圓錐曲線地第三定義

1、圓錐曲線的第三定義及運(yùn)用一、 橢圓和雙曲線的第三定義1. 橢圓在橢圓中，A、B是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的一點(diǎn)，若存在，則有：證明：構(gòu)造PAB的PA邊所對(duì)的中位線MO，由點(diǎn)差法結(jié)論：知此結(jié)論成立。2. 雙曲線在雙曲線中，A、B是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A、B的一點(diǎn)，若存在，則有：證明：只需將橢圓中的全部換成就能將橢圓結(jié)論轉(zhuǎn)換成雙曲線的結(jié)論。二、 與角度有關(guān)的問題例題一：已知橢圓的離心率，A、B是橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，令 ，則 .解答：令，由橢圓第三定義可知： 點(diǎn)評(píng)：其實(shí)所謂的雙曲線方程只是一個(gè)障眼法，并不影響題目的解答。兩頂點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)的模型要很快的聯(lián)

2、想到第三定義，那么剩下的任務(wù)就是把題目中的角轉(zhuǎn)化為兩直線的傾斜角，把正余弦轉(zhuǎn)化為正切。題目中的正余弦化正切是三角函數(shù)的常見考點(diǎn)。變式1-1：（石室中學(xué)2015級(jí)高二下4月18日周末作業(yè)）已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為A、B，P為雙曲線右支一點(diǎn)，且，求 .解答：令，則，由雙曲線的第三定義知：則：點(diǎn)評(píng)：與例題1采取同樣的思路轉(zhuǎn)化角，但對(duì)于正切轉(zhuǎn)換的要求較高。兩銳角正切乘積為1即表示sin=cos，cos=sin兩角互余，則可解出的值。當(dāng)然雙曲線的題目較于橢圓和拋物線題目考試概率較小，但既然提到了雙曲線的第三定義，不妨做一做。三、 與均值定理有關(guān)的問題例題2：已知A、B是橢圓 長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M、N是橢

3、圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AM、BN的斜率分別為，且。若的最小值為1，則橢圓的離心率為 .解答一（第三定義+均值）：由題意可作圖如下：連接MB，由橢圓的第三定義可知：，而解答二（特殊值法）：這道題由于表達(dá)式非常對(duì)稱，則可直接猜特殊點(diǎn)求解。時(shí)可取最值，則M、N分別為短軸的兩端點(diǎn)。此時(shí)：。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于常規(guī)解法，合理利用M、N的對(duì)稱關(guān)系是解題的關(guān)鍵，這樣可以利用橢圓的第三定義將兩者斜率的關(guān)系聯(lián)系起來，既構(gòu)造了“一正”，又構(gòu)造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。當(dāng)然將前的系數(shù)改為不相等的兩個(gè)數(shù)，就不能利用特殊值法猜答案了，但常規(guī)解法相同，即變式2-1。變式2-1：已知A、B是橢

4、圓 長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M、N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AM、BN的斜率分別為，且。若的最小值為1，則橢圓的離心率為 .解答：連接MB，由橢圓的第三定義可知：，而變式2-2：已知A、B是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在Q，使 ，則橢圓的離心率的取值范圍為 .解答一（正切+均值）：令Q在x軸上方，則直線QA的傾斜角為，直線QB的傾斜角為 。， 由橢圓的第三定義：，則帶入可得： （取等條件：，即Q為上頂點(diǎn)）而tanx在單增，則Q為上頂點(diǎn)時(shí)，所以此時(shí)，故解答二（極限法）：當(dāng)Q趨近于A、B兩點(diǎn)時(shí)，（此時(shí)Q點(diǎn)所在的橢圓弧趨近于以AB為直徑的圓的圓弧，相當(dāng)于直徑所對(duì)的圓周角）；當(dāng)Q在A、B間運(yùn)動(dòng)時(shí)（Q在

5、以AB為直徑的圓內(nèi)部，直徑所對(duì)的圓周角=90°），由橢圓的對(duì)稱性可猜測當(dāng)Q為短軸端點(diǎn)時(shí)。由于：橢圓上存在Q，使，那么 Q為短軸端點(diǎn)時(shí)。取臨界情況，即Q為短軸端點(diǎn)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)橢圓趨于飽滿（）時(shí)，橢圓趨近于圓，圓的直徑所對(duì)的圓周角永遠(yuǎn)為90°，不滿足；當(dāng)橢圓趨于線段（）時(shí)，滿足。故。當(dāng)然這些只需要在頭腦中一想而過，簡潔而有邏輯。點(diǎn)評(píng)：這道題可以增加對(duì)于圓周角的理解，在用極限法討論：“當(dāng)Q趨近于A、B兩點(diǎn)時(shí)，”時(shí)能會(huì)顛覆“”的認(rèn)知，當(dāng)然這肯定是錯(cuò)的，結(jié)合常規(guī)解法可以看出此時(shí)是角最小的情況，而不是角最大的情況。要搞清楚，不然會(huì)被弄暈的。對(duì)于常規(guī)解法選擇正切表示角的大小的原因有二：與

