那么這樣的有序數(shù)對( p,q) 共有 個4. 設 p 為質數(shù)，如果二次方程 x2 - 2px + p2 - 5p -1= 0的兩個根都是整數(shù)，那么p 可能取的值有 個.5. 如果1295 (6n -1) （其中n 是整數(shù)，且 1986n2018 ），那么滿足條件的n 的個數(shù)是 .6. 如圖所示，在正六邊形 ABCDEF 內放有一個正方形MNPQ ，正方形的頂點分別在正六邊形的 4 條邊上，且 MN /BC 若正方形 MNPQ 的面積為 12 -6 3 平方厘米，則正六邊形 AB

3、CDEF 的面積是 平方厘米7. 將 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 這 11 個數(shù)排成一行，使得任意 5個相鄰的數(shù)的和都是 5 的倍數(shù)那么這樣的排列方法有 種8. 四張卡片，每張寫著一個自然數(shù)，任取 2 張，或者 3 張，或者 4 張，把卡片上的數(shù)求和，可以得到 11 個不同的和，那么 4 張卡片上所有數(shù)的和最小為 第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題(初中二年級組)二、解答下列各題（每小題 10 分, 共 40 分, 要求寫出簡要過程）9. 有 A ，B 兩隊野外徒步旅行，A 隊在 B 隊的西偏北 45 度處，兩隊相距 8 2千 米如果 A 隊向東繼續(xù)行走， B 隊同

4、時沿西偏南 45 度路線行走，且 A隊與 B 隊的速度比是 2 ，求 A， B 兩隊最近時的距離10. 如果實數(shù) x, y,z 同時滿足關系式 x( y 2 + z) = z(z + xy) ， y(z2 + x) = x(x + yz) ，z(x2 + y) = y( y + zx) ，那么，實數(shù) x, y,z 是否一定都相等？請給出證明11. 如圖，在四邊形 ABCD 中，ÐABC = ÐBCD =120° ，AB = BC 對角線 AC ， BD 相交于點 E 若 AE = 3CE ，求證： AB = 2CD 12. 從 76 個連續(xù)自然數(shù) 1，2，76 中

5、任取 39 個數(shù)，其中必有 2 個數(shù)的差是p ，求 p 的值三、解答下列各題（每小題 15 分, 共 30 分, 要求寫出詳細過程）13. 如圖，在五邊形 ABCDE 中， AB = AE =1 ， ÐCAD = 45° ， E DÐE = ÐEAB = ÐB = 90° ，求點 A到直線 CD 的距離 CA B14. 如圖，一個由 81 個小方格組成的 9´9 網(wǎng)格先將其中的任意 n 個方格染黑，然后按照以下規(guī)則繼續(xù)染色：如果某個方格至少與 2 個黑格都恰好有 1 個公共頂點，那么就將這個方格染黑現(xiàn)在要按照這個方法將整個棋

6、盤都染成黑色，那么 n的最小值是多少？說明你的結論第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題參考答案(初中二年級組)第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題·練習用參考答案（初中二年級組）一、填空題（每小題 10 分, 共 80 分）題號 1 2 3 4 5 6 7 8答案 2018 +1 24 -36 3 5 2 8 3 322304 14二、解答下列各題（每小題 10 分, 共 40 分, 要求寫出簡要過程）16 10 59. 【答案】 A ， B 兩隊最近時的距離是千米【解答】如圖，以 B 隊初始位置為原點，正東、正北方向為 x 軸和 y 軸的正方向，建立平面直角坐標系， B

7、(0,0) ， A(-8,8)不妨y設 B 隊的速度為 1，那么 A隊的速度為 2 ，經過時間tAA1x后，B 隊所在位置是2 2B (- t,- t) ，A隊所在位置是12 2B1BA1(-8 + 2t,8) ，于是此時兩隊的距離 d 滿足2 2 2 2 2 28 2d = (-8 + 2t + t) + (8 + t) = 5t -16 2t +128，當t = 時，d 取到最2 2 5小值512 16 10= 千米5 510. 【答案】 x, y,z 一定都相等【證明】將原關系式變形，得 xy(y - z) = z(z - x) ， yz(z - x) = x(x - y) ，zx(x

8、- y) = y(y - z) （1）當(x-y()yz-()zx)-0=時，不妨設 x = y ，由得 y = 0 或者 y = z 若 y = z ，則 x = y = z ；若 y = 0 ，有 x = 0 ，代入，得 z = 0 或者 z = x = 0 ，即 x = y =z = 0 （2）當 (x - y)(y - z)(z - x) ¹ 0 時，將相乘得 xyz(xyz -1) = 0，即 xyz = 0 或xyz = 如果 xyz = 0 ，不妨設 y = 0 ，由（1）知z=0或者 z = x ，矛盾！如果 xyz =1，1- 1 -第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請

9、賽決賽試題參考答案(初中二年級組)不妨設 xyz ，顯然 x > 0 假設 x > y ，考慮式，有 x(x - y) > 0 ，又1yz 0 = > ，xz - x < ，所以 yz(z - x) < 0 矛盾！所以 x = y = z 0證畢！11. 【證明】作 BM AC于M.因為 ABC 中， AB = BC ，ÐABC=120° ，所以 AM = CM,ÐCAB = ÐACB = 30° 因此 AB = 2BM 由于ÐACB = 30° ，所以ÐACD = 90

10、6;又由 AE = 3CE 和 AM = CM 得： AM + ME = 3CE ， 即CM + ME = 3CE 即 (ME + CE) + ME = 3CE 所以 2ME = 2CE ，故 ME = CE 在 Rt BME 與 Rt DCE 中，因為 ME = CE ，ÐBEM = ÐDEC ，所以 Rt BME Rt DCE 因此 BM = CD 由于 AB = 2BM （已證）， 所以 AB = 2CD 12. 【答案】 p 的值為 1，2，19，38【解答 1】 p 的值是 1，2，19，38做抽屜，每個抽屜內有差為 p 的兩個數(shù)，或僅有一個數(shù)：當 p39 時,

11、有兩類抽屜，第一類，每個抽屜有 2 個非零自然數(shù)，差是 p ：76,76 - p，75, 75 - p，p + 2,2，p +1,1，個數(shù)是76 - p ；第二類，每個抽屜僅有 1 個不大于 p 的非零自然數(shù)，但與 p 的和大于 76：77 - p，78 - p，p個數(shù)是76 - 2´(76 - p) = 2p - 76 此時，抽屜總數(shù)是 p 個 從每個抽屜各取一個數(shù)，因為 p39 ，這些數(shù)中不存在差是 p 的兩個數(shù)當 p38時，做抽屜：1, p +1,2, p + 2,3, p + 3 ,4, p + 4p,2 p ,2p +1,3p +1,2p + 2,3p + 2,2p + 3

12、,3p + 3 ,3p,4p ,- 2 -第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽決賽試題參考答案(初中二年級組)ì æé ù ö æé ù ö ü ì æé ù ö æé ù ö üï ´ç - ÷ + ´ç - ÷ + + ï ï ´ç - ÷ + ´ç - &

13、#247; + + ï76 76 76 76í2p ê ú 1 1, 2p ê ú 1 p 1ý,í2p ê ú 1 2, 2p ê ú 1 p 2ý,ï èë2pû ø èë2pû ø ï ï èë2pû ø èë2pû ø ïî þ î

14、 þï ´ - ´ ï76 76í ê ú ê úý2p p,2pï ë2pû ë2pûï 若é ù76 76=ê úë û2p 2p，則抽屜到此為止，共有 38 個抽屜，從中任取 39 個，必有2 個取自同一個有兩個數(shù)的抽屜，差是 p 所以， p =1, 2,19, 38 若é ù76 76¹ê úë &#

15、251;2p 2p，則還有抽屜：ì é ù ü ì é ù üï ´ + ï ï ´ + ï76 76í2p ê ú 1ý,í2p ê ú 2ý, 76，ï ë2pû ï ï ë2pû ïî þ î þé ù76個數(shù)是76 - 2p 

16、34; ú ë2pû得到抽屜的個數(shù)是：é ù é ù é ù æ ì üö ì ü76 76 76 76 76 76p´ ê ú + - p´ ê ú = - pê ú = - p´ç - í ý÷ = + p´ í ý76 2 76 76 38ë pû ë

17、pû ë pû è p î pþø î pþ2 2 2 2 2 2ì ü é ù76 76 76= -其中，í ý ê úî2pþ 2p ë2pû，此時，pì ü76´ í ý1，抽屜的個數(shù)39 從其中 39 î2pþ個抽屜各取 1 個數(shù)，不存在兩個數(shù)的差是 p 所以， p 的值是 1, 2, 19, 38【解答 2】記76 = kp + r ，0 £ r < p ，把 1 到 76 按照下面排成 p 行，1 2LrLp1+ p 2 + pLLL Lr + 2pLL L2 Lp1+ (k-1)2r p + (k -1) p L+ (k -1) p L kp1+ kp 2 + kpLr + kpk 為偶數(shù)時，記 k = 2l （注,當 k 為偶數(shù)時，由于 76 是偶數(shù)， r 也是偶數(shù)），則前 r 行可以取l +1個數(shù)，后 p - r 行可以取l 個數(shù)，這lp + = + = - + = + 個數(shù)任意兩個數(shù)的差不