6、第三定義發(fā)生聯(lián)系tanx在單增便于利用tanx的大小比較角度的大小。四、 總結(jié)歸納1. 上述部分題目的常規(guī)解法較復(fù)雜，但做題時(shí)一定要能猜答案，而且要猜得有理由。2. 對(duì)于均值不等式，注意取等條件是“三相等”，即相等時(shí)取最值。這可以幫助猜測表達(dá)形式是高度對(duì)稱的式子的最值，如：例題23. 極限法可以刻畫出單調(diào)變化的某一變量的端點(diǎn)值，如：變式2-2中P在橢圓上滑動(dòng)，角度的變化一定是光滑的（無突變，連續(xù)）， 所以只需考慮邊界值。4. 做幾何的選填題時(shí)，有時(shí)利用圓周角定理可以很快的找到最大角，注意學(xué)會(huì)恰當(dāng)運(yùn)用，如：變式2-2。5. 常以正切值刻畫角度大小。6. 在做綜合性較大的題目時(shí)要聯(lián)系各種知識(shí)，靈活

7、轉(zhuǎn)化，以最巧妙的方法致勝。7. .8. .五、 方法鏈接針對(duì)上文提到的“圓周角找最大角”與“橢圓中另一類均值”進(jìn)行拓展補(bǔ)充，各附例題。例題3：在平面直角坐標(biāo)系XOY中，給定兩點(diǎn) 和，點(diǎn)P在X軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 . 解答一（正切+均值）：已知： 、，與x軸交于令，則：， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，的傾斜角較大，令，則（）此時(shí)， 當(dāng)時(shí)，的傾斜角較大，則（）此時(shí)，由于，且在上單增，此時(shí)解答二（圓周角定理）：本題中的取極值時(shí)的P點(diǎn)的幾何意義為：過M、N的圓與x軸切于P點(diǎn)。下面給出證明：證明：以與x軸切于點(diǎn)的圓滿足所求最大角為例：由于是過M、N兩點(diǎn)的圓的一條弦，由垂徑定理知圓心在上隨著圓心橫坐標(biāo)

8、從0開始增大：當(dāng)半徑r較小時(shí)，圓與x軸無交點(diǎn)；當(dāng)半徑稍大一點(diǎn)時(shí)，圓與x軸相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)半徑更大一點(diǎn)時(shí)，圓與x軸有兩交點(diǎn)、。此時(shí)：根據(jù)圓周角定理：，可知：圓與x軸相切時(shí)，。 R較小的情況（圓與x軸相離） R較大的情況（圓與x軸相交于、）所以：過M、N的圓與x軸切于、點(diǎn)時(shí)，分別有只需比較與，哪一個(gè)更大。令與x軸相切的圓的圓心為 ，則切點(diǎn)，半徑為y圓滿足： （消去y）比較可知：當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)評(píng)：常規(guī)方法依舊是利用正切度量角的大小，但注意用傾斜角表示所求角時(shí)要用大角減去小角，才能得到正角；均值時(shí)要注意以分子（一次）為新元構(gòu)建均值。用圓周角角的性質(zhì)解答，只要轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)，解一個(gè)方程組，比較兩個(gè)角誰大

9、就行了。（不比較也行，畫圖可知右邊角大于左邊角：弦長相等，半徑越大，弦所對(duì)的圓周角越小。）其實(shí)兩種解法的難度是一樣，只是一種要寫得多，一種要想得多。變式3-1：若G為ABC的重心，且，則的最大值為 .解答一（余弦定理+均值）：令，則由 由點(diǎn)間的距離公式：，由余弦定理：由于： 解法二（圓周角定理）：令，則題目轉(zhuǎn)化為：，滿足：，求的最大值。目測可知時(shí)，下面以來證明。過，作圓O：若C不在點(diǎn)，令A(yù)C交圓O于Q點(diǎn)。由圓周角定理： 證得此時(shí)由余弦定理點(diǎn)評(píng)：可以說這道題與例題3有異曲同工之妙，直觀感覺加上圓周角定理可以說是畫幾個(gè)圓就解出題了。其實(shí)余弦函數(shù)在單調(diào)，也可用來度量角的大小。不過更值得一提的是兩種方法以不同的方式，間接地表現(xiàn)了題中點(diǎn)的關(guān)系，設(shè)點(diǎn)的方式值得思考領(lǐng)悟。解法一照顧垂直結(jié)論，把重心放在原點(diǎn)，利用重心的坐標(biāo)很好地刻畫了C點(diǎn)的坐標(biāo)；解法二聯(lián)系圓的直徑所對(duì)圓周角為直角表示垂直條件，以同樣方式刻畫C點(diǎn)的坐標(biāo)。兩種方式都完全的展現(xiàn)了題目中的關(guān)系。例題4：（對(duì)橢圓用均值）：過橢圓上